Математическая статистика (работа 1)

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка (_>3>) по данным таблицы:

Производитель­ность труда, м/час	80.5 – 81.5	81.5 – 82.5	82.5 – 83.5	83.5 – 84.5	84.5 – 85.5
Число рабочих	7	13	15	11	4

Производитель­ность труда, м/час	X>I>	Число рабочих, m>i>	m>i>x>i>	(x>i>-x>ср>)3	(x>i>-x>ср>)3m>i>
80.5 – 81.5	81	7	567	-6,2295	-43,6065
81.5 – 82.5	82	13	1066	-0,5927	-7,70515
82.5 – 83.5	83	15	1245	0,004096	0,06144
83.5 – 84.5	84	11	924	1,560896	17,16986
84.5 – 85.5	85	4	340	10,0777	40,31078
И того:		50	4142		6,2304

Ответ: _>3>=0,1246

Задача № 2.45

Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен =26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до .

Р(25<x<27)=P=2Ф(1)-1=0,3634

m=n*p=200*0,3634  73

Ответ: n=73

Задача № 3.17

На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98

Ответ: [2988<<3012]

Задача № 3.69

По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки =360 и S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью

Ответ: 358

Задача № 3.71

По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала .

Ответ: P=0,516

Задача № 3.120

По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.

Ответ: 50,2

Задача № 3.144

На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено =400 метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.

Ответ: P(11<<13)=0,8836

Задача № 4.6

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.

M>i>	85	120	25	10
Mt>i>	117	85	37	9

m>i>	m>i>T	(m>i>-m>i>T)2	(m>i>-m>i>T)2/ m>i>T
85	117	1024	8,752137
120	85	1225	14,41176
25	37	144	3,891892
10	9	1	0,111111
			27,1669

²_>факт.>=(m_>i>- m_>i>^T)/ m_>i>^T=27,17

²_>табл.>= (=2, =0,02)=7,824

²_>факт>_>>>²_>табл>

Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.

2-я контрольная работа

Задача 4.29

По результатам n =4 измерений в печи найдено = 254 C. Предполага­ется, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с  = 6 C. На уровне значимости  = 0.05 проверить гипотезу H_>0>:  = 250 C против гипотезы H_>1>:  = 260 C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

_>1> > _>0>  выберем правостороннюю критическую область.

Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и t_>кр> > t_>набл>, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|t_>кр>| - |t_>набл> |=0,98).

Задача 4.55

На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости =0,01 мощность критерия при гипотезе H_>0> :50 и H_>1 >: 53

Ответ: 23

Задача 4.70

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости  = 0.1 проверить гипотезу H_>0>: мм² при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

построим левостороннюю критическую область.

Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().

Задача 4.84

По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости  = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H_>0>: при конкурирующей гипотезе H_>1>: .

построим левостороннюю критическую область.

Ответ: 23;

Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n_>1> = 16 и n_>2> = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 180 мм и  = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями  мм² и  мм². На уровне значимости  = 0.025 проверить гипотезу H_>0>: _>1 = >_>2> против H_>1>: _>1 ><_> >_>2>.

Т.к. H_>1>: _>1 ><_> >_>2>, будем использовать левостороннюю критическую область.

Вывод: гипотеза отвергается при данном уровне значимости.

Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n_>1> = 16 и n_>2> = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 260 мм, S_>1> = 6 мм,  = 266 мм и S_>2> =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и , на уровне значимости  = 0.01 проверить гипотезу H_>0>: _>1 = >_>2> против H_>1>: _>1 >_> >_>2>.

Вывод: при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.

Задача 4.118

Из n_>1> = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m_>1> = 152, а из n_>2> = 250 задач второго типа студенты решили m_>2> = 170 задач. Проверить на уровне значимости  = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H_>0>: P_>1> = P_>2>. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Вывод:нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ().

Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка (_>3>^*) по данным таблицы:

Урожайность (ц/га), Х	34,5-35,5	34,5-36,5	36,5-37,5	37,5-38,5	38,5-39,5
Число колхозов, m>i>	4	11	20	11	4

Решение:

Урожайность (ц/га), Х	Число колхозов, m>i>	X>i>	m>i>x>i>	(x>i>-x>ср>)3	(x>i>-x>ср>)3m>i>
34,5-35,5	4	35	140	-8	-32
34,5-36,5	11	36	396	-1	-11
36,5-37,5	20	37	740	0	0
37,5-38,5	11	38	418	1	11
38,5-39,5	4	39	156	8	32
Итого:	50	-	1850	-	0

Ответ: _>3>^*=0

Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:

Число дефектных изделий	0	1	2	3	4
Число партий	79	55	22	11	3

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.

Решение:

m	0	1	2	3	4
p	0.4647	0.3235	0.1294	0.0647	0.0176

О

твет: P=7.79*10^-7

Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с =5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью =0.96 точность оценки генеральной средней  времени обработки зубчатого колеса будет равна =2 сек.

Р
ешение:

n



=(5.1375)³=26.3927

Ответ: n=27

З
адача 3.48:

На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью =0.98 точность оценки генеральной средней.

Решение:

S


t(t,=n-1)==St(t,6)=0.98

Ответ: =0.4278

Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью =0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.

Решение:

О



твет: 41.4587

Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью =0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.

Решение:

t

=2.33

О
твет: 0.3

Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется X_>ср>=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью =0.98 верхнюю границу для оценки  генеральной совокупности.

Решение:

t

=2.33

О
твет: 8.457

Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0.05 по следующим данным:

m>i>	6	13	22	28	15	3
m>i>T	8	17	29	20	10	3

Решение:

m>i>	m>i>T	(m>i>-m>i>T)2	(m>i>-m>i>T)2/ m>i>T
6	8	4	0.5
13	17	16	0.941
22	29	49	1.6897
28	20	64	3.2
15	10	25	1.9231
3	3
Итого:	-	-	8.2537

О



твет: -2.2627

1.36.

Вычислить дисперсию.

Производительность труда	Число рабочих	Средняя производительность труда
81,5-82,5	9	82
82,5-83,5	15	83
83,5-84,5	16	84
84,5-85,5	11	85
85,5-86,5	4	86
Итого	55

2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.

m	0	1	2	3	4	5	Итого
fi	164	76	40	27	10	3	320
Pm		0,34	0,116	0,026	0,004	0,001
Pm*f>i>	288,75	25,84	4,64	0,702	0,04	0,003	320
f>i >>теор.>	288	26	5	1	0	0	320

m – число дефектных изделий в партии,

f_>i> – число партий,

f_>i >_>теор.> = теоретическое число партий

Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*f_>i>.

Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.

3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..

3
.40.

П
о результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х).

3.74.

По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.

3.123.

По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).

3.126

По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.

4.10

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ²).

m>i>	m>i>T	(m>i>-m>i>T)2	(m>i>-m>i>T)2/m>i>T
80	100	400	4
125	52	5329	102,5
39	38	1	0,03
12	100	4	0,4
∑=256	200	5734	122,63

Г
ипотеза противоречит закону распределения Пуассона.