Математика. Интегралы
1.
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x>1><x>2> из (a,b) справедливо неравенство f(x>1>)f(x>2>) (f(x>1>)f(x>2>)).
*2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x>1><x>2> из (a,b) справедливо неравенство f(x>1>)<f(x>2>) (f(x>1>)>f(x>2>)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).
Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда f(x)0 (0) при любом x(a,b).
Док-во: 1) Достаточность. Пусть f(x)0 (0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x>1><x>2> из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x>1>,x>2>]. По теореме Лагранжа: f(x>2>)-f(x>1>)=(x>2>-x>1>)f(a), x>1><a<x>2>. Т.к. (x>2>-x>1>)>0, f(a)0 (0), f(x>2>)-f(x>1>)0 (0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), x(a,b), x+x(a,b), x>0. Тогда (f(x+x)-f(x))/x0. Переходя к приделу при x0, получим f(x)0. Теорема доказана.
Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f(x)>0 (<0) при любом x(a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.
Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f(x)>0 (<0) при любом x(a,b).
*3.
Прямая х=а называется вертикальной
асимптотой графика функций y=f(x),
если хотя бы одно из предельных значений
или
равно +¥
или –¥.
Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
*4.
Прямая y=kx+b
называется наклонной асимптотой графика
функции y=f(x)
при xà+¥(–¥),
если f(x)=kx+b+a(x),
где
Т3.
Прямая y=kx+b
называется наклонной асимптотой графика
функции y=f(x)
при xà+¥(–¥),
тогда и только тогда, когда существуют
,
,
причем при xà+¥(–¥)
наклонная асимптота называется правой
(левой). Док-во: Предположим, что кривая
y=f(x)
имеет наклонную асимптоту y=kx+b
при xà+¥,
т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x).
Тогда
.
Переходя к пределу при xà+¥,
получаем
.
Далее из f(x)=kx+b+a(x)
b=f(x)-kx-a(x).
Переходя к пределу при xà+¥,
получаем
.
Докажем обратное утверждение. Пусть
пределы, указанные в теореме, существуют
и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a(x),
где a(x)à0,
при xà+¥(–¥).
Отсюда и получаем представление
f(x)=kx+b+a(x).
Теорема доказана.
Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xà+¥(–¥) – правой (левой).
2.
*1. Точку х>0> назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x>0> и f(x>0>)=0.
*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x>0> локальный экстремум, то либо x>0> – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x>0>.
Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.
Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x>0>, кроме, быть может, самой точки x>0>, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x>0> слева направо f(x) меняет знак с + на –, то точка x>0> является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x>0> является точкой минимума. Док-во: Пусть x(a,b), xx>0>, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x>0>. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x>0>)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x>0>] или [x>0>,x]) f(x)–f(x>0>)=(x- x>0>)f(), где лежит между x>0> или x: а) x< x>0>x- x>0><0, f()>0f(x)–f(x>0>)<0f(x>0>)>f(x); б) x>x>0>x–x>0>>0, f()<0f(x)–f(x>0>)<0f(x>0>)>f(x).
Замечание 2. Если f(x) не меняет знака при переходе через точку х>0>, то х>0> не является точкой экстремума.
Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x>0> – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x>0> вторую производную. Тогда: 1) f( x>0>)>0f имеет в точке x>0> локальный минимум. 2) f( x>0>)<0f имеет в точке x>0> локальный максимум.
3.
*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.
*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.
Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f(x)>0, x(a,b)график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f(x)<0, x(a,b)график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх
*3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).
Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f(c)=0.
Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.
Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.
Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на c(a,b), f(c)=0. Если f(x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f(c)=0, а f(c)0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
4.
*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: F(x)=f(x).
T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем F(x)=f(x), Ф(х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]=0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; F(x)–Ф(х)=С.
*2.
Неопределенным интегралом от данной
функции f(x)
называется множество всех его первообразных
,где
F(x)=f(x).
5.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная
НИ =подынтегральной функции; дифференциал
от НИ равен подынтегральному выражению:
;
.
Док-во:
;
НИ
от дифференциала некоторой функции
равен этой функции с точностью до
постоянного слагаемого:
.
Док-во: Обозначим
.
На основании первого св-ва:
,
откуда
,
т.е.
.
НИ
от суммы конечного числа функций равен
сумме интегралов от слагаемых функций:
,
где u,
v,
…,w-функции
независимой переменной х. Док-во:
Постоянный
множитель можно выносить за знак НИ:
,
где с – константа. Док-во
.
Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть f(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что f(x)dx=F(x)+C, следует F(x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=F(u)du=f(u)du. Отсюда f(u)du=dF(u)=f(u)+C.
6.
Метод замены переменных.
1)
Подведение под знак дифференциала. Т1.
Пусть функция y=f(x)
определена и дифференцируема, пусть
также существует f(x)=f((t))
тогда если функция f(x)
имеет первообразную то справедлива
формула:
–формула
замены переменных. Док-во: пусть F(x)
для функции f(x),
т.е. F(x)=f(x).
Найдем первообразную для f((t)),
[F((t))]>t>=F(x)((t))
(t)=F(x)
(t)=f(x)
(t).
f(x)
(t)dt=f((t))+C.
F((t))+C=[F(x)+C]|>x>>=>>>>(>>t>>)>=f(x)dx|>x>>=>>>>(>>t>>)>.
Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=(t), а в виде t=(x).
2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g((x)) (x)dx=g(u)du. f(x)dx=g((x)) (x)dx=g(u)du.
dx=d(x+b), где b=const;
dx=1/ad(ax), a0;
dx=1/ad(ax+b), a0;
ф(х)dx=dф(x);
xdx=1/2 d(x2+b);
sinxdx=d(-cosx);
cosxdx=d(sinx);
Интегрирование по частям: udv=uv-vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,udv=d(uv)-vdu(интегрируем) udv=d(uv)-vdu или udv=uv-vdu.
7.
Интегрирование по частям: udv=uv-vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,udv=d(uv)-vdu(интегрируем) udv=d(uv)-vdu или udv=uv-vdu.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый
интеграл табличного вида: du/uk:
Второй
интеграл сводится к нахождению интеграла:
где u=x+p/2,
a=
,
q-p2/4>0
– рекуррентная формула.
Интегрирование
рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x),
R(x)-рациональная
функция, P(x)
и Q(x)-многочлены.
Дробь P(x)/Q(x)
можно разложить в сумму простейших
дробей, где A>i>,
B>i>,
C>i>
– постоянные, а именно: каждому множителю
(x-a)k
в представлении знаменателя Q(x)
соответствует в разложении дроби
P(x)/Q(x)
на слагаемые сумма k
простейших дробей типа
а каждому множителю (x2+px+q)t
соответствует сумма t
простейших дробей типа
.
Таким образом при разложении знаменателя
Q(x)
на множители имеет место разложение
дроби P(x)/Q(x)
на слагаемые.
Правила интегрирования рациональных дробей:
Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
8.
Интегрирование тригонометрических функций:
1 Интеграл
вида:
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
R(sinx,
cosx)
– нечетная функция относительно sinx
и cosx,
то tgx=t.
1 
Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).
òtgmxdx и òctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1.
òtgmxsecnxdx и òctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));
9.
Интегрирование иррациональных функций:
1 R(x,
,
,…)dx,
k-общий
знаменатель дробей m/n,
r/s….
x=tk,
dx=ktk–1dt
R(x,
,
…)dx,
,
x=
,
dx=
1 
Вынести 1/a
или 1/-a.
И выделим полные квадраты.
Разбить на два интеграла.
1 
1)p-целое
число x=tS,
где s-
наименьшее общее кратное знаменателей
у дробей m
и n.
2) (m+1)/n
–целое число: a+bxn=tS;
3) p+(m+1)/n-целое
число: a-n+b=tS
и где s-
знаменатель дроби p.
10.
Определенный интеграл:
интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x>0><x>1><…<x>n>>–1><x>n>=b;
Значение функции f(>I>) в какой нибудь точке >i>[x>i>–x>i>>–1>] умножается на длину этого интервала x>i>–x>i>>–1>, т.е. составляется произведение f(>i>)(x>i>–x>i>>–1>);
,
где x>i>–x>i>>–1>=x>i>;
I=
–
этот предел (если он существует) называется
определенным интегралом, или интегралом
от функции f(x)
на интервале [a,b],
обозначается
*1.
Определенным интегралом называется
предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длинны наибольшего
частичного интеграла (в предположении,
что предел существует).
Т1.
(Необходимое условие существования
интеграла): Если ОИ существует, т.е.
функция f(x)
интегрируема не [a,b],
то f(x)
ограничена на этом отрезке. Но этого не
достаточно. Док-во: Функция Дирихле:
