Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры
№1
1 Двойной интеграл
Рассмотрим
в плоскости Оху замкнутую область D,
ограниченную линией Г, являющейся
замкнутой непрерывной кривой. z
= l(P)
= f(x,y),
P=
(x,y)
D
– произвольные ф-ции определенные и
ограниченные на D.
Диаметром области D
наз. наибольшее расстояние между
граничными точками. Область D
разбивается на n
частых областей D1…Dn
конечным числом произв. кривых. Если S
– площадь D,
то Si
– площадь каждой частной области.
Наибольший из диаметров областей обозн
.
В каждой частной области Di
возьмем произв. точку Pi
(i
, Di)
Di,
наз. промежуточной. Если диаметр разбиения
D
0 , то число n
областей Di
.
Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных
точках и составим сумму:I
=
f(i,
Di)Si
(1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция
f(x,y)
наз. интегрируемой в области D
если существует конечный предел
интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при 0. Обозн:
или
2 Понятие числового
ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un
Если
сущ. конечный предел:
,
то его называют суммой ряда и говорят,
что ряд сходится, если такого предела
не существует, то говорят что ряд
расходится и суммы не имеет.
№ 2
1 Условие существования
двойного интеграла
Необходимое, но недостаточное:
Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.
1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D.
2 Геометрический и
арифметический ряды
Ряд
состоящий из членов бесконечной
геометрической прогрессии наз.
геометрическим:
или
а+ аq +…+aqn-1
a
0 первый член q
– знаменатель. Сумма ряда:
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q
Возможны случаи:
1
|q|<1
т.
е. ряд схд-ся и его сумма
2
|q|>1
и предел суммы так же равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3
при q
= 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn
= na
ряд расходится
4 при q1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим
ряд из бесконечных членов арифметической
прогрессии:
u
– первый член, d
– разность. Сумма ряда
при
любых u1
и d
одновременно
0 и ряд всегда расходится.
№3
1 Основные св-ва 2ного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.
3.
Аддитивное св-во. Если область Д при
помощи кривой г разбивают на 2 области
Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних
точек, то:
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:
В частности: g(x,y) >=0 то и
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, ) Д, что:
(2),
где S
– площадь фигуры Д. Значение f(,
)
опред по ф-ле (2) наз. средним значением
ф-ции f
по области Д.
2 С-ва сходящихся рядов
Пусть
даны два ряда: u1+u2+…un
=(1)
и v1+v2+…vn
=
(2)
Произведением
ряда (1) на число
R
наз ряд: u1+u2+…un
=(3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn)
=
(для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если
ряд (1) сходится и его сумма = S,
то для любого числа
ряд
=
тоже сходится и его сумма S’
= S
Если ряд (1) расходится и
0, то и ряд
тоже расходится. Т. е. общий множитель
не влияет на расходимости ряда.
Т2
Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы =
соотв S
и S’,
то и ряд:
тоже сходится и если
его сумма, то
= S+S’.
Т. е. сходящиеся ряды можно почленно
складывать и вычитать. Если ряд (1)
сходится, а ряд (2) расходится, то их
сумма(или разность) тоже расходится. А
вот если оба ряда расходятся. то ихняя
сумма (или разность)может как расходится
(если un=vn)
так и сходиться (если un=vn)
Для
ряда (1) ряд
называется
n
– ным остатком ряда. Если нный остаток
ряда сходится, то его сумму будем
обозначать: r>n>
=
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + r>n>
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
№4
1 Сведение
2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.
Если
фция f(x,y)
задана на Д и при каждом х
[a,b]
непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)],
то фц-ия F(x)
=
,
наз. интегралом, зависящим от параметра
I,
а интеграл :
,
наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y)
на области Д. Итак, повторный интеграл
вычисляется путем последовательного
вычисления обычных определенных
интегралов сначала по одной., а затем
по другой переменной.
2 Необходимый
признак сходимости рядов
Если
ряд сходится, то предел его общего члена
равен нулю:
Док-во:
Sn=u1+u2+…+un
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.
№5
1 Замена переменных в двойном интеграле.
Общий случай криволинейных координат
Пусть
существует ф-ция f(x,y)
интегр на области Д, можно прямолинейные
координаты x,
y
с помощью формул преобразования перейти
к криволинейным: x
= x(u,v),
y=y(u,v),
где эти ф-ции непрерывные вместе с
частными производными первого порядка,
устанавливают взаимно однозначное и в
обе стороны непрерывное соответствие
между точками плоской области Д и области
Д’ и определитель преобразования, наз.
Якобианом не обращается в 0:если
это выполняется можно пользоваться
ф-лой:
2 Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1
Пущай дан рядт
(1),
члены которого неотрицательны, и не
возрастают: u1>=u2>=u3…>=un
Если
существует ф-ция f(x) неотрицательная,
непрерывная и не возрастающая на [1,+]
такая, что f(n)
= Un,
n
N,
то для сходимости ряда (1) необходимо
унд достаточно, чтобы сходился
несобственный интеграл:,
а для расходимости достаточно и необходимо
чтобы сей интеграл наоборот расходился
(ВАУ!).
Применим
сей признак для исследования ряда
Дирихле: Вот он:
,
R
Сей ряд называют обобщенным гармоническим
рядом, при
>0 общий член оного un=1/n
0
и убывает поэтому можно воспользоваться
интегральным признаком, функцией здеся
будет ф-ция f(x)=1/x
(x>=1)сия
ф-ция удовлетворяет условиям теоремы
1 поэтому сходимость (расходимости) ряда
Дирихле равнозначна сходимости
расходимости интеграла:
Возможны три случая:
1
>1,
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 0<<1,
Интеграл и ряд расходится
3 =1,
Интеграл и ряд расходится
№ 6
1 Двойной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .
Якобиан преобразования будет равен:
И
формула при переходе примет вид:
2 Признаки сравнения
Т(Признаки сравнения)
Пущай
и
ряды с неотрицательными членами и для
любого n
выполняется нер-во:
un<=vn (1)тогда
1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un
2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!
Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.
Т3 Засекреченная
Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:
(0<k<+)
тада оба эти ряда сходятся.
№7
1 Вычисление
площади плоской области
с помощью 2ного интеграла
Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то
Если Д огр линиями в полярных координатах, то
2 Признаки Даламбера и Коши
Т(Признак Далембера)
Пущай для ряда un с положит членами существует предел:
,
то
1 Если k<1, то ряд сходится
2 Если k>1 ряд расходится
Т(Признак Коши)
Пусть
для того же самого ряда (т. е. положительного)
существует предел:,
тогда
1 Если k<1, то ряд сходится
2 Если k>1 ряд расходится
А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот.
№8
1 Вычисление объема
с помощью 2ного интеграла
Рассматривая
в пространстве тело Р, огр снизу
плоскостью оху, сверху z
= f(x,y),
кот проектируется в Д, сбоку границей
области Д, называемое криволинейным
цилиндром. Объем этого тела вычисляют
по формуле:
если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:
z = |f(x,y)|>=0.
тогда
если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1, f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:
2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Ряд
называется знакочередующимся если
каждая пара соседних членов имеет разные
знаки (один ♀, другой ♂), если считать
каждый член сего ряда положительным то
его можно записать в виде:
Т (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:
1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…
2)
то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0<=S<=un и |r>n>|<=un+1
Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.
Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.
№9
1 Вычисление
площади поверхности
с помощью двойного интеграла.
Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется:
для ф-ций вида x = (y,z) или y = (x,z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.
2 Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная
сходимость рядов.
Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:
u1+u2…+un=(1),
где un
– может быть как положительным, так и
отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий
из абсолютных значений этого ряда:
|u1|+|u2|…+|un|=(2),
Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.
Т. Признак абсолютной сходимости:
Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:
<=
Доквы:
т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| n N, то переходя к пределу получим:
<=
Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.
Т(Римана)
Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых
№10
1 Вычисление массы,
координат центра масс,
моментов инерции плоской
материальной пластины с
помощью 2ного интеграла.
Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:
,
где (х,
у) – поверхностная плотность.
Координаты центра масс выч по ф-ле:
если пластина однородная, т. е. (х, у) – const, то ф-лы упрощаются:
Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох
Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:
J0=Jx+Jy
если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.
2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.
Пусть
задана поледовательность числовых
ф-ций {un(x)}
Формальнг написанную сумму:
(2)
называют функциональным рядом на
множестве Е, а ф-цию un(x)
– его членами. Аналогично случаю числовых
рядов сумма: Sn(x)
= u1(x)+u2(x)+…+un(x)
называется частичной суммой ряда n
порядка, а ряд: un+1?
un+2…
- его n-ным
остатком. при каждом фиксированном х =
х0
Е получим из (1) числовую последовательность
{fn(x0)},
а из (2) – числовой ряд
,
которые могут сходится или расходится.
если кто-нибудь из оных сходится, то
сходится и функциональная посл (1) в т
х0, и сия точка наз. точкой сходимости.
Если
посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f,
определенная при
x
E
f(x)
=
назывется пределом посл (1), если ряд(2)
сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x)
определенная при
x
Е равенством
S(x)=
называется суммой ряда (2).
Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через r>n>(ч), то S(x) = Sn(x)+r>n>(x)
Если ряд (2)
сходится абсолютно, то он наз абсолютно
сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек
сходимости функционального ряда наз
областью сходимости. Для определения
области сходимости можно использовать
признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю
ф-ц ряд исследуется на абсолютную
сходимость Например, если существует
и
,
то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1
и расходится при k(x)>1.
№11
1 Тройные интегралы
Пусть
на некоторой ограниченной замкнутой
области V
трехмерного пространства задана
ограниченная ф-ция f
(x,y,z).
Разобьем область V
на n
произвольных частичных областей, не
имеющих общих внутренних точек, с
объемами V1…
Vn
В каждой частичной области возбмем
произв. точку М с кооорд Mi(i,i,i)
составим сумму:
f(i,i,i)Vi,
кот наз интегральной суммой для ф-ции
f(x,y,z).
Обозначим за
максимальный диаметр частичной области.
Если интегральная сумма при
0 имеет конечный предел, то сей предел
и называется тройным интегралом от
ф-ции f(x,y,z)
по области V
И обозначается:
2 Равномерная
сходимость функциональных
последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} x E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для >0, сущ номер N, такой, что для т х E и n >N выполняется -во: |fn(x)-f(x)|<. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn f.
наз.
равномерно сходящимся рядом, если на
м-ж Е равномерно сходится последовательность
его частичной суммы. , т. ен. равномерная
сходимость ряда означает:Sn(x)
f(x)
Не всякий сходящийся ряд является
равномерно сходящимся, но всякий
равномерно сходящийся – есть сходящийся
(не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)
Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)
Если
числовой ряд:
(7),
где
>=0 сходится и для
x
E
и
n
= 1,2… если выполняется нер-во |un(x)|<=n(8),
ряд
(9)
наз абсолютно и равномерно сходящимся
на м-ж Е.
Док-вы:
Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем
произвольное
>0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера
N,
n
>N
и вып. нерво
Следовательно:
|S(x)-Sn(x)|
=
Это означает, что Sn(x) S(x) что означает равномерную сходимость ряда..
№12
1 Замена переменных
в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)
Якобиан преобразования:
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим координатам: r? , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,
y=r sinsin, z=rcos.
(0<=r<=+, 0<= <= 2,
0<= <=2)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2sin.
Итак, в сферических координатах сие будет:
2 Свойства равномерно
сходящихся рядов
Т1
Если ф-ция un(x),
где х
Е непрерывна в т. х0
E
и ряд
(1)
равномерно сходится на Е, то его сумма
S(x)
=
также
непрерывна в т. х0.
Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)
Пусть
сущ. ф-ция un(x)
R
и непрерывная на отр. [a,b]
и ряд
(3)
равномерно сходится на этом отрезке,
тогда какова бы ни была т. х0
[a,
b]
(4)
тоже равномерно сходится на [a,b].
В частности: при x0
= a,
х = b:
т.
е. ряд (3) можно почленно интегрировать.
Т3 (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть
сущ. ф-ция un(x)
R
и непрерывная на отр. [a,b]
и ряд её производных
(6)
равномерно сходящийся на отр [a,b]
тогда, если ряд
сходится хотя бы в одной точке x0
[a,b]
то он сходится равномерно на всем отрезке
[a,b],
его сумма S(x)
=
является непрерывно дифференцируемой
ф-цией и
S’(x)=
(9)
В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:
()’
=
So ряд (7) можно почленно дифференцировать
№13
1 Приложения
тройных интегралов
Объем
тела
Масса
тела:
,
где (М)
= (x,y,z)
- плотность.
Моменты инерции тела относительно осей координат:
Момент инерции относительно начала координат:
Координаты центра масс:
m
– масса.
Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: (М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.
2 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным
рядом наз функциональный ряд вида:
a>0>+a>1>x+a>2>x2+…
+ a>n>xn
=
(1)
x
R
членами которого являются степенные
ф-ции. Числа an
R,
наз коэффициентами ряда(1). Степенным
рядом наз также ряд:
a>0>+a>1>(x-x0)+a>2>(x-x0)2…
+ a>n>(x-x0)n
=
(2)
Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.
Т Абеля
1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.
2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|
№14
1 Определение криволинейных
интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(k,k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:
1
=
f(k,k)lk
2
=
Р(k,k)хk
3
=
Q(k,k)yk,
где хk = x>k>-x>k-1>, yk = y>k>-y>k-1>
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы 1 при условии, что max(lk) 0
Если предел интегральной суммы 2 или 3 при 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:
или
сумму:
+
принято называть общим криволинейным
интегралом 2 рода и обозначать символом:
в этом случае
ф-ции f(x,y),
P(x,y),
Q(x,y)
– называются интегрируемыми вдоль
кривой l
= AB.
Сама кривая l
наз контуром или путем интегрирования
А – начальной, В – конечной точками
интегрирования, dl
– дифференциал длины дуги, поэтому
криволинейный интеграл 1 рода наз.
криволинейным интегралом по дуге кривой,
а второго рода – по функции..
Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:
,
для криволинейных интегралов 2 рода
изменение направления пробегания кривой
ведет к изменению знака:
В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:
Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
и три интеграла
2 рода:
сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.
2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд:
(1)
Число (конечное или бесконечное) R>=0
наз радиусом сходимости ряда (1) если
для любого х такого, что |x|<R
ряд (1) сходится, а для
х таких. что |x|>R
ряд расходится Интервал на числовой
оси состоящий из т. х для которых |x|<R,
т. е. (-R,
+R)
наз. интервалом сходимости.
Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно
Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R = + или вырождаться в одну точку при R = 0.
Т2 Если для
степенного ряда (1) существует предел
(конечный или бесконечный):
,
то радиус сходимости будет равен этому
пределу.
Док-вы:
Рассмотрим ряд из абсолютных величин
и
по Даламберу исследуем его на сходимость:
(5)
1)Рассмотрим
случай, когда
конечен и отличен от 0. Обозначив его
через R
запишем (5) в виде
При
числовом значении х степенной ряд
становится числовым рядом, поэтому по
Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1,
т. е. |x|<R,
тогда по признаку абсолютной сходимости
ряд (1) сходится абсолютно при |x|<R
иначе ряд расходится.
2)Пусть
=
тогда из(5) следует, что
для
любого х
R
Итак ряд (1) сходится при любом х причем
абсолютно.
3) Пусть
=0 тогда из (5) следует, что
и ряд расходится для любого х. Он сходится
только при х = 0 В этом сл-е R
= 0.
Т3 Если
существует предел конечный или бесконечный
,
то
(10)
№15
1 условия
существования и вычисления
криволинейных интегралов.
Кривая L наз. гладкой, если ф-ции (t), (t) из определяющих её параметрических уравнений:
(1)
имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: ’(t), ’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t [a,b] для которых (’(t))2+(’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:
Отседова жа вытекаает штаа:
В
частности, если кривая АВ задана
уравнением y
= y(x),
a<=x<=b
, где у(х) непрерывно дифференцируемая
ф-ция, то принимая х за параметр t
получим:
ну и сумма там тожжа упростица.
ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных координатах <= <= где ф-ция r() непрерывно дифференцируема на отрезке [, ] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол . x = r()cos(),
y= r()sin().
и у второго рода так же.
Прямая L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).
2 Свойства степенных рядов
Т1
Если степенной ряд
(1)
имеет радиус сходимости R>0,
то на любом отрезке действительной оси
вида |x|<=r,
0<r<R
(2) (или [-r,r])
целиком лежащем внутри интервала
сходимости ряд (1) сходится равномерно.
Для
ряда
отрезком
равномерной сходимости будет отрезок
|x-x0|<=r
или ([x0-r,x0+r])
Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.
Т3
Радиусы сходимости R,
R1,
R2
соответственно рядов
(5),
(6),
(7)
равны: R1=R2=R3.
Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью
формального интегрирования и
дифференцирования имеют те же радиусы
сходимости, что и исходный ряд.
Пусть
ф-ция f(x)
является суммой степенного ряда
(9)
Т4 Дифференцирование степенного ряда
Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9):
f’(x)=
При
этом радиус сходимости полученного
ряда = R
Т5 О интегрировании степенного ряда
Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.
Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется, однако на концах интервала может изменяться.
№16
1 Свойства
криволинейных интегралов
Св-ва криволинейных интегралов 1 рода:
1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в виде суммы интегралов:
2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:
3.
4.Ф-ла среднего значения
если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М, такая, что:
,
где l
– длина кривой
Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая с буквой зю)
2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть(1)
сходится при |x-x0|<R
а его сумма является ф-лой f(x)=
(2)
В этом случае говорят, что ф-ция f(x)
разложена в степенной ряд. (1) .
Т1
Если ф-ция f
распространяется в некоторой окрестности
т. х0 f(x)=
,
то
и
справедлива формула:
(15)
Если в некоторой окрестности заданной
точки ф-ция распадается в степенной
ряд, то это разложение единственно.
Пусть
дествит. ф-ция f
определена в некоторой окрестности т.
х0 и имеет в этой точке производные всех
порядков, тогда ряд:(6)
наз рядом Тейлора ф-ции f
в т, х0
При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:
(6’)
и называется ряд Маклорена.
Ряд Тейлора может:
1 Расходится всюду, кроме х=х0
2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.
3 Сходится к исходной ф-ции f(x)
Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.
Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:
где
остаток r>n>(x)
можно записать:
(8)
(9)
Формула (8) наз остаточным членом ф-лы
Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) –
формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е x U(x0) |f(n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.
№17
1 Формула Грина
Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.
Пусть
имеется некоторая правильная замкнутая
область Д, ограниченная контуром L
и пущая ф-ции P(x,y)
и Q(x,y)
непрерывны вместе со своими частными
производными:
в
данной области. тогда имеет место ф-ла:
И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.
Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или
y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).
Рассмотрим
область Д ограниченную неравенствами:
a<=x<=b
и y1(x)<=y2(x).
и преобразуем двойной интеграл
к криволинейным для чего сведем его к
повторному и ф-ле Невтона-Лыебница
выполним интегрирование по у и получим:
каждый
из 2 определенных интегралов в правой
части последнего равенства = криволинейному
интегралу 2 рода взятому по соответствующей
кривой а именно:
Итак
двойной интеграл:
Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.
2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)
1Разложение ф-ции ех
ряд Маклорена.
радиус сходимости:
R= следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена
сходится на всей числовой оси
сходится на
всей числовой оси
3. f(x) = (1+x)
Наз. биномиальный ряд с показателем Различают 2 случая:
1-
N,
тогда при любом х все члены ф-лы исчезают,
начиная с (
+2) поэтому ряд Маклорена содержит
конечное число членов и сходится при
всех х. Получается формула Бинома
Невтона:
,
где
биномиальный коэффициент.
2- R>N ( 0 х 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1
4 Разложение ф-ции ln(1+x)
сходится при –1<x<=1
5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена
сходится
при -1<=x<=1
№18
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.
1.Интеграл
- длине дуги АВ
2.Механический смысл интеграла 1 рода.
Если
f(x,y)
= (x,y)
– линейная плотность материальной
дуги, то ее масса:
для пространственной там буква зю добавляется.
3.Координаты центра масс материальной дуги:
4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:
5. Геометрический смысл интеграла 1 рода
Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:
,
где S
– площадь цилиндрической поверхности,
кот состоит из перпендикуляров плоскости
оху, восст в точках М(x,y)
кривой АВ.
2 Геометрические и арифметические ряды.
№19
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.
Вычисление площади плоской области Д с границей L
2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:
при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.
2 Свойства сходящихся рядов
№20
1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
Плоская область наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.
Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.
1. Для замкнутой кусочногладкой кривой L в значение криволинейного интеграла:
2.
Для все т. А и т. В области
значение интеграла
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .
3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в существует ф-ция E=(х,у) опред в такая, что dE = Pdx+Pdy
4.
В области
Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.
2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.
№21
1 Интегрирование в полных дифференциалах
Пущай
ф-ция P(x,y)
и Q(x,y)
- непрерывны в замкнутой области
и выражение P(x,y)
+ Q(x,y)
есть полный дифееренциал некоторой
ф-ции F(x,y)
в
, что равносильно условию:
,
тогда dF=Pdx+Qdy.
Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:
или
А(x0,y0) , В = (х,у)
поэтому
F(x,y)=
где (х0,у0) – фиксированная точка , (x,y) – произвольная точка , с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.
2
Признаки сравнения
№22
1 Сведение 2-ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.
Если
фция f(x,y)
задана на Д и при каждом х
[a,b]
непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)],
то фц-ия F(x)
=
,
наз. интегралом, зависящим от параметра
I,
а интеграл :
,
наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y)
на области Д. Итак, повторный интеграл
вычисляется путем последовательного
вычисления обычных определенных
интегралов сначала по одной., а затем
по другой переменной.
2 Признаки Даламбера и Коши
№23
1 2 ной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .
Якобиан преобразования будет равен:
И формула при переходе примет вид:
2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница
№24
1 Замена переменных
в тройном интеграле
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)
Якобиан преобразования:
И
поэтому в цилитндрических координатах
переход осуществляется так:
При переходе к сферическим координатам: r? , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,
y=r sinsin, z=rcos.
(0<=r<=+, 0<= <= 2,
0<= <=2)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2sin.
Итак, в сферических координатах сие будет:
2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда
№25
1 Условия
существования и вычисления криволинейных интегралов
Кривая L наз. гладкой, если ф-ции (t), (t) из определяющих её параметрических уравнений:
(1)
имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: ’(t), ’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t [a,b] для которых (’(t))2+(’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:
Отседова жа вытекаает штаа:
В
частности, если кривая АВ задана
уравнением y
= y(x),
a<=x<=b
, где у(х) непрерывно дифференцируемая
ф-ция, то принимая х за параметр t
получим:
ну
и сумма там тожжа упростица.
ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных координатах <= <= где ф-ция r() непрерывно дифференцируема на отрезке [, ] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол . x = r()cos(),
y= r()sin().
и у второго рода так же.
Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую.
все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).
2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).