Иррациональные уравнения и неравенства (работа 1)
МОУ СОШ «УК №20»
Иррациональные
уравнения и неравенства
реферат по алгебре
ученика 11 «В» класса
Торосяна Левона
Руководитель:
Олейникова Р. М.
Сочи 2002г.
Содержание.
Введение
Основные правила
Иррациональные уравнения:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
Решение сложных иррациональных уравнений.
Иррациональные неравенства:
Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
Решение нестандартных иррациональных неравенств.
Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
Вывод
Список литературы
I. Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.
Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.
В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить
уравнение
= x
– 2,
Решение.
= x
– 2,
2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка:
x2
– 6x
+ 5 = 0,
х = 5,
= 5 – 2,
x>1> = 5, 3 = 3
x>2>
= 1 – постор. корень
х = 1,
1
– 2 ,
Ответ:
5
пост. к. 1
-1.
б) Решить
уравнение
= х + 4,
Решение.
= х + 4,
Ответ: -1
в) Решить
уравнение х – 1 =
Решение.
х – 1
=
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,
(х – 2)2 = 0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить
уравнение х –
+ 4 = 0,
Решение.
х –
+ 4 = 0,
х + 4 =
,
Проверка:
х2
+ 8х + 16 = 25х – 50, х
= 11, 11 –
+ 4 = 0,
х2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0
х>1>
= 11,
х = 6, 6 –
+ 4 = 0,
х>2> = 6. 0 = 0.
Ответ: 6; 11.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить
уравнение
=
Решение.
=
,
>
>> >>
– + >
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
> 
>
Ответ:
б) Решить
уравнение
Решение.
,
>– +>
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
> >
Ответ:
.
Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить
уравнение
Решение.
ОДЗ:
Пусть
= t,
t > 0
Сделаем обратную замену:
= 1/49,
или
= 7,
=
,
–
(ур-ние не имеет
решений) x
= 3.
Ответ: 3
б)
Решить уравнение
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
данное
уравнение равносильно уравнению:
Ответ: 0,7
Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить
уравнение
Решение.
возведем обе части
уравнения в квадрат
3x
– 5 – 2
2x
– 2 = 2
x
–1 =
x
Проверка:
x
x
= 3,
4x
1 = 1.
x
= 1,75
Ответ:
3.
Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:
Решить
уравнение
Решение.
возведем обе части
уравнения в куб
но
,
значит:
возведем обе части
уравнения в куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
Ответ: –24; 2.
Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить
уравнение
Решение.
Пусть
= t,
тогда
=
,
где t
> 0
t
–
Сделаем обратную замену:
=
2, возведем обе части в квадрат
Проверка: x
= 2,5
Ответ: 2,5.
б) Решить
уравнение
Решение.
Пусть
= t,
значит
=
,
где t
> 0
t
+
t –
6 = 0,
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части
уравнения в четвертую степень
x
+ 8 = 16,
Проверка:
x
= 8, x
= 2,
x = 2. 6 = 6
Ответ: 2.
в) Решить
уравнение
Решение.
Пусть
= t,
где t
> 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части
уравнения в квадрат
Проверка:
,
Ответ: –5; 2.
Решение сложных иррациональных уравнений:
Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:
Решить
уравнение
Решение.
возведем обе части
уравнения в куб
возведем обе части
уравнения в квадрат
Пусть
= t
t 2– 11t + 10 = 0,
Сделаем обратную замену: Проверка:
=
10, или
=
1, x
=
,
x
=
-пост.
корень
0
Ответ:
1. x
= 1,
1 = 1
Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить
уравнение lg3
+ 0,5lg(x
– 28) = lg
Решение.
lg3
+ 0,5lg(x
– 28) = lg,
lg(3
= lg,
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Ответ: 32,75
б) Решить
уравнение
Решение.
Ответ:
;
–
2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное
неравенство вида
равносильно системе неравенств:
Иррациональное
неравенство вида
равносильно совокуп-ности двух систем
неравенств:
и
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить
неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
>+ –
+ >
Ответ:
[1; 2).
1 3
x
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
Ответ:
в) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить
неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
б) Решить
неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить
неравенство
Решение.
Учитывая то, что
и правило знаков при делении данное
неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ:
б) Решить
неравенство (2x
– 5)
Решение.
(2x
– 5)
Учитывая то, что
и правило знаков при делении данное
неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить
неравенство
Решение.
,
сгруппируем по два
слагаемых
вынесем общий множитель
за скобку
учитывая, что
>
0 и правило знаков при
умножении данное неравенство равносильно
системе неравенств:
Ответ:
( 0; 1 )
Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Решить
неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить
неравенство
Решение.
Пусть
= t, тогда
=
,
t
> 0
Сделаем обратную замену:
возведем
в квадрат обе части неравенства
Ответ:
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
Иррациональные показательные неравенства:
а) Решить
неравенство
Решение.
,
т.к. y
= 0,8t
,
то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0,
f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ
,
>+
– +>
Нули
функции: x>1>
= 4; x>2>
= – 1. >–1
4 > x
Ответ:
х
б) Решить
неравенство 4
–
2
< 2
–
32
Решение.
4–
2
< 2–
32, ОДЗ:
x
> 0
2
–
2
2 < 2
24
– 25,
выполним группировку слагаемых
2(2–
2) – 24(2–2)
< 0,
(2–
2)
(2–
24)
< 0, учитывая
правило знаков и ОДЗ данное неравенство
равносильно 2-м системам:
или
т.к.
y
= 2t
,
то
т.к. y
= 2t
,
то
Ответ:
х
Решение иррациональных логарифмических неравенств:
Решить
неравенство
Решение.
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно
системе нер-ств
Ответ:
V. Вывод
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.
VI. Список литературы
Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
Справочный материал