Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.
Д
ля
решения дифференциального уравнения:
(I.1)
где функции а>i>(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t>0> с радиусами сходимости r>i>> >:
i=0,1,2
необходимо найти два линейно-независимых решения >1>(t), >2>(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:
Решения >i> будем искать в виде степенного ряда:
(I.2)
методом неопределенных коэффициентов.
Для решения воспользуемся теоремами.
Теорема 1: (об аналитическом решении)
Если p>0>(x), p>1>(x), p>2>(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x>0 >и p>0>(x)≠0, то решения уравнения p>0>(x)y’’ + p>1>(x)y’ + p>2>(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l>0> + l>1>(x-x>0>) + l>2>(x-x>0>)2 + … + l>n>(x-x>0>)n + …
Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)
Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x>0> является нулем конечного порядка S функции a>0>(x), нулем порядка S-1 или выше функции a>1>(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a>2>(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:
y= l>0>(x -> >x>0>)k + l>1>(x – x>0>)k+1 + … + l>n>(x-x>0>)k+n + …
где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим уравнение:
(I.3)
a>0>(t)
= t + 2 ; a>1>(t)
= -1; a>2>(t)
= -4t3;
a>0>(t)
≠ 0
t
по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное
решение уравнения (I.3)
может быть найдено в виде суммы обобщенного
степенного ряда
(t)
=
c>n>(t-t>0>)n
возьмем t>0> = 0, будем
искать решение в виде
(t)
=
c>n>tn
(I.4)
Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим
(t)
=
nc>n>tn-1,
(t)
=
n(n-1)c>n>tn-2
(2+t)( > >n(n-1)c>n>tn-2) – (> >nc>n>tn-1) – 4t3(> > c>n>tn)=0
Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:
t0 : 4c>2> – c>1>=0 > > 4c>2>-c>1>-4c>-3>=0
t1 : > > > > > >
> > > > > >
> >
рекуррентное соотношение имеет вид
> > > > n> > N, c>-3>=0, c>-2>=0, c>-1>=0 (I.5)
при n=0, > >
n=1, > >
n=2, c>4>=0
n=3, > >
n=m-2, > > > >
> > > >
> >Итак, > >
Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.
> >
> >
> >
Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):
а) > > > > > >> >
б) > > > > > >> >
Итак, область сходимости > >
Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.
Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:
Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х>1>,х>2>) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).
На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.
положение
равновесия
Д=-7
фокус,
т.к.
<0,
то фазовая кривая закручивается.
III. Малые возмущения системы линейных уравнений
В этой задаче рассматривается система:
с действительными коэффициентами а>ij>.
Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:
(1)
Сведем систему (1) к системе вида:
(2)
с помощью замены
(3)
Запишем систему (1) в виде
,
где
(4)
Подставим
в систему (4), а
в систему (3), тогда получим:
(5)
Найдем собственные значения матрицы А:
,
Систему (2) можно записать в виде:
,
где
(6)
Из системы (5)
и (6) следует, что
Подберем
матрицу С такую, что
пусть
и AC = CB
=
Решив эту
систему, получим: a=-2,
b=-1, c=1, d=0,
т.е.
и
Поставим матрицу С в замену:
Подставим полученные значения в систему (2):
,
где
При
получаем систему 
Это уравнение
малых колебаний маятника. По теореме о
дифференцируемости по параметру при
малых решение (на
конечном интервале времени) отличается
поправкой порядка
от гармонических колебаний:
Следовательно, при достаточно малом = (Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.
При
фазовая кривая не обязательно замкнутая:
она может иметь вид спирали, у которой
расстояние между соседними витками
очень мало (порядка ).
Чтобы узнать, приближается ли фазовая
кривая к началу координат или уходит
от него, рассмотрим приращение энергии
за один оборот вокруг начала координат.
Нас интересует знак этого приращения:
на раскручивающейся спирали приращение
положительное, на сжимающейся –
отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем
приближенную формулу:
Подставляя
значения
и
,
получим:
Для вычисления
энергии за оборот следовало бы
проинтегрировать эту функцию вдоль
витка фазовой траектории, которая
неизвестна. Но виток близок к окружности.
Поэтому интеграл можно посчитать с
точностью до O(
)
по окружности радиуса А.
Пусть
,
тогда
для
(при малых положительных значениях
),
поэтому фазовые точки удаляются от
центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.
Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)
Так как detC>0,
то при замене
на
ориентация системы координат не
изменилась.
Литература
Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.
Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.
Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.
program coefficients;
type mas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;
var rez1,rez2:text;
r1,r2:mas;i:integer;r:beg;
procedure calculate(t:beg;var a:mas);
begin
for i:=1 to 6 do a[i]:=t[i];
for i:=7 to 100 do
a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)
end;
begin
assign(rez1,'rez1.txt');
rewrite(rez1);
assign(rez2,'rez2.txt');
rewrite(rez2);
r[1]:=1;r[6]:=1/10;
calculate(r,r2);
r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;
calculate(r,r1);
for i:=1 to 25 do begin
writeln(rez1,' ',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);
writeln(rez2,' ',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);
end;
close(rez1);close(rez2);
end.
0.0000000000E+00 -8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25
1.0000000000E+00 4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25
2.5000000000E-01 -1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26
0.0000000000E+00 8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26
0.0000000000E+00 -3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26
0.0000000000E+00 1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27
4.7619047619E-02 -7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27
-1.1904761905E-02 3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27
5.2910052910E-03 -1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27
-2.3809523810E-03 6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28
1.0822510823E-03 -2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28
2.2546897547E-04 1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28
-2.5668775669E-04 -5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29
1.7731937375E-04 2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29
-1.0542477804E-04 -1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29
5.8436623727E-05 5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30
-2.5841727522E-05 -2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30
1.0525340241E-05 1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30
-3.9487320804E-06 -5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31
1.3207804853E-06 2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31
-3.5067345145E-07 -1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31
5.5497924241E-08 5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32
1.5059649832E-08 -2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32
-2.1523082502E-08 1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32
1.4733681219E-08 -5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32
1.0000000000E+00 1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25
0.0000000000E+00 -8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25
0.0000000000E+00 3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25
0.0000000000E+00 -1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26
0.0000000000E+00 7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26
1.0000000000E-01 -3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26
-4.2857142857E-02 1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27
1.8750000000E-02 -5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27
-8.3333333333E-03 2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27
3.7500000000E-03 -1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28
1.1363636364E-04 4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28
-7.0143398268E-04 -2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28
5.6412337662E-04 9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28
-3.5348951644E-04 -4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29
2.0067606005E-04 1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29
-9.3119933452E-05 -8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29
3.8663542340E-05 4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30
-1.4570702990E-05 -1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30
4.8347217880E-06 8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30
-1.2403030595E-06 -4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31
1.4719225001E-07 1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31
9.7123795568E-08 -9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31
-1.0404222235E-07 4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32
6.7370672802E-08 -2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32
-3.6472266477E-08 9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32