Интеграл Пуассона (работа 1)
Интеграл Пуассона.
Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -, , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку
fg(x)
=
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и
c>n >( fg ) = c>n> ( f ) c>n> ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )
где c>n> ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
c>n>
=
-i
n tdt
, n = 0,
Пусть L1 (-) . Рассмотрим при r функцию
>r>
( x ) =
>n>
( f ) rn
ei n x
, x
, ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , r . Коэффициенты Фурье функции >r> х равны
c>n>
( f>r>
) = c>n>
r
n
, n = 0 , ,
а это согласно (1) значит, что >r
>
x
можно представить в виде свертки :
>r>
( x ) =
, ( 3 )
где
, t
( 4 )
Функция двух переменных Р>r> (t) , 0 r , t , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
P>r>
( t ) =
, 0r
, t
. ( 5 )
Если L ( - ) действительная функция , то , учитывая , что
c>-n >( f ) = c>n>( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :
f>r>
( x ) =
=
,
( 6 )
где
F ( z ) = c>0>
( f ) + 2
( z = reix
)
( 7 )
аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции L1( -, ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = >r> (eix ) , z = reix , 0 r 1 , x [ -, ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге z функция и (x) = u (eix) , x, . Тогда
u (z) =
( z = reix
,
z
) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона P>r> (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
,
z
+
.
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции >r >(x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)
;
б)
;
в) для любого >0
Соотношения
а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для
доказательства б) достаточно положить
в (2) и (3)
х
.
Теорема 1.
Для
произвольной (комплекснозначной) функции
(
-,
) , 1
p <
, имеет место равенство
;
если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для
любой функции
, пользуясь неравенством Гельдера и
положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для
данного
найдем
=
()
такое, что
.
Тогда для r
, достаточно близких к единице, мы
получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть
функция
суммируема на любом интервале (-А, А), А
> 0 . Максимальной функцией
для функции
называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор
называется оператором слабого типа
(р,р) , если для любого y
> 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть
-
комплекснозначная функция из
. Тогда
для п.в.
.
Доказательство.
Покажем,
что для
и
, (
13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) 1. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть
-
такое число, что
.
Тогда
для
.
Неравенство
(13) доказано. Используя затем слабый тип
(1,1) оператора
,
найдем такую последовательность функций
,что
,
( 14 )
для п.в.
.
Согласно (13) при x (-2)
Учитывая
, что по теореме 1
для каждого x
[-
]
и (14)
Из последней оценки получим
при n.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя
вместо (13) более сильное неравенство
(59), которое мы докажем позже, можно
показать, что для п.в. x
[-
]
,
когда точка reit
стремится к eix
по
некасательному к окружности
пути.
1
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности
на отрезок 22
(т.е.
f
(x) = f (y) , если x,y
[-2,2]
и x-y=2)
и f (x) = 0
, если x
.