Геометрия (работа 2)
БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость
называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Док-во: Пусть -плоскость,
а - не лежащая в ней прямая
и а>1> - прямая в плоскости ,
параллельная прямой а.
Проведем плоскость >1> ч/з
прямые а и а>1>.
Она отлична от ,
т.к. прямая а не ле-
жит в плоскости . Плоскости и >1> пересекаются по прямой а>1>. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а>1>. Но это невозможно, т.к. прямые а и а>1> параллель-
ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.
2. V>параллелепипеда>= S>осн.>*H
БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.
Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.
S>п.п.>=2R(H+R)
БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b.
Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b.
2. V>пирамиды>= 1/3*S>осн.>*H
БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотрим
две плоскости и . В
плоскости лежат
пересекающиеся в т.М
прямые a и b, а в -
- прямые а>1> и b>1>,
причем а а>1> и b b>1>.
Докажем, что плоскос.
-ти и не параллель
ны. Тогда они перес.
по прямой с. Мы получили, что плоскость проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что
а с.
Но плоскость проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая с.
Значит, наше допущение неверно и . Ч.Т.Д.
- - - - - - - -
БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а и
М плоскость , а ч/з М в
в плоскости прямую
b a. Докажем, что b a
единственна.
Допустим, что существует другая прямая b>2> a, и
проходящая ч/з т.М. Через b>2> и а можно провести
плоскость >2>, которая проходит ч/з М и а, след-но,
по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА
ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она
совпадает с . По аксиоме о параллельных
прямых b>2> и а совпадают. Ч.Т.Д.
2. V>ус.кон.>=1/3*H(R>1>2+R>1>R>2>+R>2>2)
БИЛЕТ 1 А>1 >Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости
и точки, не принадлежащие ей.
А>2> Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой.
А>3> Если две различные прямые имеют общую
точку, то ч/з них можно провести плоскость, и
притом только одну.
2. S>п.п.>=S>бок.>+S>осн.>; S>бок.>=P>осн.>*A
БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10 Проекция прямой есть прямая.
20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.
одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.
Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.
- - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
Док-во: AH - перпенд.
к плоскости , AM -
наклонная, а - прямая
проведенная в плоск.
ч/з точку M перпенд
к проекцииHM
наклонной.
Рассмотрим плоск.
AMH. Прямая аэтой
плоскости, т.к. она
к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.
что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.
Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
S>сеч.>=2RH
S>шар.сег.>=2RH
БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b>1>, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b>1> совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a b. Допустим, что прямые b и b>1> не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b>1>, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости и . Но это невозможно, след-но, a b. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости и такие, что плоскость проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости и пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .
Проведем в плоскости прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и . Но BAD=900 (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями и равен 900, т.е. . Ч.Т.Д.
S>бок>=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)
БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а>1> и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а>1>.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .
Так как а, то ах. Таким образом, прямая а>1> перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а>1>. Ч.Т.Д.
V>паралл-да>=abc=S>осн.>*H
БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.
S>полн>=S>бок>+2S>осн> ; S>бок>=P*H(ребро)
БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S>бок>=P*h. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A>1>B>1>C>1>D>1>, расположен-
ных в плоскостях так, что отрезки AA>1>,BB>1>,CC>1>, и
DD>1> параллельны.
Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A>1>B>1>C>1>D>1> и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA>1>..D>1>.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.
ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Док-во: Рассмотрим четырехугольник A>1>D>1>CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA>1>..D>1>. Т.к. A>1>D>1> BC и
A>1>D>1>=BC, то A>1>D>1>CB> > - параллелограмм. Поэтому диагонали A>1>C и D>1>B> > пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A>1>A>2>..A>n>
и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-
ников: PA>1>A>2>,PA>2>A>3>,...,PA>n>A>1>.
Многогранник, составленный из n-угольника A>1>A>2>..A>n> и n треугольников, называется пирамидой
Многоугольник A>1>A>2>..A>n> называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA>1>, PA>2>, ..., Pa>n> - ее боковыми ребрами.
ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Док-во: S-вершина пирамид
A - верш.основания и A1 -
точка пересечения секущей
плоскости с боковым ребр.
SA. Подвергнем пирамиду
преобразованию гомотетии
относительно вершины S с
коэф. гомотет. k=SA1/SA
При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую
плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл
пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Док-во: Докажем,
что
AC>1>2=AB2+AD2+AA>1>2
Так как ребро CC>1>
перпендикулярно
к основанию ABCD,
то ACC>1>-прямой.
Из прямоугольного
треугольника ACC>1>
по теореме Пифагора получаем AC>1>2=AC2+CC>1>2.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC>1>=AA>1>.
След-но AC>1>2=AB2+AD2+AA>1>2 Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Док-во: Докажем равенство граней ABB>1>A>1> и DCC>1>D параллелепипеда ABCA>1>..D>1>. Т.к. ABCD и ADD>1>A>1> - параллелограммы, то ABDC и AA>1>DD>1>. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA>1> одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD>1> другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.
следует, что грани ABB>1>A>1> и DCC>1>D>1> параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA>1>=DD>1>. По той же причине стороны углов A>1>AB и D>1>DC> > соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и м/у ними паралл-ма ABB>1>A>1> соотв.
равны двум смежным сторонам у м/у ними пар-ма DCC>1>D>1>, поэтому эти параллелограммы равны
БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Док-во: Рассмотрим конус
с объемом V. Произвольн.
сечение конуса плоскостью
перпендикулярной к оси Ox,
является кругом с центром
в т.M>1> пересечения этой
плоскости с осью Ox.
Обозначим радиус этого
круга ч/з R>1>, а площадь
сечения ч/з S(x), где x-
- абсцисса точки M>1>. Из
подобия прямоугольных
треугольников OM>1>A>1> и OMA следует, что
OM>1>/OM=R>1>/R, или x/h=R>1>/R, откуда R>1>=xR/h.
Так как S(x)=R>1>2, то S(x)=R2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:
Площадь S основания конуса равна R2, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула S>бок>=2rh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму
ABCA>1>B>1>C>1> с объемом V и
высотой h. Проведем такую
высоту треугольника ABC
отрез.BD, которая разделяет
этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB>1>D разделяет
данную призму на две приз.,
основаниями которых явл.
прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V>1> и V>2> этих призм соответственно равны
S>abd>h и S>bdc>h. V=V>1>+V>2>, т.е. V=S>abd>h+S>bdc>h=
=(S>abd>+S>bdc>)h. Таким обр., V=S>abc>h
2) Докажем теорему для произвольной
призмы с высотой h и площ.
основания S. Такую призму
можно разбить на прямые
треуг. призмы с высотой h.
Выразим объем каждой приз.
по формуле (1) и сложим эти
объемы. Вынося за скобки
множитель h, получим в
скобках сумму площадей
оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
