Все о Конусе
Муниципальное обще образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №54 с углубленным изучение предметов социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска
Экзаменационная работа по геометрии на тему:
«Конус»
Выполнил: Ученик 11В класса
Сушко Юрий
I Конус
Конус
– тело, полученное вращением прямоугольного
треугольника вокруг прямой, содержащей
катет.
S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса
Отрезок SA=L образующая.
Отрезок OA=R – радиус основания.
Отрезок BC=2R – диаметр основания.
Треугольник SBC-осевое сечение
Угол BSC – угол при вершине осевого сечения
Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания
II Сечение конуса
1.
Секущая плоскость проходит через ось
конуса (осевое сечение – равнобедренный
треугольник рис. 1)
2.
Секущая плоскость проходит перпендикулярно
к оси конуса
- круг с центром О1 (рис. 2)
3.Сечение
проходящее через верщину конуса –
равнобедренный
треугольник (рис. 3)
4.Параболическое
и гиперболическое сечения. (рис. 4 )
В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса
и
совпадает с центром окружности, вписанно
в треугольник,
являющийся осевым сечением конуса.
Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L
Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на
оси
конуса и совпадает с центром окружности,
описаной около
треугольника, являющегося осевым сечением конуса.
Rш = Rк / sinb ; R²ш= (H-Rш) ² + Rк²
Rш =L/2H ; (2Rш - Hк)Hк = Rк²
III Площадь поверхности конуса
За
плщадь боковой поверхности конуса
принимается площадь её разертки. Выразим
S бок через
его опразующую L
и радиус основания r. Площадь кругового
сектора πL²/360*α
. Выразим α
через L и r
. Длинна дуги ABA
равна 2πr
(длинна окружности основания конуса)
2πr = πL/180*
α, откуда
следует α=360r/L
следовательно Sбок
= πL²360r/360L=πrL
Sбок = πrL
2. Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания
Sпол=πrL(L+r)
IV Объем конуса
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Рассмотрим
конус с обьемом V,
радиусом R,
высотой h и
вершиной О. Введем ось Ох, чтобы она
совпадала с осью конуса -ОН . Произвольное
сечение конуса плоскостью, перпендикулярной
к оси Ох, является круг с центром в точке
Н1 пересечения этой плоскости с осью
Ох. Обозначим Радиус этого круга через
, ф площадь S(x)
через,где х-абсцисса точки Н1. Из подобия
треугольников ОН1А1 и ОНА следует,что
ОН1/ОН=R1/R,
или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= πR², то S(x)= πR²/h²* ²
Применяя
основную формулу вычисления обьемов
тел при а=0 и b=h
получаем
V Усеченный конус.
Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным основанию сечением конуса.
Круги с центрами О1 и О2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r – радиусы оснований, АВ= L образующая ,α угол наклона образующе и плоскости нижнего основания.
Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD – осевое сечение.
Н=L*sin
α
H²+(R-r) ²=L²
Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2
CF=FD OF┴Cd=>
О
– центр описанного шара R
- радиус описанного шара, равный радиусу
окружносит описанной около ΔACD
В
усеченный конус можно вписать шар тогда
и только тогда, когда образующая равна
сумме радиусов оснований L=R+r
=> существует вписанный шар.
VI Площадь поверхности усеченного конуса
Пусть Р – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1-одна из образующих
Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для конуса получаем
S бок = πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L, находим
Sбок =πrL +π (r - r1)PA1
Выразим РА1 через L1, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или PA1/PA1+L=r/R1. Получаем PA1=Lr1/R-r1. S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-r1=πrL+πr1L=πL(r+r1)
Sбок =πL(r+r1)
Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и оснований
Sполн =
S1+S2+Sбок=πL(r+r1)+ πR²+πr²
VII Обьем усеченного конуса
Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S и S1 вычисляется по формуле
V=1/3h(S+S1+√S*S1)