Волновые уравнения (работа 2)
Вывод уравнения колебания в электрических проводах.
Электрический ток в
проводах характеризуется величиной
и напряжением
которые зависят от координат Х точки
провода и от времени t.
Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем
написать, что падение напряжения на
элементе ∆Х равно
-
.Это
падение напряжения складывается из
омического, равного
и индуктивного, равного
Итак
где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение
Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t , будет
Она расходуется
на зарядку элемента, равную
и на утечку через боковую поверхность
провода в следствии несовершенства
изоляции, равную
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
Сократим на
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений
Из этой системы
уравнений можно получить уравнение,
содержащее только искомую функцию,
и уравнение, содержащее только искомую
функцию
.
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.
Аналогичным
образом получим уравнение для определения
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.
Навоийский Государственный горный институт
Горный факультет
Кафедра «Высшей математики»
Волновые уравнения
Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД
Дерюга А.М.
Навоий 2004 г.