Билеты по аналитической геометрии

1.doc

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а_>1>, а_>2>, а_>3>,…,а_>л> (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство _>1>а_>1>+_>2>а_>2>+…+_>л>а_>л>=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа _>1>, _>2>,…, _>л>=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном _>i>0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

(а,b)=  (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x_>1>x_>2>+y_>1>y_>2>+z_>1>z_>2>/sqrt(x_>1>²+y_>1>²+z_>1>²)*sqrt(x_>2>²+y_>2>²+z_>2>²)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]

[а,b]=  [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М_>0> в ур-е (1) и получим Ах_>0>+By_>0>+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х_>0>)+B(y-y_>0>)=0, n(A,B), М_>0>М(х-х_>0>, y-y_>0>). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M_>0>M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А_>1>х+B_>1>y+C_>1>=0 и А_>2>х+B_>2>y+C_>2>=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А_>1>=t*А_>2>и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x_>1>/e=y-y_>1>/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M_>1>М(х-х_>1>; y-y_>1>)

x-x_>1>/x_>2>-x_>1>=y-y_>1>/y_>2>-y_>1>

Пусть на прямой даны две точки М_>1>(x_>1>;y_>1>) и М_>2>(x_>2>;y_>2>). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x_>2>-x_>1>; y_>2>-y_>1>)

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x_>1>/e/e=y-y_>1>/m/e. y-y_>1>=k(x-x_>1>) при y_>1>-kx_>1>=b, y=kx+b

xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x_>1> и y=mt+y_>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М_>1>(x_>1>;y_>1>), тогда отклонение точки М_>1> = x_>1>cos+y_>1>sin-P=0

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F_>1>F_>2>|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r_>1>, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r_>2>-r_>1>|=2a; a<c;

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y²=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D_>1>: x= - a/e

D_>2>: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r_>1>/d_>1>=e

x|a|, xe+a>0

r_>1>=xe+a

d_>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D_>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_>м>=-x-a/e

d_>1>=-б_>м> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М_>0>(x_>0>;y_>0>) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у_>0>=y’(x_>0>)(x-x_>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y_>0>-a²y_>0>²+b²x_>0>x-b²x_>0>²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е_>1>;е_>1>’)=cos u

(е_>1>;е_>2>’)=cos (90+u)= -sin u

(е_>2>;е_>1>’)=cos (90-u)=sin u

(е_>2>;е_>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е_>1>;е_>1>’)=(е_>1>, _>11>е_>1>+_>12>е_>2>)= _>11>

(е_>1>;е_>2>’)= (е_>1>, _>21>е_>1>+_>22>е_>2>)= _>21>

(е_>2>;е_>1>’)= _>12>

(е_>2>;е_>2>’)= _>22>

Приравниваем:

_>11>=cos u

_>21>= - sin u

_>12>=sin u

_>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I_>1>; I_>2>; I_>3>

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I_>2>>0 – элиптический тип

I_>2><0 – гиперболический тип

I_>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a_>11>x’²+2a_>12>x’y’+a_>22>y’²+a’_>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a_>13>’=0 и a_>23>’=0.

Получается система a_>11>x_>0>+a_>12>y_>0>+a_>13>=0 и a_>12>x_>0>+a_>22>y_>0>+a_>23>=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x_>0> и y_>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I_>2>0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а_>12>=0. a_>12>’= -0,5(a_>11>-a_>22>)sin2u+a_>12>cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a_>11>’x’²+a_>22>’y’²+2a_>13>’x’+2a_>23>’y’+a_>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I_>2>>0 и пусть I_>1>>0_>>следовательно уравнение (1) определяет: 1. I_>3><0 – эллипс; 2. I_>3>=0 – точка; 3. I_>3>>0 – ур-е (1) не определяет. Если I_>3>=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I_>3>>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I_>2>>0, I_>1>>0, I_>3><0, тогда

а_>11>’’x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

I_>2>=a_>11>’’a_>22>’’ > 0

I_>1>= a_>11>’’+a_>22>’’ > 0

a_>11>’’ > 0; a_>22>’’ > 0

_>>

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I_>3>>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I_>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I_>2><0, I_>3>0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I_>3>=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I_>2><0; I_>2>= a_>11>’’a_>22>’’ < 0. Пусть a_>11>’’>0; a_>22>’’<0

Пусть I_>3>>0

_>>

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I_>3><0

-(-а_>11>’’)x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

_>>

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I_>3>=0

а_>11>’’x’’²-(-a_>22>’’)y’’²=0

_>>

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a_>11>x²+2a_>12>xy+a_>22>y²

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a_>11>²+2a_>12>+a_>22>²=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): _>> следовательно _>>. Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на ², получим: a_>11>(/)²+2a_>12>/+a_>22>=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

_>>

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I_>2>0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I_>2>>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

_>>

(, )_>1>=(a,b)

(, )_>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(, )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: _>>

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x_>0>;y_>0>;z_>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax_>0>+By_>0>+Cz_>0>=-D

A(x-x_>0>)+B(y-y_>0>)+C(z-z_>0>)=0

Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М_>1>(x_>1>;y_>1>;z_>1>); М_>2>(x_>2>;y_>2>;z_>2>); М_>3>(x_>3>;y_>3>;z_>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М_>1>М x-x_>1> y-y_>1> z-z_>1>

М_>1>М_>2>_>>x_>2>-x_>1> y_>2>-y_>1>z_>2>-z_>1>=0

М_>1>М_>3>_>>x_>3>-x_>1> y_>3>-y_>1> z_>3>-z_>1>

Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V_>1>;V_>2>;V_>3>); U(U_>1>;U_>2>;U_>3>); M_>0>(x_>0>;y_>0>;z_>0>), тогда плостость имеет вид: система: x=x_>0>+V_>1>t+U_>1>s и y=y_>0>+V_>2>t+U_>2>s и z=z_>0>+V_>3>t+U_>3>s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M_>0>(x_>0>;y_>0>;z_>0>)

_>>

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A_>1>x+B_>1>y+C_>1>z+D_>1>=0; A_>2>x+B_>2>y+C_>2>z+D_>2>=0, поэтому n_>1>(A_>1>;B_>1>;C_>1>); n_>2>(A_>2>;B_>2>;C_>2>). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

_>>

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а_>1>, а_>2>, а_>3>,…,а_>л> (1) одной размерности.

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

(а,b)=  (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]

[а,b]=  [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x_>1>/e=y-y_>1>/m

x-x_>1>/x_>2>-x_>1>=y-y_>1>/y_>2>-y_>1>

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x_>1> и y=mt+y_>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническое уравнение:

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническое уравнение:

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y²=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

D_>1>: x= - a/e

D_>2>: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Доказательство: для эллипса.

r_>1>/d_>1>=e

x|a|, xe+a>0

r_>1>=xe+a

d_>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D_>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_>м>=-x-a/e

d_>1>=-б_>м> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

у-у_>0>=y’(x_>0>)(x-x_>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y_>0>-a²y_>0>²+b²x_>0>x-b²x_>0>²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

(е_>1>;е_>1>’)=cos u

(е_>1>;е_>2>’)=cos (90+u)= -sin u

(е_>2>;е_>1>’)=cos (90-u)=sin u

(е_>2>;е_>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е_>1>;е_>1>’)=(е_>1>, _>11>е_>1>+_>12>е_>2>)= _>11>

(е_>1>;е_>2>’)= (е_>1>, _>21>е_>1>+_>22>е_>2>)= _>21>

(е_>2>;е_>1>’)= _>12>

(е_>2>;е_>2>’)= _>22>

Приравниваем:

_>11>=cos u

_>21>= - sin u

_>12>=sin u

_>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение:

I_>2>>0 – элиптический тип

I_>2><0 – гиперболический тип

I_>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

a_>11>x’²+2a_>12>x’y’+a_>22>y’²+a’_>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a_>13>’=0 и a_>23>’=0.

Получается система a_>11>x_>0>+a_>12>y_>0>+a_>13>=0 и a_>12>x_>0>+a_>22>y_>0>+a_>23>=0

Но точка О’ существует если знаменатели у x_>0> и y_>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Поворот:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a_>11>’x’²+a_>22>’y’²+2a_>13>’x’+2a_>23>’y’+a_>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Доказательство:

1. пусть I_>2>>0, I_>1>>0, I_>3><0, тогда

а_>11>’’x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

_>>

I_>2>=a_>11>’’a_>22>’’ > 0

I_>1>= a_>11>’’+a_>22>’’ > 0

a_>11>’’ > 0; a_>22>’’ > 0

_>>

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

3. I_>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Доказательство: I_>2><0; I_>2>= a_>11>’’a_>22>’’ < 0. Пусть a_>11>’’>0; a_>22>’’<0

Пусть I_>3>>0

_>>

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I_>3><0

-(-а_>11>’’)x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

_>>

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I_>3>=0

а_>11>’’x’’²-(-a_>22>’’)y’’²=0

_>>

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a_>11>²+2a_>12>+a_>22>²=0 (*)

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

_>>

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

_>>

(, )_>1>=(a,b)

(, )_>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(, )=(0,0)

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: _>>

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x_>0>;y_>0>;z_>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax_>0>+By_>0>+Cz_>0>=-D

A(x-x_>0>)+B(y-y_>0>)+C(z-z_>0>)=0

Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М_>1>(x_>1>;y_>1>;z_>1>); М_>2>(x_>2>;y_>2>;z_>2>); М_>3>(x_>3>;y_>3>;z_>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М_>1>М x-x_>1> y-y_>1> z-z_>1>

М_>1>М_>2>x_>2>-x_>1> y_>2>-y_>1>z_>2>-z_>1>=0

М_>1>М_>3>x_>3>-x_>1> y_>3>-y_>1> z_>3>-z_>1>

Параметрическое ур-е плоскости.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M_>0>(x_>0>;y_>0>;z_>0>)

_>>

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

_>>

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A_>1>x+B_>1>y+C_>1>z+D_>1>=0; A_>2>x+B_>2>y+C_>2>z+D_>2>=0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: (A_>1>x+B_>1>y+C_>1>z+D_>1>)+(A_>2>x+B_>2>y+C_>2>z+D_>2>), где  и  принадлежат R и не равны нулю одновременно.

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

1. n_>1> параллелен n_>2> _>> - параллельности.

2. A_>1>A_>2>+B_>1>B_>2>+C_>1>C_>2>=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A_>1>x+B_>1>y+C_>1>z+D_>1>=0; A_>2>x+B_>2>y+C_>2>z+D_>2>=0; A_>3>x+B_>3>y+C_>3>z+D_>3>=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.

3.doc

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а_>1>, а_>2>, а_>3>,…,а_>л> (1) одной размерности.

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

(а,b)=  (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]

[а,b]=  [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x_>1>/e=y-y_>1>/m

x-x_>1>/x_>2>-x_>1>=y-y_>1>/y_>2>-y_>1>

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x_>1> и y=mt+y_>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническое уравнение:

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническое уравнение:

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y²=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

D_>1>: x= - a/e

D_>2>: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Доказательство: для эллипса.

r_>1>/d_>1>=e

x|a|, xe+a>0

r_>1>=xe+a

d_>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D_>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_>м>=-x-a/e

d_>1>=-б_>м> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

у-у_>0>=y’(x_>0>)(x-x_>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y_>0>-a²y_>0>²+b²x_>0>x-b²x_>0>²=0

_>>

_>> - уравнение касательной к эллипсу.

_>> - уравнение касательной к гиперболе.

_>> - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

(е_>1>;е_>1>’)=cos u

(е_>1>;е_>2>’)=cos (90+u)= -sin u

(е_>2>;е_>1>’)=cos (90-u)=sin u

(е_>2>;е_>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е_>1>;е_>1>’)=(е_>1>, _>11>е_>1>+_>12>е_>2>)= _>11>

(е_>1>;е_>2>’)= (е_>1>, _>21>е_>1>+_>22>е_>2>)= _>21>

(е_>2>;е_>1>’)= _>12>

(е_>2>;е_>2>’)= _>22>

Приравниваем:

_>11>=cos u

_>21>= - sin u

_>12>=sin u

_>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение:

I_>2>>0 – элиптический тип

I_>2><0 – гиперболический тип

I_>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

a_>11>x’²+2a_>12>x’y’+a_>22>y’²+a’_>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a_>13>’=0 и a_>23>’=0.

Получается система a_>11>x_>0>+a_>12>y_>0>+a_>13>=0 и a_>12>x_>0>+a_>22>y_>0>+a_>23>=0

Но точка О’ существует если знаменатели у x_>0> и y_>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Поворот:

_>>, после такого преобразования уравнение принимает вид

a_>11>’x’²+a_>22>’y’²+2a_>13>’x’+2a_>23>’y’+a_>33>’=0 (3)

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а_>1>, а_>2>, а_>3>,…,а_>л> (1) одной размерности.

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

(а,b)=  (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]

[а,b]=  [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x_>1>/e=y-y_>1>/m

x-x_>1>/x_>2>-x_>1>=y-y_>1>/y_>2>-y_>1>

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x_>1> и y=mt+y_>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническое уравнение:

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническое уравнение:

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y²=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

D_>1>: x= - a/e

D_>2>: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Доказательство: для эллипса.

r_>1>/d_>1>=e

x|a|, xe+a>0

r_>1>=xe+a

d_>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D_>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_>м>=-x-a/e

d_>1>=-б_>м> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

у-у_>0>=y’(x_>0>)(x-x_>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y_>0>-a²y_>0>²+b²x_>0>x-b²x_>0>²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

(е_>1>;е_>1>’)=cos u

(е_>1>;е_>2>’)=cos (90+u)= -sin u

(е_>2>;е_>1>’)=cos (90-u)=sin u

(е_>2>;е_>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е_>1>;е_>1>’)=(е_>1>, _>11>е_>1>+_>12>е_>2>)= _>11>

(е_>1>;е_>2>’)= (е_>1>, _>21>е_>1>+_>22>е_>2>)= _>21>

(е_>2>;е_>1>’)= _>12>

(е_>2>;е_>2>’)= _>22>

Приравниваем:

_>11>=cos u

_>21>= - sin u

_>12>=sin u

_>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение:

I_>2>>0 – элиптический тип

I_>2><0 – гиперболический тип

I_>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

a_>11>x’²+2a_>12>x’y’+a_>22>y’²+a’_>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a_>13>’=0 и a_>23>’=0.

Получается система a_>11>x_>0>+a_>12>y_>0>+a_>13>=0 и a_>12>x_>0>+a_>22>y_>0>+a_>23>=0

Но точка О’ существует если знаменатели у x_>0> и y_>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Поворот:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a_>11>’x’²+a_>22>’y’²+2a_>13>’x’+2a_>23>’y’+a_>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Доказательство:

1. пусть I_>2>>0, I_>1>>0, I_>3><0, тогда

а_>11>’’x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

_>>

I_>2>=a_>11>’’a_>22>’’ > 0

I_>1>= a_>11>’’+a_>22>’’ > 0

a_>11>’’ > 0; a_>22>’’ > 0

_>>

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

3. I_>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Доказательство: I_>2><0; I_>2>= a_>11>’’a_>22>’’ < 0. Пусть a_>11>’’>0; a_>22>’’<0

Пусть I_>3>>0

_>>

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I_>3><0

-(-а_>11>’’)x’’²+a_>22>’’ y’’²= -I_>3>/I_>2>

_>>

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I_>3>=0

а_>11>’’x’’²-(-a_>22>’’)y’’²=0

_>>

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a_>11>²+2a_>12>+a_>22>²=0 (*)

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

_>>

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

_>>

(, )_>1>=(a,b)

(, )_>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(, )=(0,0)

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: _>>

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x_>0>;y_>0>;z_>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax_>0>+By_>0>+Cz_>0>=-D

A(x-x_>0>)+B(y-y_>0>)+C(z-z_>0>)=0

Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М_>1>(x_>1>;y_>1>;z_>1>); М_>2>(x_>2>;y_>2>;z_>2>); М_>3>(x_>3>;y_>3>;z_>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М_>1>М x-x_>1> y-y_>1> z-z_>1>

М_>1>М_>2>x_>2>-x_>1> y_>2>-y_>1>z_>2>-z_>1>=0

М_>1>М_>3>x_>3>-x_>1> y_>3>-y_>1> z_>3>-z_>1>

Параметрическое ур-е плоскости.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M_>0>(x_>0>;y_>0>;z_>0>)

_>>

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

_>>

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Условия для плоскостей:

1. n_>1> параллелен n_>2> _>> - параллельности.

2. A_>1>A_>2>+B_>1>B_>2>+C_>1>C_>2>=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A_>1>x+B_>1>y+C_>1>z+D_>1>=0; A_>2>x+B_>2>y+C_>2>z+D_>2>=0; A_>3>x+B_>3>y+C_>3>z+D_>3>=0