Аркфункции (работа 1)
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y
y
y = arcsin(1/x)Д
π/2
-π/2
(f): | 1/x | ≤ 1 ,| x | ≥ 1 ,
( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
-1
0
1
x
y
x
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )
З
y
аметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откудаy
π
=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
π/2
0
1
-1
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Р
π/2
ешение:Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f
0
-1
(x) возрастает на пр. [-1;0]
1
x
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.
x
0
1
-1
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[
y
0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )
π/2 X |
0 |
< x < |
1 |
< x < |
+∞ |
1 -1 u=1/(x2-1) |
-1 |
↘ |
+ ∞ - ∞ |
↘ |
0 |
0 x y=arctg(u) |
- π/4 |
↘ |
π/2 - π/2 |
↘ |
0 |
-π/2
-π/4
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
x
y
0
x
y
0
1
-1
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент функция |
arcsin(x) |
arccos(x) |
arctg(x) |
arcctg(x) |
sin |
sin(arcsin(x))=x |
|||
cos |
x |
|||
tg |
x |
1 / x |
||
ctg |
1 / x |
x |
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)
Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
Из тождества следует:
> >
Имеем
> >
> >
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение > >
Решение: Применяем формулу > >, имеем: > >
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
> >
> >
Пример №3. Пользуясь ...
> >
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
> >
> >
> >
> >
> >
> >
Пример №5. Положив в формулах
> >, и > >
> >, получим:
> >, > >
Пример №6. Преобразуем > >
Положив в формуле > >, > >
Получим:
> >
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга > >принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
> >
arcsin(x)
arccos(x)
> >
x
y
1
-1
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга > >имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно
> >
Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:
> >
А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
> >
Так, например:
> >
> >
Аналогично:
> >
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
Выражение > >> >через арктангенс.
Пусть > >, тогда
> >
Дуга > >, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный > > и расположена в интервале (-π/2; π/2).
Дуга > >имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
> > (1)
(в интервале ( -1 : 1 )
Выражение > >через арксинус.
Т.к. > >, то > > (2)
в интервале > >
Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства > >следует тождество
> > (3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,
> >
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга > > не может быть значением арксинуса. В этом случае
> >
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть > >, если > >, то > >. Дуга имеет косинус, равный > >, а поэтому > >
При > >это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
> >, а для функции > >имеем: > >
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень > >, т.е. число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, если
График функции
1
-1
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
,
если
, если
Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при > >имеем:
> >
Если же х<0, то
> >
Итак,
> > > >, если > > (6)
> >, если > >
Выражение арккосинуса через арктангенс. Если > >, то > >
При > > имеем:
> >
Итак,
> > > >, если > > (7)
> >, если > >
Выражение арктангенса через арккотангенс.
> > > >, если х>0 (8)
> >,если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
> >.
Выражение арксинуса через арккотангенс.
> > > >, если > > (9)
> >, если > >
Выражение арккотангенса через арксинус.
> > > >, если 0<x (10)
> >, если х<0
Выражение арккотангенса через арктангенс.
> > > >, если x>0 (11)
> >, если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию > >
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
Y
y= 0 , если x>0
-π , если x<0
X
На чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. , то получаем
,
откуда:
на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y = 0 , если
, если
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
и
Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=π/6 имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
, то имеем y=π-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если , то
y=х-2πk
и если , то
y=(π-х)+2πk
График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
-π
π
X
Y
Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где > >
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и > >, поэтому:
> >
Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x
Вообще, если > >, то y = x - 2πk
Если же > >, то y = -x + πk
Графиком функции > >является ломаная линия
-π
π
0
Х
Y
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
;
В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .
Вычислив синус дуги γ, получим:
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
Откуда
> >
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму > >
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. > >, а > >. Вычисляем > >
В рассматриваемом примере > >, так как дуги γ и > >заключены в различных интервалах,
> >, а > >
В данном случае > >
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
> >
Обе дуги γ и > >расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: > >
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
> >, и > >
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности > >, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
> >;
> >
Разность α – β заключена в правой полуокружности: > >
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
> >;
> >
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
Преобразуем в арккосинус > >, где > > и > >
Имеем:
> >
Откуда
> >
Аналогично
> >, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
> >, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
> >
> >
> >
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
Выразить сумму > >через арксинус
По определению арксинуса
> > и > >,
откуда
> >
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1: > >
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при > >и > >, имеем:
> >, и > >,
откуда
> >
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а) > > б) > >
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
> > в случае а) и > > в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия > > и > >(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив > >, получим:
> >
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. > >или
> >
Откуда
> > и, следовательно, > >
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
> >;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
> > или > >
Случай 2. > >
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия > >получим > >
Случай 3. > >
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и > >
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
> >
откуда > >
Дуги γ и > > имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) > >, следовательно в случае 1 > >;
в случае 2 > > и в случае 3 > >.
Итак, имеем окончательно:
> > , > > или > >
> > > >; x > 0, y > 0, и > > (1)
> >; x < 0, y < 0, и > >
Пример:
> >
> >; > >
2. Заменив в (1) x на –x получим:
> > , > > или > >
> > > >; x > 0, y > 0, и > > (2)
> >; x < 0, y < 0, и > >
3. Выразить сумму > >через арккосинус
> > и > >
имеем
> >
Возможны следующие два случая.
Случай 1: > >если > >, то
> >
Приняв во внимание, что обе дуги > >и > >расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
> >
и следовательно, > >, откуда > >
Случай 2: > >. Если > >, то
> >,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим > >. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если > >, а случай 2, если
> >.
Из равенства > > следует, что дуги
> > и > > имеют одинаковый косинус.
В случае 1 > >, в случае 2 > >, следовательно,
> > > >, > >
> >, > > (3)
4. Аналогично
> > > >, > >
> >, > > (4)
пример: > >
5.
> >; xy < 1
> > > >; x > 1, xy > 1 (5)
> >; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
> >; xy > -1
> > > >; x > 0, xy < -1 (6)
> >; x < 0, xy < -1
7.
> >; > >
> > > >; > > (7)
> >; > >
8.
> > > >; > > (8)
> >; > >
9.
> >; > >
> > > >; x > 1 (9)
> >; x < -1
10. > > (10)
> > (11)
> > > > , если > > (12)
> >, если > >