Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
Формулы сокращенного умножения
(а в)2 = а2 2ав + в2
(а в)3 = а3 3а2в + 3ав2 в3
а2 в2 = (а + в) (а в)
а3 + в3 = (а + в) (а2 ав + в2)
а3 в3 = (а в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
ам ан = ам + н
ам ан = ам н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а в)м = ам вм
а м = 1 ам
ам н = н ам
Корни.
нав =на нв
на мв = н мам вн
на в = на нв
(нам)х = нам х
нам = ам/н
мна = мна
(на)м = нам
Арифметическая прогрессия.
а>1>, а>2>, а>3>, …, а> >>n>>-1>, а>n>> >
а> >>n>>-1 >- а>n>> >= d > >
d – разность прогрессии
а>2> = а>1>+ d
а>3 >= а>2 >+ d = а>1 >+ 2d
а>n>> >= а>1 >+ d(n-1)
Sn = (а>1 >+ а>n>) n = (2а>1 >+ ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а>1>, а>2>, а>3>, …, а> >>n>>-1>, а>n>> >
а> >>n>>+1 >/ а>n>> >= q> >
а>2> = а>1 >q
q - знаменатель прогрессии.
а>3> = а>2 >q = а>1 >q2
а>n>> >= а>1> q> >n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = а>n>> >q - а>1 > = а>1> (qn> > -1 q – 1)> >
q – 1> >
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а>1 >(1 - qn)
1 - q> >
Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а>1 >
1 - q> >
Вектора.
а = М>1>М>2 >=х>2> – х>1>, у>2> – у>1>, z>2> –z>1>
Длина вектора
а =(х>2 >- х>1>)2 +(у>2> - у>1>)2 + (z>2> - z>1>)2
Умножение вектора на число
а = d
Скалярное произведение векторов
а в = а в cos
cos = х>1>х>2 >+ у>1>у>2> + z>1>z>2>
х>1>2 + у>1>2 +z>1>2 х>2>2 +у>2>2 + z>2>2
а2 = а 2
а в = х>1>х>2 >+ у>1>у>2> + z>1>z>2>
Параллельность векторов
а в, то х>1> = у>1> = z>1>
х>2> у>2> z>2>
Перпендикулярность векторов
а в, то х>1>х>2> + у>1>у>2 >+ z>1>z>2>
Производная.
(c u) = с u
u = u v – u v
v v2
(c) = 0
(xn ) = n xn-1
(ax) = ax ln a
(ех ) = ех
(sin x) = cos x
(cos x) = - sin x
(tg x) = 1
cos2 x
(ctg x) = - 1
sin2 x
(ln x) = 1
х
(1 / х) = - 1
х2
(х) = 1
2 х
(х) = 1
Логарифмы.
log>а>в = с
log>а >1 = 0
log>а >а = 1
log>а >(m n) = log>а >m + log>а >n
log>а >m = log>а >m - log>а >n
n
log>а >m n = n log>а >m
log>а >n m = 1 log>а >m
n
log>а>в = log>с>в
log>с >а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитания
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg ( ) = (tg tg)
(1 + tg tg)
ctg ( ) = ctg ctg 1
ctg ctg
sin + sin = 2 sin ( + ) cos ( )
2
sin sin = 2 cos ( + ) sin ( )
2
cos + cos = 2 cos ( + ) cos ( )
2
cos cos = 2 sin ( + ) sin ( )
2
tg tg = sin ( )
cos cos
ctg ctg = sin ( )
sin sin
sin2 sin2 = cos2 cos2 =
sin ( + ) sin ( )
cos2 sin2 = cos2 sin2 =
cos ( + ) cos ( )
Связь между тригонометрическими функциями
sin = 1 cos2
sin = tg
1 + tg2
sin = 1
1 + ctg2
cos = 1 sin2
cos = 1
1 + tg2
cos = ctg
1 + ctg2
tg = sin
1 sin2
tg = 1 cos2
cos
tg = 1
ctg
ctg = 1 sin2
sin
ctg = cos
1 cos2
ctg = 1
tg
Формулы преобразования произведения
sin sin = cos ( ) cos ( + )
2
cos cos = cos ( ) + cos ( + )
2
sin cos = sin ( + ) + sin ( )
2
tg tg = tg + tg
ctg + ctg
ctg tg = ctg + tg
tg + ctg
ctg ctg = ctg + ctg
tg + tg
Формулы двойных углов
sin2 = 2 sin cos
sin = 2 sin () cos ()
cos2 = cos2 sin2 =
= 1 2sin2 =
= 2cos2 1
tg2 = 2 tg
1 tg2
= 2
ctg tg
tg = 2 tg (/2)
1 tg2 (/2)
ctg2 = ctg2 1
2 ctg
= ctg tg
2
ctg = ctg2 (/2) 1
2 ctg (/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + n
cos x = a
x = arkcos a + 2n
tg x = a
x = arktg a + n
ctg x = a
x = arkctg a + n
Формулы приведения
sin ( /2 ) = + cos
sin ( /2 + ) = + cos
sin ( ) = + sin
sin ( + ) = sin
sin (3/2 ) = cos
sin (3 /2 + ) = cos
sin (2 ) = sin
sin (2 + ) = + sin
----------------
cos (/2 ) = + sin
cos (/2 + ) = sin
cos ( ) = cos
cos ( + ) = cos
cos (3/2 ) = sin
cos (3/2 + ) = + sin
cos (2 ) = + cos
cos (2 + ) = + cos
-----------------
tg (/2 ) = + ctg
tg (/2 + ) = ctg
tg ( ) = tg
tg ( + ) = + tg
tg (3/2 ) = + ctg
tg (3/2 + ) = ctg
tg (2 ) = tg
tg (2 + ) = + tg
-------------
ctg (/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg ( ) = ctg
ctg ( + ) = + ctg
ctg (3/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg (2 ) = ctg
ctg (2 + ) = + ctg
sin ( ) = sin
cos ( ) = cos
tg ( ) = tg
В прямоугольном треугольнике
a2 + b2 = c2
a = c sin
a = b tg
b = c cos
теорема синусов:
a = b = c
sin sin sin
теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 2 bc cos
S = ½ ab
Площади фигур
Прямоугольник
S = a b = ½ d>1 >d>2> sin,
d>1 >и d>2 >- диагонали
- угол пересечения диагоналей
Параллелограмм
S = a h = a b sin
S = ½ d>1> d>2> sin
Трапеция
S = a + b h = ½ d>1 >d>2 >sin
2
Круг
S = l r = r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = ½ ah = ½ ab sin
Формула Герона:
S = p (p a) (p b) (p c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = ½ r P
где Р – периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2r
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sin = ah = ½ dD
где d - малая диагональ
D - большая диагональ
Объемы тел:
Параллелепипед
V = S>осн> h
Куб
V = abc = a3
Призма
V = S>осн> h = S>>>сеч> l
l - грань призмы
Пирамида
V = 1/3 S>осн> h
Цилиндр
V = S>осн> h = r2 h = 1/4 d2 h
r - радиус основания
d - диаметр основания
Конус
V = 1/3 S>осн> h = 1/3 r2 h
Шар
V = 4/3 r3
Площади поверхностей
Призма
S>п> = S>бок> + 2S>осн>
S>бок> = ph = S>>>сеч> l
p = a + b +c
Куб
S>п> = 6a2
Пирамида четырехугольная
S>п> = S>бок> + S>осн>
S>бок> = ½ P>осн> h
h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
S>п> = S>бок> + S>осн>
S>бок> = S>осн> cos
- угол наклона грани
Цилиндр
S>п> = S>бок> + S>осн>
S>бок> = 2 rh
S>осн> = 2r (h + r)
Конус
S>п> = S>бок> + S>осн>
S>бок> = rl
S>осн> = r (l + r)
Параллелепипед
S>п> = S>бок> + 2S>осн>
S>бок> = P>осн> l
Шар
S = 4 r2
Значения углов
0 /6 /4 /3 /2
sin 0 ½ 2/2 3/2 1 0
cos 1 3/2 2/2 ½ 0 -1
tg 0 1/3 1 3 - 0
ctg - 3 1 1/3 0 -
