Алгебра и Начало анализа (работа 1)
|
Алгебра и начала анализа. |
|
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
|
|
Ответ |
1.
Линейная функция y = ax + b, её свойства
и график.Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График
линейной функции y = kx + b есть прямая.
Для построения графика, очевидно,
достаточно двух точек, если k
0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
Ответ
№2. Опр.
Квадратичной функцией называется
функция, которую можно задать формулой
вида y = ax2
+ bx + c, где х - независимая переменная, а,
b и с - некоторые числа, причем а
0.
Графиком
квадратичной функции является
парабола.
Свойства функции y =
ax2(частный
случай)
при а > 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График
функции проходит через начало координат.
2.
Если х
0,
то y > 0. График функции расположен в
верхней полуплоскости.
3. График функции
симметричен относительно оси Oy.
4.
Функция убывает в промежутке (-
;
0] и возрастает в промежутке [0; +
).
5.
Наименьшее значение функция принимает
при х = 0. Область значений функции [0; +
).
Свойства
функции y = ax2
при а < 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График
функции проходит через начало координат.
2.
Если х
0,
то y < 0. График функции расположен в
нижней полуплоскости.
3. График функции
симметричен относительно оси Oy.
4.
Функция убывает в промежутке [0; +
)
и возрастает в промежутке (-
;
0].
5. Наименьшее значение функция
принимает при х = 0. Область значений
функции (-
;
0].
И, так, график функции y = ax2
+ bx + c есть парабола, вершиной которой
является точка (m; n), где m =
,
n=
.
Осью симметрии параболы служит прямая
х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви
параболы направлены вверх, при a < 0 -
вниз.
Ответ 3
Если
переменная у обратно пропорциональна
переменной х, то эта зависимость
выражается формулой
,
где
-
коэффициент обратной пропорциональности.
Область
определения функции
-
есть множество всех чисел, отличных от
нуля, т. е.
.
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.
№
4. Опр. Функция,
заданная формулой y = ax,
где а - некоторое положительное число,
не равное еденице, называется
показательной.
1. Функция y = ax
при а>1
а) область определения -
множество всех действительных чисел;
б)
множество значений - множество всех
положительных чисел;
в) функция
возрастает;
г) при х = 0 значение функции
равно 1;
д) если х > 0, то ax
> 1;
е) если х < 0, то 0< ax
<1;
2. Функция y = ax
при 0< а <1
а) область определения -
множество всех действительных чисел;
б)
множество значений - множество всех
положительных чисел;
в) функция
убывает;
г) при х = 0 значение функции
равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax
<1;
е) если х < 0, то ax
> 1.
№5.Опр.
Функцию, заданную формулой y = log>a>
x называют логарифмической функцией с
основанием а.
Свойства функции y = log>a>
x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция
возрастает;
г) если x = 1, то log>a>
x = 0;
д) если 0<x<1, то log>a>
x < 0;
е) если x > 1, то log>a>
x > 0.
Свойства функции y = log>a>
x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в)
функция убывает;
г) если x = 1, то log>a>
x = 0;
д) если 0 < x < 1, то log>a>
x > 0;
е) если x > 1, то log>a>
x < 0.
№6. Опр.
Отношение катета прямоугольного
треугольника, противолежащего острому
углу, к гипотенузе называется синусом
этого угла (обозначается sin
).
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция
нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех
;
функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
;
sin(x)
= 0 при x =
;
sin(x)
> 0 для всех
;
sin(x)
< 0 для всех
;
функция
возрастает на
;
функция
убывает на
.
№
7.Опр.
Отношение катета прямоугольного
треугольника, прилежащего к острому
углу, к гипотенузе называется косинусом
этого угла (обозначается cos
)
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция
четная: cos(-x) = cos(x) для всех
;
функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
;
cos(x)
= 0 при
;
cos(x)
> 0 для всех
;
cos(x)
> 0 для всех
;
функция
возрастает на
;
функция
убывает на
№8.Опр.
Отношение катета, противолежащего
острому углу прямоугольного треугольника,
к катету, прилежащему к этому углу,
называется тангенсом (обозначается tg
).
область
определения - множество всех действительных
чисел, кроме чисел вида;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
;
tg(x)
= 0 при х =
;
tg(x)
> 0 для
всех
;
tg(x)
< 0 для всех
;
функция
возрастает на
.
№9.Опр.
Отношение катета, прилежащего острому
углу прямоугольного треугольника, к
катету, противолежащему к этому углу,
называется котангенсом (обозначается
ctg
)
область
определения - множество всех действительных
чисел, кроме чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
;
ctg(x)
= 0 при x =
;
ctg(x)
> 0 для всех
;
ctg(x)
< 0 для всех
;
функция
убывает на
.
Ответ № 10
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а>2> - а>1> = а>3> - а>2> = ... = a>k> - a>k-1> = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а>n>), достаточно знать ее первый член а>1> и разность d.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое
свойство арифметической прогрессии.
Последовательность (аn) является
арифметической прогрессией тогда и
только тогда, когда любой ее член,
начиная со второго, является средним
арифметическим предшествующего и
последующего членов, т. е.
(1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a>n> = a>1> + d(n-1). (2)
Формула
суммы n первых членов арифметической
прогрессии имеет вид:
(3)
Если
в формулу (3) подставить вместо а>n>
его выражение по формуле (2), то получим
соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a>1> + a>n> = a>2> + a>n-1> = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b>2>:b>1> = b>3>:b>2> = ... = b>n>:b>n-1> = b>n+1>:b>n> = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b>n>), достаточно знать ее первый член b>1> и знаменатель q.
Если
q
> 0 (
),
то прогрессия является монотонной
последовательностью. Пусть, например,
b>1>=
-2, q
= 3, тогда геометрическая прогрессия
-2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая
последовательность. Если q
= 1, то все члены прогрессии равны между
собой. В этом случае прогрессия является
постоянной последовательностью.
Характеристическое
свойство геометрической прогрессии.
Последовательность (b>n>)
является геометрической прогрессией
тогда и только тогда, когда каждый ее
член, начиная со второго, есть среднее
геометрическое соседних с ним членов,
т. е.
(1)
Формула
n-го члена геометрической прогрессии
имеет вид:
(2)
Формула
суммы п первых членов геометрической
прогрессии имеет вид:
,
(3)
Если
в формулу (3) подставить вместо b>n>
его выражение по формуле (2), то получится
соот-ношение.
,
(4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b>1>b>n> = b>2>b>n-1> = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма
бесконечной геометрической прогресси
при
Пусть (x>n>)
- геометрическая прогрессия со
знаменателем q,
где
и
.
Суммой бесконечной геометрической
прогрессии, знаменатель которой
удовлетворяет условию
,
называется предел суммы n
первых
ее членов при
.
Обозначим
сумму бесконечной геометрической
прогрессии через S.
Тогда верна формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
формула для
корней уравнения sin(x) = a, где
,
имеет вид:
Частные
случаи:
sin(x)
= 0, x =
sin(x)
= 1, x =
sin(x)
= -1, x =
формула
для корней уравнения sin2(x)
= a, где
,
имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для
решения простейших тригонометрических
неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а)
используют единичную окружность или
график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х =
;
sin(x)
= -1, если x =
>;
sin(x) > 0, если
;
sin(x)
< 0, если
.
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
Формула для
корней уравнения cos(x) = a, где
,
имеет вид:
.
Частные
случаи:
cos(x) = 1, x =
;
cos(x)
= 0,
;
cos(x)
= -1, x =
Формула
для корней уравнения cos2(x)
= a, где
,
имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным
моментом является знание, что:
cos(x) =
0, если
;
cos(x)
= -1, если x =
;
cos(x)
= 1, если x =
;
cos(x)
> 0, если
;
cos(x)
> 0, если
.
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
Формула для
корней уравнения tg(x) = a имеет вид:
.
Частные
случаи:
tg(x) = 0, x =
;
tg(x)
= 1,
;
tg(x)
= -1,
.
Формула
для корней уравнения tg2(x)
= a, где
,
имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Важно
знать, что:
tg(x) > 0, если
;
tg(x)
< 0, если
;
Тангенс
не существует, если
.
№ 15
Формулами
приведения называются соотношения, с
помощью которых значения тригонометрических
функций аргументов
,
,
,
,
выражаются через значения sin
,
cos
,
tg
и
ctg
.
Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|
Функция
|
Аргумент
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
|
cos
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos
|
-cos
|
-sin
|
sin
|
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos |
-cos |
-sin
|
sin
|
cos
|
cos
|
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
Для
облегчения запоминания приведенных
формул нужно использовать следующие
правила:
a) при переходе от функций
углов
,
к
функциям угла
название
функции изменяют: синус на косинус,
тангенс на котангенс и наоборот;
при
переходе от функций углов
,
к
функциям угла
название
функции сохраняют;
б) считая
острым
углом (т. е.
),
перед функцией угла
ставят
такой знак, какой имеет приводимая
функ-ция углов
,
,
.
Все
вышеприведенные формулы можно получить,
пользуясь следующим правилом:
Любая
тригонометрическая функция угла 90°n +
по
абсолютной величине равна той же функции
угла
,
если число n - четное, и дополнительной
функции, если число n - нечетное. При
этом, если функция угла 90°n +
.
положительна, когда
-
острый угол, то знаки обеих функций
одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
Формулы косинуса
суммы и разности двух
аргументов:
Рис.1
Рис.2
Повернем
радиус ОА, равный R, около точки О на
угол
и
на угол
(рис.1).
Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное
произведение векторов
и
.
Пусть координаты точки В равны х>1>
и y>1,
>координаты
точки С равны х>2>
и y>2.
Эти же координаты имеют соответственно
и векторы >
и
.
По определению скалярного произведения
векторов:
=
х>1>х>2
+ >y>1>y>2>.
(1)
Выразим скалярное произведение
через
тригонометрические функции углов
и
.
Из определения косинуса и синуса
следует, что
х>1>
= R cos
,
y>1>
= R sin
,
х>2>
= R cos
,
y>2>
= R sin
.
Подставив
значения х>1>,
х>2>,
y>1>,
y>2>
в правую часть равенства (1), получим:=
R2cos
cos
+ R2sin
sin
= R2(cos
cos
+ sin
sin).
С
другой стороны, по теореме о скалярном
произведении векторовимеем:=
cos
BOC
= R2cos
BOC.
Угол
ВОС между векторами
и
может
быть равен
-
(рис.1),
-
(
-
)
(рис.2) либо может отличаться от этих
значений на целое число оборотов. В
любом из этих случаев cos
BOC
= cos (
-
).
Поэтому=
R2
cos (
-
).
Т.к.
равно
также
R2(cos
cos
+ sin
sin),
то
cos(
-
)
= cos
cos
+ sin
sin.
cos(
+
)
= cos(
- (-))
= cos
cos(-)
+ sin
sin(-)
= cos
cos
- sin
sin.
Значит,
cos(
+
)
= cos
cos
- sin
sin.
Формулы
синуса суммы и разности двух
аргументов:
sin(
+
)
= cos(
/2
- (
+
))
= cos((
/2
-
)
-
)
= cos(
/2
-
)
cos
+ sin(
/2
-
)
sin
= sin
cos
+ cos
sin.
Значит,
sin(
+
)
= sin
cos
+ cos
sin.
sin(
-
)
= sin(
+ (-))
= sin
cos(-)
+ cos
sin(-)
= sin
cos
- cos
sin.
Значит,
sin(
-
)
= sin
cos
- cos
sin.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы
сложения позволяют выразить sin 2,
cos 2,
tg 2,
ctg 2
через тригонометрические функции угла
.
Положим
в
формулах
sin(
+
)
= sin
cos
+ cos
sin
,
cos(
+
)
= cos
cos
- sin
sin
,
,
.равным
.
Получим тождества:
sin
2
= 2 sin
cos
;
cos
2
= cos2
-
sin2
=
1 - sin2
=
2 cos2
-
1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
Выразив правую
часть формулы cos 2
= cos2
-
sin2
через
одну тригонометрическую функцию (синус
или косинус), придем к соотношениям
cos
2
= 1 - sin2
,
cos 2
= 2 cos2
-
1.
Если в данных соотношениях положить
=
/2,
то получим:
cos
=
1 - 2 sin2
/2,
cos 2
= 2 cos2
/2
- 1. (1)
Из
формул (1) следует, что 
(2),
(3).
Разделив
почленно равенство (2) на равенство (3),
получим
(4).
В
формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом
зависит от того, в какой координатной
четверти находится угол
/2.
Полезно
знать следующую формулу: 
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму
и разность синусов или косинусов можно
представить в виде произведения
тригонометрических функций. Формулы,
на которых основано такое преобразование,
могут быть получены из формул
сложения.
Чтобы представить
в виде произведения сумму sin
+
sin
,
положим
=
x + y и
=
x - y и воспользуемся формулами синуса
суммы и синуса разности. Получим:
sin
+
sin
=
sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx
siny = 2sinx cosy.
Решив
теперь систему уравнений
=
x + y,
=
x - y относительно x и y, получим х =
,
y =
.
Следовательно,
sin
+
sin
=
2 sin
cos
.
Аналогичным образом выводят
формулы:
sin
-sin
=
2 cos
sin
;
cos
+
cos
=
2 cos
cos
;
cos
+
cos
=
-2 sin
sin
.
№ 20
Чтобы
найти решение приведенного квадратного
уравнения x2
+ px
+ q
= 0, где
,
достаточно перенести свободный член в
правую часть и к обеем частям равенства
прибавить
.
Тогда левая часть станет полным квадратом,
и мы получаем равносильное уравнение
=
-
q .
Оно
отличается от простейшего уравнения
x2
= m только внешним видом:
стоит
вместо x
и
-
q
- вместо m.
Находим
=
.
Отсюба х = -
.
Эта формула показывает, что всякое
квадратное уравнение имеет два корня.
Но эти корни могут быть и мнимыми, если
<
q
. Может также оказаться, что оба корня
квадратного уравнения равны между
собой, если
=
q
. Возращаемся к обычному виду
.
1. Сумма корней приведенного квадратного
уравнения x2
+ px
+ q
= 0 равна второму коэффициенту, взятому
с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену, т.е. х>1>
+ х>2>
= -р,
а х>1>х>2>
= q
.
2. Теорема, обратная теореме Виета.
Если р,
q,
х>1>,
х>2>
таковы, что х>1>
+ х>2>
= -р
и х>1>х>2>
= q
, то х>1
и >х>2>
- корни уравнения x2
+ px
+ q
= 0.
№ 21
Опр.
Логарифмом числа b по основанию а
называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание а, чтобыполучить
число b.
Формулу
(где
b > 0, a > 0 и a
1)
называют основным логарифмическим
тождеством.
Свойства
логарифмов:
;
;
Логарифм
произведения равен сумме логарифмов
сомножителей:
.
Для
доказательства воспользуемся основным
логарифмическим тождеством:
x =
,
y =
.
Перемножим
почленно эти равенства, получаем:
xy
=
=
.
Следовательно,
по определению логарифма (п.3) доказан.
Логарифм
частного равен логарифму делимого без
логарифма делителя:
.
Ход
доказательства аналогичен доказательству
п.3
Логарифм
степени равен произведению показателя
степени на логарифм ее основания:
.
При
доказательстве, также необходимо
воспользоваться основным логарифмическим
тождеством.
№ 22
Производной
функции f(x) в точке х>0>
называется предел отношения приращения
функции
в точке х>0>
к приращению
аргумента,
когда последнее стремится к нулю. Это
можно записать так:
.
Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х>0> только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х>0>, включая эту точку.
Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Существование
производной функции f в точке х>0>
эквивалентно существованию (невертикальной)
касательной в точке (х>0
>;
f(х>0>))
графика, при этом угловой
коэффициент касательной
равен
.
В этом состоит геометрический
смысл производной.
Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
Производная
суммы равна сумме производных, если
они существуют:
.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х>0>
то их производные дифференцируемы в
этой точке и
.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х>0>,
а С
- постоянная, то функция Cu
дифференцируема
в этой точке и
.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х>0>
и функция v
не
равна нулю в этой точке, то частное двух
функций тоже дифференцируемо в точке
х>0>
и
.