Решение смешанной задачи для уравнения
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной и высшей математики
Лабораторная работа № 43
на тему:
Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток
Группа М-2136
Курган 1998
Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( 2 u/ t2) = c 2 * ( 2u/ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t T, начальным условиям u(x,0) = f(x), u(x,0)/ t = g(x) , 0 x a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена переменных t ct приводит уравнение (1) к виду ( 2 u/ t2) = ( 2u/ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 x a, 0 t T } сетку x>i> = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, t>j> = j* , j = 0,1 ... , m, m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.
t
T
j+1
j
j-1
0 i-1 i i+1
Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .
u>i,j+1> - 2u>ij> + u>i,j-1> u>i+1,,j> - 2u>ij> + u>i-1, j>
2 h2
(4)
Здесь u>ij> - приближенное значение функции u(x,t) в узле (x>i>,t>j>).
Полагая, что = / h , получаем трехслойную разностную схему
u>i,j+1> = 2(1- 2 )u>i,j> + 2 (u>i+1,j>- u>i-1,j>) - u>i,j-1> , i = 1,2 ... n. (5)
Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. >1>(t) 0, >2>(t) 0. Значит, в схеме (5) u>0,j>= 0, u>nj>=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить u>i,j> через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений u>i,j >решения u(x,t) в узлах (x>i>,t>j>) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия u>i0> = f(x>i>).
Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить u(x,0)/ t ( u( x, ) - u(x,0) )/ (6) , то u>i1>=u>i0>+ + (x>i>), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).
Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( +h2). Невысокий порядок аппроксимации по объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h 0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.
Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.
Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная sub>routine GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.
Входные параметры :
hx - шаг сетки h по переменной х;
ht - шаг сетки по переменной t;
k - количество узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
Выходные параметры :
u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ... .
К части программы, обозначенной как sub>routine GIP3 Begin ... End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
Порядок работы программы:
1) описание массивов u1, u2, u3;
2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;
3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;
4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k 2 ).
Пример:
1
0.5 0.5
Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид( 2 u/ t2) = ( 2 u/ x 2) , x [ 0 , 1 ] , t [ 0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f (x) , x [ 0 , a ], u(x,0)/ t = g(x) , x [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t [ 0 , 0.8 ],
2x , x [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) = g( x ) = 0
2 - 2x , x [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.