Все формулы по математике в школе

Все формулы по математике в школе

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)?=a?±2ab+b?

(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?

a?-b?=(a+b)(a-b)

a?±b?=(a±b)(a?∓ab+b?),

(a+b)?=a?+b?+3ab(a+b)

(a-b)?=a?-b?-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a?xn-3+...+an-1)

ax?+bx+c=a(x-x>1>)(x-x>2>)

где x>1> и x>2> — корни уравнения

ax?+bx+c=0

Степени и корни :

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

apbp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pa =b => bp=a

papb = pab

a ; a ? 0

____

/ __ _

pga = pga

___ __

pkagk = pag

>p> ____

/ a pa

/  = 

 b pb

a 1/p = pa

pag = ag/p

Квадратное уравнение

ax?+bx+c=0; (a0)

x>1,2>= (-bD)/2a; D=b? -4ac

D>0 x>1>x>2> ;D=0 x>1>=x>2>

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x>1>+x>2> = -b/a

x>1> x>2> = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x? + px+q =0

x>1>+x>2 >= -p

x>1>x>2> = q

Если p=2k (p-четн.)

и x?+2kx+q=0, то x>1,2> = -k(k?-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

((x>2>-x>1>)?-(y>2>-y>1>)?)

Логарифмы:

log>a> x = b => ab = x; a>0,a0

a loga x = x, log>a>a =1; log>a> 1 = 0

log>a> x = b; x = ab

log>a> b = 1/(log >b> a)

log>a>xy = log>a>x + log>a> y

log>a> x/y = log>a> x - log>a> y

log>a> xk =k log>a> x (x >0)

log>a>k x =1/k log>a> x

log>a> x = (log>c> x)/( log>c>a); c>0,c1

log>b>x = (log>a>x)/(log>a>b)

Прогрессии

Арифметическая

a>n> = a>1> +d(n-1)

S>n> = ((2a>1>+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b>n> = b>n-1>  q

b2>n> = b>n-1> b>n+1>

b>n> = b>1>qn-1

S>n> = b>1> (1- qn)/(1-q)

S= b>1>/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin 

sin (/2 -) = cos 

cos (/2 -) = sin 

cos ( + 2k) = cos 

sin ( + 2k) = sin 

tg ( + k) = tg 

ctg ( + k) = ctg 

sin?  + cos?  =1

ctg  = cos / sin ,   n, nZ

tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ

1+tg? = 1/cos? , (2n+1)/2

1+ ctg? =1/sin? ,  n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y  /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y  /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cos?  - sin?  = 2 cos?  - 1 =

= 1-2 sin?

tg 2 = (2 tg)/ (1-tg?)

1+ cos  = 2 cos? /2

1-cos = 2 sin? /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tg?(/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin? /2 = (1 - cos )/2

cos?/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin 

  + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

>sin (x+y)>

tg x + tg y = —————

cos x cos y

> sin (x - y) >

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ?(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)> >

>cos x = (1-tg>2> 2/x)/ (1+ tg>>?>> x/2)>

>sin2x = (2tgx)/(1+tg>2>x)>

>sin>>?>>>> = 1/(1+ctg>>?>>>>) = tg>>?>>>>/(1+tg>>?>>>>)>

>cos>>?>>>> = 1/(1+tg>>?>>>>) = ctg>>?>>>> / (1+ctg>>?>>>>)>

>ctg2>>>> = (ctg>>?>>>>-1)/ 2ctg>>>

>sin3>>>> = 3sin>>>> -4sin>>?>>>> = 3cos>>?>>>>sin>>>>-sin>>?>>>

>cos3>>>> = 4cos>>?>>>>-3 cos>>>>= >

>= cos>>?>>>>-3cos>>>>sin>>?>>>

>tg3>>>> = (3tg>>>>-tg>>?>>>>)/(1-3tg>>?>>>>)>

>ctg3>>>> = (ctg>>?>>>>-3ctg>>>>)/(3ctg>>?>>>>-1)>

>sin >>>>/2 = >>>>((1-cos>>>>)/2)>

>cos >>>>/2 = >>>>((1+cos>>>>)/2)>

>tg>>>>/2 = >>>>((1-cos>>>>)/(1+cos>>>>))=>

>sin>>>>/(1+cos>>>>)=(1-cos>>>>)/sin>>>

>ctg>>>>/2 = >>>>((1+cos>>>>)/(1-cos>>>>))=>

>sin>>>>/(1-cos>>>>)= (1+cos>>>>)/sin>>>

>sin(arcsin >>>>) = >>>

>cos( arccos >>>>) = >>>

>tg ( arctg >>>>) = >>>

>ctg ( arcctg >>>>) = >>>

>arcsin (sin>>>>) = >>>> ; >>>> [->>>>/2 ; >>>>/2]>

>arccos(cos >>>>) = >>>> ; >>>> >>>> [0 ; >>>>]>

>arctg (tg >>>>) = >>>> ; >>>> >>>>[->>>>/2 ; >>>>/2]>

>arcctg (ctg >>>>) = >>>> ; >>>> >>>> [ 0 ; >>>>]>

>arcsin(sin>>>>)=>

>1)>>>> - 2>>>>k; >>>>[->>>>/2 +2>>>>k;>>>>/2+2>>>>k]>

>2) (2k+1)>>>> - >>>>; >>>>[>>>>/2+2>>>>k;3>>>>/2+2>>>>k]>

>arccos (cos>>>>) =>

>1) >>>>-2>>>>k ; >>>>[2>>>>k;(2k+1)>>>>]>

>2) 2>>>>k->>>> ; >>>>[(2k-1)>>>>; 2>>>>k]>

>arctg(tg>>>>)= >>>>->>>>k>

>>>(->>>>/2 +>>>>k;>>>>/2+>>>>k)>

>arcctg(ctg>>>>) = >>>> ->>>>k>

>>>(>>>>k; (k+1)>>>>) >

>arcsin>>>> = -arcsin (->>>>)= >>>>/2-arccos>>>> =>

>= arctg >>>>/>>>>(1->>>>?>>)>

>arccos>>>> = >>>>-arccos(->>>>)=>>>>/2-arcsin >>>>=>

> = arc ctg>>>>/>>>>(1->>>>?>>)>

>arctg>>>> =-arctg(->>>>) = >>>>/2 -arcctg>>>> =>

>= arcsin >>>>/>>>>(1+>>>>?>>)>

>arc ctg >>>> = >>>>-arc cctg(->>>>) =>

>= arc cos >>>>/>>>>(1->>>>?>>)>

>arctg >>>> = arc ctg1/>>>> =>

>= arcsin >>>>/>>>>(1+>>>>?>>)= arccos1/>>>>(1+>>>>?>>)>

>arcsin >>>> + arccos = >>>>/2>

>arcctg >>>> + arctg>>>> = >>>>/2>

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| ? 1

x = (-1)n> >arcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m| ? 1

x = arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t?)/(1+t?)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log>a>f(x) >(<) log >a> (x)

1. a>1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

(x)>0

f(x)<(x)

3. log >f(x)> (x) = a

ОДЗ: (x) > 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin? x - sin 2x + 3 cos? x =2

sin? x - 2 sin x cos x + 3 cos ? x = 2 sin? x + cos? x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin m

2k+>1> ? ? >2>+ 2k

2k+>2> ? ? (>1>+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;

II sin  ? 1/2

2k +5/6 ?? 13/6 + 2k

cos (?) m

2k + >1> < < >2>+2 k

2k+>2>< < (>1>+2) + 2k

cos   - 2/2

2k+5/4 ?? 11/4 +2k

tg (?) m

k+ arctg m ?? arctg m + k

ctg (?) m

k+arcctg m < < +k

Производная:

(xn)’ = n xn-1

(ax)’ = ax ln a

(lg ax )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos? x

(ctg x)’ = - 1/sin?x

(arcsin x)’ = 1/ (1-x?)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x?)

(arctg x)’ = 1/ (1+x?)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x?)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v?

Уравнение касательной к граф.

y = f(x>0>)+ f ’(x>0>)(x-x>0>)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X>0>, f(x>0>), f ‘ (x>0>), выразим х

Интегралы :

 xn dx = xn+1/(n+1) + c

 ax dx = ax/ln a + c

 ex dx = ex + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos? x = tg x + c

 1/sin? x = - ctg x + c

 1/(1-x?) dx = arcsin x +c

 1/(1-x?) dx = - arccos x +c

 1/1+ x? dx = arctg x + c

 1/1+ x? dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

 +  +  =180

Теорема синусов

a? = b?+c? - 2bc cos 

b? = a?+c? - 2ac cos 

c? = a? + b? - 2ab cos 

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=?(a+b+c)

_____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ?ab sin 

S>равн>>.>=(a?3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2 h

Круг

S= R?

S>сектора>=(R?)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S>осн>Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S>осн.>H

S>полн.>= S>бок.>+ S>осн.>

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S>1>+S>2>+S>1>S>2>)

S>1 >и S>2> — площади осн.

S>полн>>.>=S>бок>>.>+S>1>+S>2>

Конус

V=1/3 R?H

S>бок>>.> =Rl

S>бок>>.>= R(R+1)

Усеченный

S>бок.>= l(R>1>+R>2>)

V=1/3H(R>1>2+R>1>R>2>+R>2>2)

Призма

V=S>осн.>H

прямая: S>бок.>=P>осн.>H

S>полн.>=S>бок>+2S>осн.>

наклонная :

S>бок.>=P>пс>a

V = S>пс>a, а -бок. ребро.

P>пс >— периметр

S>пс> — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=R?H ; S>бок.>= 2RH

S>полн.>=2R(H+R)

S>бок.>= 2RH

Сфера и шар .

V = 4/3 R? - шар

S = 4R? - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 R?H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=H?(R-H/3)

S=2RH

град

0

30

45

60

90

120

135

180

-/2

-/3

-/4

-/6

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

3/6

sin

-1

-3/2

-2/2

- ?

0

?

2/2

3/2

1

- ?

0

cos

1

3/2

2/2

?

0

- ?

-2/2

- 3/2

-1

tg

-3

-1

-1/3

0

1/3

1

3

-3

-1

0

ctg

---

3

1

1/3

0

-1/3

-1

--

n

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

7

128

2181

8

256

6561

-

-

+

/2-

/2+

3/2 - 

3/2+

sin

-sin

sin

-sin

cos

cos

-cos

-cos

cos

cos

-cos

-cos

sin

-sin

-sin

sin

tg

-tg

-tg

tg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

-ctg

ctg

tg

-tg

tg

-tg

Список литературы

Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа