Математика в средние века

Математика в средние века

Начиная с 3 века н.э., все крупные государства Античного мира вошли в эпоху кризисов. Многие из них - как Римская империя в Средиземноморье и китайская империя Хань на восточном краю Евразии - распались на мелкие княжества и вскоре стали добычей соседних варваров. Затем эпоха распада империй сменилась эпохой переселения народов. На просторах Евразии разноплеменные варвары вновь и вновь делили наследство древних государств. Большая часть античной культуры погибла в этом пожаре: города были разграблены и покинуты, библиотеки сгорели, университеты закрылись, а ученые вымерли, не оставив учеников. В новом мире невежества островки науки и просвещения сохранялись только в монастырях разных религий: христианских на западе, буддийских или индуистских на востоке и юге Евразии. Позднее (с 8 века н.э.) в новой империи - Арабском Халифате - возникли исламские монастыри.

Большинство богословов Средневековья не одобряло античную мудрость; об ученых-исследователях говорили, что они "ум свой ставят в Бога место". Но в монастырях сохранилось уважение к древним рукописям: монахи переписывали их дословно, не вникая в смысл того, что написано. Таким путем многие достижения ученых эллинов или римлян сохранились в течение веков и достигли новых мыслителей, пройдя сквозь множество невежд.

Любознательные представители каждого нового народа, включаясь в мировую культуру, были вынуждены осваивать древнюю мудрость самостоятельно - без помощи старших коллег. Эта работа занимала века и поглощала все силы новых ученых. Поэтому в большинстве стран нового мира дело не дошло до оригинальных открытий вроде тех, которые сделали эллины. В средневковом мире нехватало городов-республик, подобных полисам Эллады; пока они не появились, наука развивалась очень медленно.

Из всех ойкумен Земли Индия оказалась наименее затронута переселением народов. Не удивительно, что именно здесь в 6 веке н.э. расцвела самобытная математическая школа. Познакомившись с достижениями эллинов, индийцы были удивлены: какая совершенная у них геометрия, и какая неудобная арифметика! Хуже всего греческая система записи чисел: с помощью букв, без всякой связи с привычным счетом на пальцах. Надо связать обозначения чисел с процедурой счета! Индийские ученые сделали это, создав позиционную десятичную систему счисления.

Первый шаг к этой цели сделал около 500 года молодой математик Ариабхата из города Кусумапура. Он начал изображать каждый разряд в десятичной записи целого числа парой букв. Согласная обозначала цифру, а гласная - номер разряда, так что символ ВА означал В*10.. Эти пары букв записывались по возрастанию степеней числа 10. Но различить такое слово-число в обычном тексте было не просто; поэтому вскоре начертания букв-цифр были изменены, и появились первые десятичные цифры. Нуля среди них еще не было - но вскоре пришлось его ввести, для удобства чтения десятичной записи. Через сто лет после Ариабхаты его соотечественник Брахмагупта уже свободно оперировал с отрицательными числами и нулем и решал целочисленные уравнения с таким же искусством, как Диофант.

Оставалось разнести эту полезную новинку по всему свету. Тут важнейшую роль сыграл современник Брахмагупты - пророк Мухаммед из Мекки. Он сам и многие его сподвижники были в равной мере воинами и купцами. Поэтому как только арабы покорили Иран и вторглись в Индию (в 660-е годы), они сразу оценили индийскую систему счета и переняли ее. Вскоре позиционная система счисления распространилась во всем арабском Халифате - от Индии до Андалузии (будущей Испании), от Египта до Поволжья. С тех пор во всем мире (кроме Индии) десятичные цифры называют "арабскими". Но, конечно, скорость усвоения этой новинки разными народами зависела от их экономического развития.

В конце 8 века мировое научное первенство перешло из Индийского мира в Исламский мир, центром которого стал Багдад, расположенный на Тигре - вблизи развалин Вавилона. Основатель Багдада - халиф Мансур (707-775) - хотел, чтобы его столица превзошла великолепием и ученостью Александрию и Константинополь. Но ученых арабов в ту пору было еще мало; ведущую роль в новом "Доме Мудрости" в Багдаде играли сирийцы и персы, согдийцы и греки, принявшие ислам.

Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус", хотя в этом деле не обошлось без курьеза.

Геометрический смысл синуса - это половина длины хорды, стягивающей данную дугу. Хорезми назвал эту вещь красиво и точно: "тетива лука"; по арабски это звучит "джейяб". Но в арабском алфавите есть только согласные буквы; гласные изображаются "огласовками" - черточками, вроде наших кавычек и запятых. Мало сведущий человек, читая арабский текст, нередко путает огласовки; так случилось с переводчиком книги Хорезми на латынь. Вместо "джейяб" - "тетива" - он прочел "джиба" - "бухта"; по латыни это пишется "sinus". С тех пор европейские математики используют это слово, не заботясь о его изначальном смысле.

В последующие века ученые Ближнего и Среднего Востока продолжали развивать наследие Эллады, стараясь объединить его с новым алгебраическим учением. При этом индийские математики больше уклонялись в арифметику, следуя по стопам Диофанта. Напротив, арабские ученые следовали по пути Архимеда. Они пытались разобраться в новом мире кубических уравнений: классифицировали их, выделяя те, которые решаются так же просто, как квадратные уравнения.

Наивысших успехов в этой области достиг ученый поэт Омар Хайям из Нишапура (1048-1131). Стихи он писал по персидски, научные трактаты по арабски, а в служебных делах пользовался тюркским языком. В 11 веке тюрки-сельджуки захватили большую часть Ирана и византийсих владений в Малой Азии. На этих землях новые народы осваивали и развивали наследие всех предшественников - от вавилонян до арабов.

Потерпев неудачу в прямом поиске корней произвольного кубического уравнения, Омар Хайям открыл несколько способов приближенного вычисления этих корней. Это была блестящая идея: добраться до неведомых чисел, используя хорошо знакомые кривые! Как только (в 17 веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею - описать любую кривую с помощью чисел - родилась аналитическая геометрия, в которой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с наглядной геометрией. Предчувствуя эту связь, Омар Хайям поставил много интересных вычислительных опытов. Он нашел приближенные способы деления окружности на 7 или 9 равных частей; составил подробные таблицы синусов и с большой точностью вычислил Пи.

Хайям догадался, что это число и ррациональное, и даже не квадратичное - но доказать эту гипотезу не смог. Не удались Хайяму и попытки доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых. Не удивительно, что на отдыхе от таких трудов Омар Хайям писал довольно грустные стихи...

Тем временем на дальнем востоке Евразии другие математики и астрономы пытались постичь те же тайны природы на своем научном языке. В Элладе этот язык состоял, в основном, из чертежей - а в Китае из иероглифов. В сущности, иероглиф - это тоже чертеж особого рода, составленный из простых значков: каждый значок изображает одно простое понятие. Например, знак Шу означает "число", а знак Сюэ - "учение". Однако их сочетание - Шу Сюэ - обозначает не только учение о числах (то есть, арифметику), но и всю математическую науку. Как в таком случае назвать геометрию" Очень просто: Цзи Хэ Сюэ - "учение о том, сколько чего". То есть, геометрию китайцы воспринимали как науку, рассчитывающую свойства фигур - и только!

С этой точкой зрения наверняка согласился бы ученый из древнего Вавилона; но Пифагор или Платон ни за что не признали бы правоту китайцев. Если геометры займутся одними только расчетами - кто будет выяснять сущность природных тел или научных понятий" Ученый китаец отвечал на такой вопрос кратко и просто: ничего не нужно выяснять! Вся суть природы и науки уже выражена в иероглифах. Небо даровало их нашим предкам 20 веков назад - и ничего тут ни убавить, ни прибавить. Можно комбинировать известные иероглифы в новом порядке; но изменять их смысл нельзя - это противоречит законам природы и воле Неба!

Сравнивая этот консерватизм китайцев с новаторством эллинов или индийцев, невольно изумляешься: как многое зависит от удачной системы обозначений! Переход от смысловых иероглифов к звуковому алфавиту избавил Элладу от груза мертвых традиций Египта или Двуречья. Эллинам пришлось многому учиться заново - зато они смогли усвоить древнюю мудрость без множества сопутствующих заблуждений. Китайцам не выпало это трудное счастье. Их иероглифическая культура устояла даже под натиском переселения варварских народов - после крушения империи Хань. В итоге мудрецы средневекового Китая остались в плену древнейшей натурфилософии из всех, сохранившихся на Земле. Поэтому заочное соперничество между математиками Запада и Китая напоминает состязание двух бегунов - одного в легком платье, а другого - в кольчуге. Исход соревнования ясен: в античную эпоху эллины вырвались далеко вперед. В Средние века разрыв между китайцами и арабами заметно сократился, но в Новое время западные европейцы решительно опередили своих ближневосточных (и тем более - дальневосточных) коллег.

В течение всего Средневековья медленно развивавшаяся наука Исламского мира служила как бы "холодильником открытий". Здесь высшие достижения Эллады дожидались дерзких и умелых пользователей и продолжателей. Напротив, застывшая ученость имперского Китая стала в ту пору "холодильником интеллигенции". Только в 18 веке, когда новые дерзкие европейцы прорвались в Китай, они вызвали там пробуждение великих природных сил. К 20 веку китайские ученые вновь вошли в число передовых умов человечества: это выразилось и в нобелевских премиях, и в математических открытиях.

Вернемся в Европу, где после распада Римской империи наступили "Темные века". Нельзя сказать, что в эту пору исчезла государственность или прекратилась торговля. Напротив, они процветали в Восточной Римской державе, созданной новыми грекоязычными христианами - ромеями. Их часто называют и византийцыми - в честь древнего города Византия на Босфоре, который был тогда переименован в Константинополь и прозван "Вторым Римом". Умением плавать по морю и строить города ромеи не уступали своим предкам-эллинам; в государственных делах они подражали своим предшественникам - римлянам.

Но любви к натурфилософии или к точным наукам ромеи от эллинов не унаследовали; для них главным видом интеллектуального спорта сделалось богословие. Монахи и императоры косо смотрели на "языческую премудрость" эллинов. Не случайно самый прославленный император Византии - Юстиниан 1 (483-565) начал свое правление с того, что закрыл в 529 году Академию в Афинах. Прекратилась научная работа и в Александрийском Музее. В последующие века христианские и исламские богословы яростно спорили между собой, но сходились во мнении, что "из увлекшихся математикой лишь немногие не сделались вероотступниками и не сбросили с голов своих узду благочестия". Казалось, что золотой век греческой науки никогда не повторится в Европе.

Однако всему приходит конец - даже темным векам. Через 6 столетий после победы христианства - в 10 веке - в Западной Европе началась очередная культурная революция. Как прежде в Элладе, она охватила молодые народы: французов и немцев, бургундцев и чехов, которым от роду было не более ста лет. Вновь опорой культурного взлета стал новый образ жизни - но в этот раз не городской, а феодальный. Вместо былых республик-полисов в Европе размножались республики-монастыри и рыцарские замки. В тех и других господствовали строгий устав и трудовая дисциплина; но во всех вопросах, не охваченных Священным Писанием, допускалась немалая свобода мысли. "Мы наш, мы новый мир построим" - таков стал настрой мысли диковатых западных европейцев, не стесненных ни королевской, ни папской властью.

Рыцари стремились в крестовые походы, чтобы помериться силой с язычниками или мусульманами и разбогатеть. Многие монахи стремились крестить иноверцев, превратить их в свое подобие. Но другие мечтали о богатствах иного рода - тех, которые питают любознательный ум. Вот, лежит за Пиренеями загадочный Исламский мир, обильный ремеслами и ученостью. Как хорошо, что Карл Великий отвоевал у мусульман пограничную Барселону! Теперь в этом городе рядом с католиками живет немало ученых мусульман и иудеев. Любознательный христианин может многому у них научиться.

Так рассуждал французский монах Герберт из Орильяка - первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов - во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии - Кордову - и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам и стать цивилизованным человеком. Но Герберта интересовало только второе из этих предложений. Соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков - такую цель поставил перед собою отважный и упорный Герберт из Орильяка.

Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юношей обучали латыни и греческому, а желающих - также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. А какую библиотеку он привез из-за Пиренеев! В ней были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей...

Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев сделался королем Франции Робертом 2; тогда Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году другой ученик Герберта - Оттон 3 - стал правителем Римско-Германской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой - Сильвестром 2.

В Риме нового папу многие восприняли, как чернокнижника. Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски - абака - не пользуясь римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные органы - хотя богословских споров избегает. Вдобавок, папа вместе с юным императором раздает королевские короны новокрещеным варварам Европы - норвежцам, мадьярам. Небывалый человек на престоле святого Петра!

Впрочем, политика Сильвестра 2 была успешна, и римляне начали понемногу привыкать к ученому папе. Но после смерти о нем пустили анекдот: будто в полночь на папском надгробии сами собой подпрыгивают игральные кости! Пятнадцатью веками раньше эллины сочинили немало сходных историй о Фалесе из Милета...

В отличие от Фалеса, пример Герберта не сразу сделался для европейцев предметом подражания. Нехватало широких контактов между Католическим и Исламским мирами. Они начались только в эпоху Крестовых походов - в конце 11 века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу - Толедо. Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в Италии. Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или с греческого языка труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел "Начала" Евклида и ряд книг Хорезми; Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.

Длинное название книги Птолемея ("Мегале Математике Синтаксис") арабы сократили до первого слова: получилось "Величие" - Аль-Магест. Новым европейцам понравилось второе слово - "Учение" (Математика). И вот с 12 века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.

Первое столетие крестовых походов расширило кругозор очень многих европейцев. Особенно отличились жители приморских городов Италии: Венеции, Генуи, Пизы. Здешние мореходы переправляли крестоносцев и паломников в Святую землю, а купцы наживались, продавая добычу крестоносцев и иные "восточные" товары по всей Европе. Постепенно многие города католической Италии превратились в торговые республики, похожие на полисы античной Эллады. С начала 13 века в этих республиках заметна научная самодеятельность не только церковников, но и мирян - прежде всего, купцов.

В 1202 году появился первый "самодельный" учебник арифметики для широкого читателя - "Книга Абака". Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180-1240), с детства причастный к торговым делам своего отца. Арифметике он научился в Алжире у местных мусульман, а теперь сам обучал единоверцев новому десятичному счету. Позднее Фибоначчи написал учебник "Практическая геометрия" и "Книгу квадратов". В них впервые были изложены (на латыни) правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.

Тем временем на папский престол взошел второй ученый человек: Лотарио ди Конти ди Сеньи (1160-1216), выпускник Парижского университета. Потомки запомнили его под грозным именем Иннокентия 3 - "Раба рабов Божьих", помыкавшего королями и свергавшего герцогов или князей по всей Европе. Только король Франции Филипп 2 Август порою осмеливался противоречить грозному папе - в тех случаях, когда он мог опереться на авторитет Парижского университета. Так первые католические университеты заявили о своей независимости от любой духовной или светской власти. Наряду с городами-республиками Италии, они сделались рассадником независимой учености в Европе. Процветающий Католический Интернационал начал походить на созвездие полисов Эллады.

Английские университеты заявили о себе в середине 13 века. Тогда англичане, опираясь на свою первую конституцию (Великую Хартию Вольностей), попытались взять под контроль легкомысленного короля Генри 3 и его алчных фаворитов. Духовным лидером этого движения стал ученейший богослов - Роберт Гросетест ("Головастый"), епископ Линкольна (1175-1253). Он увлекся оптикой и пришел к мысли, что весь мир возник из света - самой совершенной формы материи. Более грубые тела получились при застывании света. Таким образом, Гросетест представил мир как результат игры двух начал - света и порядка, или (в понятиях 20 века) энергии и симметрии. Ни один современный физик или математик не станет с этим спорить!

Подобно античным натурфилософам, Гросетест не мог рассчитать свою физическую модель. Зато другая таинственная вещь - бесконечность - поддавалась расчету, и Гросетест увлекся этим делом. Он начал суммировать бесконечные ряды чисел, и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов - медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки. Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин - вслед за Архимедом и на 4 столетия опережая Ньютона. Хорошая компания для богослова!

Подобно Платону и Аристотелю, Гросетест очень заботился о воспроизводстве ученого сословия в Англии. Он считал, что античных классиков (особенно Аристотеля) нужно изучать в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, сделанным с арабских переводов оригинала. Для этого Гросетест пригласил в Англию ученых греков - беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году. Так в Оксфорде и Кембридже появились первые греческие профессора. Этот посев принес замечательные плоды. Среди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор - организатор первого выборного парламента в Англии. Платон и Аристотель гордились бы такими учениками!

Коллегой и соперником Роберта Гросетеста на европейском континенте стал другой богослов - Фома Аквинский (1225-1274). Этот мрачноватый итальянец шел по стопам Аристотеля и Евклида, пытаясь изложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.

В отличие от Гросетеста, Фома не признавал рассуждений о бесконечности. Он был уверен, что у всякой вещи в природе есть исток, в котором она достигает наивысшего совершенства. Первоисток всех вещей - то есть, наиболее совершенную вещь в природе - Фома отождествил с Богом. А можно ли измерить степени совершенства разных природных объектов и самого Бога" Такая мысль не казалась Фоме ересью - но ответить на этот вопрос он не смог. Было ясно, что известных чисел нехватает для такого измерения. Только в 19 веке европейские математики Эварист Галуа и Феликс Кляйн научились измерять совершенство (то есть, симметрию) природных тел с помощью особой ветви математики - теории групп.

Итак, в 13 веке католические богословы научились задавать природе такие вопросы, которые потребовали создания новых разделов математики. Этот уровень знаний можно сравнить с уровнем пифагорейцев. Вскоре те же богословы достигли уровня сомнений Зенона из Элеи. Рядом с древними парадоксами об Ахиллесе и черепахе и о делении отрезка пополам появились парадоксы о Буридановом осле и о неподъемном камне.

Жан Буридан (1300-1358) был профессором Парижского университета (Сорбонны) в тяжкие годы Столетней войны между Англией и Францией и раскола в католической церкви. Король Франции попал в плен к англичанам; в Риме и в Авиньоне правили двое пап, не признающих и проклинающих один другого. В этих условиях "Святая Сорбонна" сделалась высшим авторитетом католической мысли: ее ученый совет не раз выносил приговоры в спорах между графами или кардиналами.

Например, Буриданов осел стоит между двух одинаковых кормушек с сеном. Какую из них он выберет, не зная понятий "правое" и "левое"" Или всемогущий Бог: может ли он создать такой камень, который он сам не сможет поднять" Вероятно, эти вопросы родились из студенческих шуток - но отвечать пришлось профессорам, и это было совсем не просто. Ведь спор шел не в тишине монашеской кельи, а в пылу ученого диспута - в присутствии сотен смышленых болельщиков. Согласно преданиям, Буридан был непобедим в подобных спорах; за это его выбрали ректором Сорбонны. Но окончательное решение таких парадоксов математики нашли лишь в начале 20 века - в рамках созданной Георгом Кантором теории множеств, которую один из ее противников назвал "не ветвью математики, а разделом богословия". Трудно привыкнуть к неожиданным новинкам в той области, где ты издавна чувствуешь себя знатоком и мастером!

Современники больше всего уважали Буридана за то, что он переспорил папу Иоанна 22 в споре о Страшном Суде: когда человек попадает в рай или в ад - сразу после смерти, или только в конце света" Для ученых 20 века важнее то, что Буридан переспорил Аристотеля: он первый открыл принцип инерции в прямолинейном или вращательном движении. Позднее этот постулат Буридана называли либо первым законом Ньютона, либо законом сохранения импульса, либо описанием наименьшей группы симметрий в классической механике. Слова могут быть разными, но суть одна: был сделан первый шаг дальше того рубежа, на котором остановились или споткнулись античные мыслители.

Другой шаг в ту же сторону сделал еще один профессор Сорбонны: Раймонд Луллий с острова Мальорка (1235-1315). Он не собирался спорить с Аристотелем или Евклидом - но он прочел их книги ("Органон" и "Начала") глазами инженера и подумал: можно построить машину, которая будет автоматически выполнять все арифметические действия с числами и логические операции над любыми утверждениями! Так в начале 14 века в Европе родился первый проект механического компьютера. Построить его Луллию не удалось: слишком низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире. Но из книги Луллия "Великое искусство" видно, что автор сознавал возможные последствия компьютерной революции.

Раймонд Луллий вырос в Каталонии - отвоеванной у мусульман приморской части Андалузии. Он был разочарован прекращением крестовых походов: ведь юг Пиренейского полуострова все еще находится во власти мусульман, и Святая Земля вырвана ими из рук католиков. Но если мы не сумели одолеть иноверцев мечом - надо одолеть их умом! Аристотель и Евклид изложили все правила и методы верных умозаключений. Если нам удастся воплотить эти правила в механическом устройстве, то христианская наука быстро превзойдет все достижения мусульман, и на земле наступит царство Христа!

Эти мечты католического мыслителя до странности напоминают мечты Аристотеля: стоит эллинам покорить всех варваров, как на Земле наступят общий мир и благодать. Однако Аристотель видел лишь один путь к этому счастью - политический, через всемирную монархию Александра Македонского или иного просвещенного завоевателя. Воображению Луллия открылся другой путь - через научно-техническую революцию. Ее зарю возвестил гром пушек: они появились в Европе еще при жизни Луллия.

Однако решающий прорыв из Средневековья в Новое время европейцы совершили, когда изобрели печатный станок с подвижным металлическим шрифтом. В 1454 году Иоганн Гутенберг напечатал в Майнце первые 300 экземляров Библии и положил начало информационной революции - столь же важной, как появление алфавита в Элладе в 8 веке до н.э., или появление электронных компьютеров в середине 20 века. В 1482 году в Венеции была впрервые напечатана (по латыни) книга Евклида "НГачала". С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.

Список литературы

Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа