Шпаргалка по математике (работа 1)
Шпаргалка по математике
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x>1>)(x-x>2>)
где x>1> и x>2> — корни уравнения
ax²+bx+c=0
Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
apbp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pa =b => bp=a
papb = pab
a ; a = 0
____
/ __ _
p ga = pga
___ __
pkagk = pag
>p> ____
/ a pa
/ =
b pb
a 1/p = pa
pag = ag/p
Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a0)
x>1,2>= (-bD)/2a; D=b² -4ac
D>0 x>1>x>2> ;D=0 x>1>=x>2>
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x>1>+x>2> = -b/a
x>1> x>2> = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x>1>+x>2 >= -p
x>1>x>2> = q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x>1,2> = -k(k²-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
((x>2>-x>1>)²-(y>2>-y>1>)²)
Логарифмы:
log>a> x = b => ab = x; a>0,a0
a loga x = x, log>a>a =1; log>a> 1 = 0
log>a> x = b; x = ab
log>a> b = 1/(log >b> a)
log>a>xy = log>a>x + log>a> y
log>a> x/y = log>a> x - log>a> y
log>a> xk =k log>a> x (x >0)
log>a>k x =1/k log>a> x
log>a> x = (log>c> x)/( log>c>a); c>0,c1
log>b>x = (log>a>x)/(log>a>b)
Прогрессии
Арифметическая
a>n> = a>1> +d(n-1)
S>n> = ((2a>1>+d(n-1))/2)n
Геометрическая
b>n> = b>n-1> q
b2>n> = b>n-1> b>n+1>
b>n> = b>1>qn-1
S>n> = b>1> (1- qn)/(1-q)
S= b>1>/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (-) = sin
sin (/2 -) = cos
cos (/2 -) = sin
cos ( + 2k) = cos
sin ( + 2k) = sin
tg ( + k) = tg
ctg ( + k) = ctg
sin² + cos² =1
ctg = cos / sin , n, nZ
tg ctg = 1, (n)/2, nZ
1+tg² = 1/cos² , (2n+1)/2
1+ ctg² =1/sin² , n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y /2 + n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y /2 + n
Формулы двойного аргумента.
sin 2 = 2sin cos
cos 2 = cos² - sin² = 2 cos² - 1 =
= 1-2 sin²
tg 2 = (2 tg)/ (1-tg²)
1+ cos = 2 cos² /2
1-cos = 2 sin² /2
tg = (2 tg (/2))/(1-tg²(/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² /2 = (1 - cos )/2
cos²/2 = (1 + cos)/2
tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin
+ 2n, n Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin² = 1/(1+ctg²) = tg²/(1+tg²)
cos² = 1/(1+tg²) = ctg² / (1+ctg²)
ctg2 = (ctg²-1)/ 2ctg
sin3 = 3sin -4sin³ = 3cos²sin-sin³
cos3 = 4cos³-3 cos=
= cos³-3cossin²
tg3 = (3tg-tg³)/(1-3tg²)
ctg3 = (ctg³-3ctg)/(3ctg²-1)
sin /2 = ((1-cos)/2)
cos /2 = ((1+cos)/2)
tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=
sin/(1+cos)=(1-cos)/sin
ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=
sin/(1-cos)= (1+cos)/sin
sin(arcsin ) =
cos( arccos ) =
tg ( arctg ) =
ctg ( arcctg ) =
arcsin (sin) = ; [-/2 ; /2]
arccos(cos ) = ; [0 ; ]
arctg (tg ) = ; [-/2 ; /2]
arcctg (ctg ) = ; [ 0 ; ]
arcsin(sin)=
1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]
2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]
arccos (cos) =
1) -2k ; [2k;(2k+1)]
2) 2k- ; [(2k-1); 2k]
arctg(tg)= -k
(-/2 +k;/2+k)
arcctg(ctg) = -k
(k; (k+1))
arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =
= arctg /(1-²)
arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =
= arc ctg/(1-²)
arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =
= arcsin /(1+²)
arc ctg = -arc cctg(-) =
= arc cos /(1-²)
arctg = arc ctg1/ =
= arcsin /(1+²)= arccos1/(1+²)
arcsin + arccos = /2
arcctg + arctg = /2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n> >arcsin m + k, k Z
sin x =1 sin x = 0
x = /2 + 2k x = k
sin x = -1
x = -/2 + 2 k
cos x = m; |m| = 1
x = arccos m + 2k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2k x = /2+k
cos x = -1
x = + 2k
tg x = m
x = arctg m + k
ctg x = m
x = arcctg m +k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
log>a>f(x) >(<) log >a> (x)
1. a>1, то : f(x) >0
(x)>0
f(x)>(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
(x)>0
f(x)<(x)
3. log >f(x)> (x) = a
ОДЗ: (x) > 0
f(x) >0
f(x ) 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - 3 cos x = 0
2sin x cos x -3 cos x = 0
cos x(2 sin x - 3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.
sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2
sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin m
2k+>1> = = >2>+ 2k
2k+>2> = = (>1>+2)+ 2k
Пример:
I cos (/8+x) < 3/2
k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k
2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;
II sin = 1/2
2k +5/6 == 13/6 + 2k
cos (=) m
2k + >1> < < >2>+2 k
2k+>2>< < (>1>+2) + 2k
cos - 2/2
2k+5/4 == 11/4 +2k
tg (=) m
k+ arctg m == arctg m + k
ctg (=) m
k+arcctg m < < +k
Производная:
(xn)’ = n xn-1
(ax)’ = ax ln a
(lg ax )’= 1/(xln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = - 1/sin²x
(arcsin x)’ = 1/ (1-x²)
(arccos x)’ = - 1/ (1-x²)
(arctg x)’ = 1/ (1+x²)
(arcctg x)’ = - 1/ (1+x²)
Св-ва:
(u v)’ = u’v + uv’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²
Уравнение касательной к граф.
y = f(x>0>)+ f ’(x>0>)(x-x>0>)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X>0>, f(x>0>), f ‘ (x>0>), выразим х
Интегралы :
xn dx = xn+1/(n+1) + c
ax dx = ax/ln a + c
ex dx = ex + c
cos x dx = sin x + cos
sin x dx = - cos x + c
1/x dx = ln|x| + c
1/cos² x = tg x + c
1/sin² x = - ctg x + c
1/(1-x²) dx = arcsin x +c
1/(1-x²) dx = - arccos x +c
1/1+ x² dx = arctg x + c
1/1+ x² dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
+ + =180
Теорема синусов
a² = b²+c² - 2bc cos
b² = a²+c² - 2ac cos
c² = a² + b² - 2ab cos
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
_____________
S = p(p-a)(p-b)(p-c)
S = Ѕab sin
S>равн>>.>=(a²3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2 h
Круг
S= R²
S>сектора>=(R²)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=S>осн>Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3S>осн.>H
S>полн.>= S>бок.>+ S>осн.>
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S>1>+S>2>+S>1>S>2>)
S>1 >и S>2> — площади осн.
S>полн>>.>=S>бок>>.>+S>1>+S>2>
Конус
V=1/3 R²H
S>бок.> =Rl
S>бок.>= R(R+1)
Усеченный
S>бок.>= l(R>1>+R>2>)
V=1/3H(R>1>2+R>1>R>2>+R>2>2)
Призма
V=S>осн.>H
прямая: S>бок.>=P>осн.>H
S>полн.>=S>бок>+2S>осн.>
наклонная :
S>бок.>=P>пс>a
V = S>пс>a, а -бок. ребро.
P>пс >— периметр
S>пс> — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=R²H ; S>бок.>= 2RH
S>полн>>.>=2R(H+R)
S>бок.>= 2RH
Сфера и шар .
V = 4/3 R³ - шар
S = 4R³ - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 R³H
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=H²(R-H/3)
S=2RH
|
град |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
120 |
135 |
180 |
|||||
|
|
-/2 |
-/3 |
-/4 |
-/6 |
0 |
/6 |
/4 |
/3 |
/2 |
2/3 |
3/4 |
3/6 |
|
|
sin |
-1 |
-3/2 |
-2/2 |
- Ѕ |
0 |
Ѕ |
2/2 |
3/2 |
1 |
- Ѕ |
0 |
||
|
cos |
1 |
3/2 |
2/2 |
Ѕ |
0 |
- Ѕ |
-2/2 |
- 3/2 |
-1 |
||||
|
tg |
|
-3 |
-1 |
-1/3 |
0 |
1/3 |
1 |
3 |
|
-3 |
-1 |
0 |
|
|
ctg |
--- |
3 |
1 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
-1 |
-- |
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
2 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
|
3 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
|
4 |
16 |
81 |
256 |
625 |
1296 |
2401 |
4096 |
6561 |
|
5 |
32 |
243 |
1024 |
3125 |
7776 |
16807 |
32768 |
59049 |
|
6 |
64 |
729 |
4096 |
15625 |
46656 |
|||
|
7 |
128 |
2181 |
||||||
|
8 |
256 |
6561 |
|
- |
- |
+ |
/2- |
/2+ |
3/2 - |
3/2+ |
|
|
sin |
-sin |
sin |
-sin |
cos |
cos |
-cos |
-cos |
|
cos |
cos |
-cos |
-cos |
sin |
-sin |
-sin |
sin |
|
tg |
-tg |
-tg |
tg |
ctg |
-ctg |
ctg |
-ctg |
|
ctg |
-ctg |
-ctg |
ctg |
tg |
-tg |
tg |
-tg |