Обратная матрица
Обратная матрица
Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если
AA-1=A-1A=I
Для квадратной матрицы A обратная существует
тогда и только тогда, когда detA0.
где A>ij> - алгебраические дополнения элэментов a>ij>
матрицы A. Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA
В частности:
Решение квадратной системы:
Ax=b
если |A|0, то x=A-1b
Матричные уравнения.
XA=B X=BA-1
AX=B X=A-1B
Некоторые св-ва определителей:
1.* Величина определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
2. Если матрица B получена из матрицы A
перестановкой двух каких-либо ее строк
(столбцов*), то detB=detA.
3. Общий множитель всех элементов произвольной
строки (столбца*) определителя можно вынести за
знак определителя.
4.* Определитель, содержащий две пропор-
циональные строки (столбца), равен нулю.
5. Определитель не меняется от прибавления к
какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца), умноженной на произвольное число.
6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя
есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен 0.
7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее
определитель равен произведению элементов на
главной диагонали.
*-неизученные свойства.
Фундаментальная система решений.
Фундаментальной системой решений называется
система из (n-r) линейно независимых решений, где
n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:
ФСР: l>1>,l>2>,...,l>n-r>
ФСР может быть бесконечное множество.
Если l>1>,l>2>,...,l>n-r>-ФСР однородной системы, то
x>оо> = с>1>l>1>+с>2>l>2>+...+с>n-r> l>n-r>
x>он> = x>оо> + x>чн>
Метод Крамера:
Если =0 и не все x>j>=0, то система несовместна.
Если 0, то система имеет единственное решение,
где x>j> - определитель, полученный заменой j-го
столбца в определителе системы столбцом
свободных членов.
Список литературы
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа