Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики (работа 1)
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры
масс плоских кривых. Если дуга кривой
задана уравнением y=f(x),
a≤x≤b,
и имеет плотность 1)
=(x),
то статические моменты этой дуги M>x>
и M>y>
относительно координатных осей Ox
и Oy
равны
моменты инерции I>Х> и I>у> относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра
масс
и
— по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1)
Всюду в задачах, где плотность не указана,
предполагается, что кривая однородна
и
=1.
Имеем:
Следовательно,
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
Имеем:
Отсюда получаем:
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти
координаты центра масс полуокружности
Вследствие симметрии
.
При вращении полуокружности вокруг оси
Ох получается сфера, площадь поверхности
которой равна
,
а длина полуокружности равна па. По
теореме Гульдена имеем
Отсюда
,
т.е. центр масс C имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость
прямолинейного движения тела выражается
формулой
(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5
секунд от начала движения.
Так как путь, пройденный
телом со скоростью
(t)
за отрезок времени [t>1>,t>2>],
выражается интегралом
то имеем:
Список литературы
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа