Обработка многократных измерений

Введение

Измерения — один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования — достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Методической основой стандартизации являются математические методы, включая предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел, параметрические ряды, а также унификация деталей и узлов, агрегатирование, комплексная и опережающая стандартизация.

Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел необходимы для выбора оптимального ряда параметров и типоразмеров готовых изделий. Набор установленных значений параметров составляет параметрический ряд, который строится по системе предпочтительных чисел.



1. Обработка результатов многократных измерений:

Систематическая погрешность (0,25)%

Доверительная вероятность 0,1%

Результаты измерений: 99,72; 100,71; 91,55; 96,02; 97,68; 93,04; 92,84; 93,14; 97,31; 94,7; 90,24; 92,15; 96,02; 100,13; 94,51; 94,6; 93,01; 97,47; 96,54; 94,96; 96,29; 99,63; 94,16.

Обработка многократных измерений

Предполагаем, что измерения равноточные, т.е. выполняются одним экспериментатором, в одинаковых условиях, одним прибором. Методика сводится к следующему: проводят n наблюдений (единичных измерений) и фиксируют n результатов измерений одного и того же значения физической величины.

    Исключаем известные систематические погрешности результатов измерений и получаем исправленный результат ;

= ×(1- Σ/100),

где Σ=0,25 % - систематическая погрешность.

= ×(1-0.25/100)

= × 0.9975

= 99,74 × 0.9975; = 99,4707

=100,71 × 0.9975; =100,4582

=91,55 × 0.9975; =91,32113

=96,02 × 0.9975; =95,77995

=97,68 × 0.9975; =97,4358

=93,04 × 0.9975; =92,8074

=92,84 × 0.9975; =92,6079

=93,14 × 0.9975; =92,90715

=97,31 × 0.9975; =97,06673

=94,7 × 0.9975; =94,46325

=90,24 × 0.9975; =90,0144

=92,15 × 0.9975; =91,91963

=96,02 × 0.9975; =95,77995

=100,13 × 0.9975; =99,87968

=94,51 × 0.9975; =94,27373

=94,6 × 0.9975; =94,3635

=93,01 × 0.9975; =92,77748

=97,47 × 0.9975; =97,22633

=96,54 × 0.9975; =96,29865

=94,96 × 0.9975; =94,7226

=96, 29 × 0.9975; =96,04928

=99, 63 × 0.9975; =99,38093

=94, 16 × 0.9975; =93,9246

=2190,928

    Находим среднее арифметическое значение исправленных результатов и принимают его за результат измерений

;

n=23

=×2190,928

=95,2577

    Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результата измереий.

      находим отклонения от среднего арифметического ;



= 95,2577-99,4707 =-4,213

=95,2577-100,4582 =-5,201

=95,2577-91,32113 =3,938

=95,2577-95,77995 =-0,522

=95,2577-97,4358 =-2,178

=95,2577-92,8074 =2,450

=95,2577-92,6079 =2,650

=95,2577-92,90715 =2,351

=95,2577-97,06673 =-1,809

=95,2577-94,46325 =0,795

=95,2577-90,0144 =5,243

95,2577-91,91963 =3,338

95,2577-95,77995 =-0,522

=95,2577-99,87968 =-4,622

95,2577-94,27373 =0,984

95,2577-94,3635 =0,894

=95,2577-92,77748 =2,481

=95,2577-97,22633 =-1,968

=95,2577-96,29865 =-1,040

95,2577-94,7226 =0,535

95,2577-96,04928 =-0,794

95,2577-99,38093 =-4,123

=95,2577-93,9246 =1,333

=0

      проверили правильность вычислений, и они верны,

т.к. ;



      вычисляем квадраты отклонений от среднего ;

=17,749

=27,05

=15,507

=0,272

=4,744

=6,003

=7,025

=5,527

=3,72

=0,632

=27,458

=11,142

=0,272

=21,363

=0,968

=0,799

=6,155

=3,873

=1,082

=0,286

=0,630

=16,999

=1,777

=181,033

      определяем оценку среднеквадратического отклонения



;

=×181,033

0.21×181,033

=38,0169

      находим значение относительной среднеквадратической случайной погрешности

;

==0,399

    Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результата измерения

; n=23

= = = 7.9268

    Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результатов измерений:

      задаются коэффициентом доверия (доверительной вероятности);

>α=0.1%>

      по специальным таблицам определяют значение коэффициента Стьюдента (), соответствующее заданной доверительной вероятности и числу наблюдений;

где, n – число наблюдений;

α – доверительная вероятность

n=23

α=0.1%

t=1.319460

      находим значение ;

t=1.319460

=7.9268

1.319460×7.9268

=10,4591

      вычисляем доверительные границы и .

=95,2577

=10,4591

95,2577-10,4591=84.7986

95,2577+10,4591=105.7168

    записываем результат измерений.

84.7986x ≤ 105.7168



2. Система предпочтительных чисел в стандартизации

Определить ряд по заданной последовательности чисел 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 2,7

1. По определению знаменателя ряда находим его значение как отношение соседних чисел ряда (как среднее арифметическое):

=1.6; =1.8; =2.0;=2.2; =2.4; =2.7

- член прогрессии, принятый за начальный.

==1,13

==1,11

==1,1

==1,1

==1,13

=5.57

= ; n=5

==1.11

, что соответствует ряду E24

2. Вычисленное число близко расположено к = 1,10. Это соответствует ряду по ГОСТу: Е24.



=

Записать в развернутом виде ряд R10/2 (0,125...2000)

а). Записали ряд в развернутом виде: R10/2 (0,125; 0,2; 0,315; 0,5; 0,8; 1,25; 2,0; 3,15; 5,0; 8,0; 12,5; 20,0; 31,5; 50; 80; 125; 200; 315; 500; 800; 1250; 2000.)

б). Подсчитали число значений ряда.

- член прогрессии, принятый за начальный.

=0,125; =0,2; =0,315;= 0,5; =0,8; =1,25; =2,0; =3,15; =5,0; =8,0; =12,5; =20,0;= 31,5; =50;= 80; =125;

= 200; =315; =500; =800;= 1250; =2000.

число значений ряда n=22

в) Определили знаменатель ряда.

= =1,6

= =1,58

= =1,59

==1,6

==1,56

==1,6

==1,58

==1,59

==1,6

= =1,56

= =1,6

==1,58

==1,59

==1,6

==1,56

==1,6

==1,58

==1,59

==1,6

= =1,56

==1,6

,n=21

=

= =1.59

г) Вычислили номера предпочтительных чисел.

Порядковые номера чисел представляют собой основание ряда, умноженное на десятичный логарифм числа ряда.

R - число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).



=10; = -9

=10; = -7

=10 =-5

=10 =-3

=10 =-1

=10 =1

=10; =3

=10 =5

=10; =7

=10=9

=10 =11

=10;=13

=10;=15

=10 =17

=10 =19

=10; =21

=10; =23

=10 =25

=10=27

=10 =29

=10; =31

=10; =33

Найти номер ПЧ можно еще одним способом:

где i>0> - номер числа в нулевом интервале

k - целое положительное или отрицательное число, определяющее удаление рассматриваемого интервала в ту или другую сторону от нулевого;

R - число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).

По таблице ПЧ находим числа в нулевом интервале i>0> и, тогда из формулы имеем:

Ряд R10

k=-1 ; =1-110; =-9

k=-1; =3-110;=-7

k=-1;=5-110;=-5

k=-1; =7-110;=-3

k=-1; =9-110;=-1

k=0; =1-010;=1

k=0; =3-010;=3

k=0; =5-010; ; 5

k=0; =7-010;=7

k=0; =9-010; =9

k=1; =1+110; 11

k=1; =3+110; =13

k=1; =5+110; 15

k=1; =7+110; =17

k=1; =9+110; =19

k=2; =1+210; 21

k=2; =3+210; =23

k=2; =5+210; =25

k=2; =7+210; =27

k=2; =9+210; =29

k=3; =1+310; 31

k=3; =3+310; =33



Записать в развернутом виде ряд Е12/3 (0,00027...0,015) Е6/2 (0,001...2,2)

а).Записали ряд в развернутом виде

Е12/3 (0,00027...0,001);

Е12/3(0,00027;0,00047;0,00082.)

Е6/2 (0,001...2,2)

Е6/2(0,001;0,0022;0,0047;0,010;0,022;0,047;0,1;0,22;0,47;1;2,2;)

б).Определили знаменатели рядов. Е12/3

=0.00027;=0,00047;=0,00082.

- член прогрессии, принятый за начальный.

= =1,7;

= = 1,7;

= = 1,8;


= 5,2; n=3

=

=5,2

1,73

Знаменатель ряда Е12/3 (0,00027...0,015)1,73



Е 6/2

=0,001;=0,0022;=0,0047;=0,01;=0,022;=0,047;=0,1

=0,22; =0,47;=1;=2,2.

- член прогрессии, принятый за начальный.

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

=21,40

=

= 21,40

Знаменатель ряда Е6/2 (0,001...2,2)

Заключение

Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

Применение рядов предпочтительных чисел представляет собой параметрическую стандартизацию, которая позволяет получить значительный эффект на всех стадиях жизненного цикла изделий ( проектирование, изготовление, эксплуатация и др.) Стандартами параметров охватывается большой диапазон характеристик изделий: материалы, заготовки, размерный режущий инструмент, оснастка, контрольные калибры, узлы по присоединительным размерам, выходные параметры электродвигателей и многое другое, что используется в той или иной отрасли промышленности.

Список использованных источников

1. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством – М.: Изд-во стандартов, 1990.

2. Ю. Димов. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов. 2-е изд. 2004 г432 стр.

3. Алексеев В.В., Авдеев Б.Я., Антонюк Е.М. Метрология, стандартизация и сертификация .1- е изд.: ООО Аргумент, Изд. "Академия/Academia", 2007 г. 384 стр.

4. В.В. Алексеева. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для студентов высших учебных заведений.2-е изд., стер. Изд.: Академия ИЦ 2008г.379стр.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Распределение Стьюдента (t-критерий

n/α

0.40

0.25

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.0005

1

0.324920

1.000000

3.077684

6.313752

12.70620

31.82052

63.65674

636.6192

2

0.288675

0.816497

1.885618

2.919986

4.30265

6.96456

9.92484

31.5991

3

0.276671

0.764892

1.637744

2.353363

3.18245

4.54070

5.84091

12.9240

4

0.270722

0.740697

1.533206

2.131847

2.77645

3.74695

4.60409

8.6103

5

0.267181

0.726687

1.475884

2.015048

2.57058

3.36493

4.03214

6.8688

6

0.264835

0.717558

1.439756

1.943180

2.44691

3.14267

3.70743

5.9588

7

0.263167

0.711142

1.414924

1.894579

2.36462

2.99795

3.49948

5.4079

8

0.261921

0.706387

1.396815

1.859548

2.30600

2.89646

3.35539

5.0413

9

0.260955

0.702722

1.383029

1.833113

2.26216

2.82144

3.24984

4.7809

10

0.260185

0.699812

1.372184

1.812461

2.22814

2.76377

3.16927

4.5869

11

0.259556

0.697445

1.363430

1.795885

2.20099

2.71808

3.10581

4.4370

12

0.259033

0.695483

1.356217

1.782288

2.17881

2.68100

3.05454

4.3178

13

0.258591

0.693829

1.350171

1.770933

2.16037

2.65031

3.01228

4.2208

14

0.258213

0.692417

1.345030

1.761310

2.14479

2.62449

2.97684

4.1405

15

0.257885

0.691197

1.340606

1.753050

2.13145

2.60248

2.94671

4.0728

16

0.257599

0.690132

1.336757

1.745884

2.11991

2.58349

2.92078

4.0150

17

0.257347

0.689195

1.333379

1.739607

2.10982

2.56693

2.89823

3.9651

18

0.257123

0.688364

1.330391

1.734064

2.10092

2.55238

2.87844

3.9216

19

0.256923

0.687621

1.327728

1.729133

2.09302

2.53948

2.86093

3.8834

20

0.256743

0.686954

1.325341

1.724718

2.08596

2.52798

2.84534

3.8495

21

0.256580

0.686352

1.323188

1.720743

2.07961

2.51765

2.83136

3.8193

22

0.256432

0.685805

1.321237

1.717144

2.07387

2.50832

2.81876

3.7921

23

0.256297

0.685306

1.319460

1.713872

2.06866

2.49987

2.80734

3.7676

24

0.256173

0.684850

1.317836

1.710882

2.06390

2.49216

2.79694

3.7454

25

0.256060

0.684430

1.316345

1.708141

2.05954

2.48511

2.78744

3.7251

26

0.255955

0.684043

1.314972

1.705618

2.05553

2.47863

2.77871

3.7066

27

0.255858

0.683685

1.313703

1.703288

2.05183

2.47266

2.77068

3.6896

28

0.255768

0.683353

1.312527

1.701131

2.04841

2.46714

2.76326

3.6739

29

0.255684

0.683044

1.311434

1.699127

2.04523

2.46202

2.75639

3.6594

30

0.255605

0.682756

1.310415

1.697261

2.04227

2.45726

2.75000

3.6460

inf

0.253347

0.674490

1.281552

1.644854

1.95996

2.32635

2.57583

3.2905

Согласно приведенной таблице:

    n – число наблюдений;

    α – доверительная вероятность.

Предпочтительные числа рядов R5, R10, R20, R40

№ числа

Предп. числа

№ числа

Предп. числа

№ числа

Предп. числа

№ числа

Предп. числа

№ числа

Предп. числа

0

1,00

-

-

-

-

-

-

-

-

1

1,06

9

1,70

17

2,65

25

4,25

33

6,70

2

1,12

10

1,80

18

2,80

26

4,50

34

7,10

3

1,18

11

1,90

19

3,00

27

4,75

35

7,50

4

1,25

12

2,00

20

3,15

28

5,00

36

8,00

5

1,32

13

2,12

21

3,35

29

5,30

37

8,50

6

1,40

14

2,24

22

3,55

30

5,60

38

9,00

7

1,50

15

2,36

23

3,75

31

6,00

39

9,50

8

1,60

16

2,50

24

4,00

32

6,30

40

10,00

Ряду R5 соответствует нижняя строка таблицы, ряду R10 – пятая и нижняя, ряду R20 – строки 3, 5, 7, 9 и ряду R40 – вся таблица.

Предпочтительные числа рядов Е3, Е6, Е12, Е24

1,0

-

-

-

-

-

1,1

1,6

2,4

3,6

5,1

7,5

1,2

1,8

2,7

3,9

5,6

8,2

1,3

2,0

3,0

4,3

6,2

9,1

1,5

2,2

3,3

4,7

6,8

10,0

Ряду Е3 соответствуют числа 2,2; 4,7; 10. Ряду E6 соответствует нижняя строка, ряду E12 – третья и пятая, а ряду E24 – вся таблица.

Знаменатели рядов предпочтительных чисел

Условные

обозначения

Знаменатель ряда, q

Количество членов в десятичном интервале

Точное значение

Округленное значение

R5

1,60

5

R10

1,25

10

R20

1,12

20

R40

1,06

40

R80

1,03

80

R160

1,015

160

E3

2,20

3

E6

1,50

6

E12

1,20

12

E24

1,10

24

E48

1,05

48

E96

1,025

96

E192

1,012

192