Основи теорії сигналів

Спектральний метод аналізу, заснований на поданні сигналу у вигляді суми (або інтегралу) гармонічних складових (гармонік) і подальшому розрахунку проходження кожної з гармонік через коло. Вихідний сигнал знаходиться на основі принципу накладання у вигляді суми відгуків на кожну з гармонік вхідного сигналу. Сукупність гармонік, на які розкладаються сигнали, називається їх спектрами.

Вивчення спектрів розпочинається з періодичних імпульсних відеосигналів.

Імпульсними називаються струми і напруги кінцевої енергії, миттєві значення яких відмінні від нуля впродовж деякого (як правило, досить невеликого) інтервалу часу.

Періодичні послідовності імпульсів (рис. 1) відносяться до періодичних несинусоїдних процесів і знаходять широке використання в радіоелектроніці.

Рисунок 1 – Періодична послідовність імпульсів

Періодичні послідовності імпульсів характеризуються їх формою, тривалістю , періодом повторення (або частотою ), висотою (максимальним значенням) –.

Тривалість імпульсів знаходять на деякому рівні від висоти (у границі на нульовому рівні), або як інтервал часу, в якому міститься визначена потужність імпульсу (зазвичай 90або більше).

Інколи вводиться також вторинний параметр – щілинність:

Періодична послідовність імпульсів, описується функцією, яка задовольняє умови Діріхле і може бути подана нескінченим рядом (рядом Фур’є) гармонік з частотами, кратними частотам слідування , :

, (1)

де – комплексна амплітуда -ї гармоніки, – постійна складова імпульсів (середнє значення).

Сукупність амплітуд гармонік називають спектром амплітуд або амплітудно-частотним спектром (АЧС).

Сукупність початкових фаз називають спектром фаз або фазочастотним спектром (ФЧС).

АЧС і ФЧС зображують у вигляді графіків, в яких за віссю абсцис відкладають частоту ( або ), а за віссю ординат – амплітуди гармонік у АЧС і початкові фази у ФЧС (рис. 2). Властивістю спектра періодичного коливання є поступове зменшення амплітуд гармонік зі зростанням їх частоти. Це дозволяє оперувати з нескінченними межами сум у (1), а з сумами обмеженими . Кожній парі ординат графіків АЧС і ФЧС відповідна частота однієї з гармонік, тобто ,, повністю визначають параметри цієї гармоніки. Наприклад, на рис. 3 побудована у функції часу друга гармоніка спектра з частотою , амплітудою і зсувом максимуму косинусоїди вправо (відносно ) на відрізок часу пропорційний .

Оскільки середня потужність періодичного сигналу є сумою потужностей гармонічних складових сигналу і потужності сталої складової, ширина спектра визначається частотою коливання з амплітудою , яка ще впливає на значення середньої потужності на заданому рівні:

Рисунок 2 – Графіки АЧС (а) і ФЧС (б)

У тих випадках, коли – парна функція часу, в (1) дорівнює нулю або . Для непарної функції, навпаки, ряд Фур’є складається тільки із синусоїдних коливань, тобто дорівнює або .

У двох послідовностях імпульсів і , які відрізняються тільки початком відліку часу, АЧС однакові, а відрізняються тільки їх ФЧС. Дійсно, якщо , тоді

(2)

Таким чином, при зсуві сигналу на фази його гармоніки змінюється на .

Як ілюстрації наведемо результати розкладу в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів (рис. 4), яку аналітично можна записати у вигляді:

Рисунок 4 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів

На підставі (2) можна подати у вигляді:

. (3)

Обвідна амплітуд спектра визначається значеннями функції:

де , при , тобто , і амплітуди гармонік дорівнюють нулю.

Позитивним значенням відповідають нульові значення фаз гармонік, від’ємним – початкові фази рівні , тому що , тобто початкові фази гармонік у (3) визначаються як:

Графіки АЧС і ФЧС наведено на рис. 5 Графіки побудовано для щільності . Такі спектри мають назву дискретних.

При змінюванні тривалості імпульсів або частоти їх повторення змінюються і спектри. Рис. 6 ілюструє зміни у спектрах при збільшенні тривалості імпульсів і незмінній частоті повторення . При збільшенні тривалості імпульсів відбувається «стиснення» спектра – гармонічні складові, які мають найбільші амплітуди, зсуваються в область більш низьких частот. Інтервали між спектральними лініями за частотою не змінюються.

Рис. 7 ілюструє зміни у спектрах при збільшенні періоду і незмінній тривалості імпульсу. Збільшення періоду (зменшення частоти слідування) призводить до зменшення інтервалу між спектральними лініями. При цьому зменшується і амплітуда всіх складових спектра, що фізично пояснюється зменшенням потужності у періодичної послідовності імпульсів.

Якщо спрямувати період до нескінченності, амплітуди зменшаться до нескінченно малих величин, а спектральні лінії наблизяться одна до одної, тобто спектр стане суцільним. Відбудеться перехід від періодичної послідовності до одиночного імпульсу.

Рисунок 6 – Вплив тривалості імпульсів на АЧС

Якщо початок відліку часу не збігається з серединою імпульсів (рис. 8,а), відповідно до формули (3) змінюється тільки ФЧС, як показано на рис. 8,б.

Спектри неперіодичних одиночних сигналів оцінюється, так званою, спектральною густиною , у відповідності з перетворенням Фур’є:

Модуль спектральної густини має розмірність В/Гц або А/Гц в залежності від розмірності сигналу (В або А).

Відновлення одиночного сигналу за його спектральною густиною виконується за допомогою оберненого перетворення Фур’є:

Рисунок 8 – Вплив початку відліку часу на ФЧС

Спектральна густина одиночного прямокутного імпульсу висотою і тривалістю описується виразом:

Частотна залежність модуля спектральної густини (АЧС) і частотна залежність аргументу спектральної густини (ФЧС) одиночного прямокутного імпульсу наведені на рис. 9.

Для розрахунку відгук кіл спектральним методом використовують комплексний коефіцієнт передачі кола , який дозволяє визначити вихідні сигнали у випадках:

а) періодичного сигналу –

періодичний послідовність імпульс спектр амплітуда

де , ,– комплексна амплітуда, амплітуда і початкова фаза -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно; , , – комплексний коефіцієнт передачі, значення АЧХ і ФЧХ кола для частоти -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно;

б) неперіодичного сигналу –

де – спектральна густина вхідного сигналу.

Розглянуті вище сигнали мають спектри в області низьких частот і такі сигнали називають відеосигналами. На відміну від них, радіосигнали з амплітудною, частотною або фазовою модуляцією мають спектри, сконцентровані поблизу носійної частоти .

Рисунок 9 – АЧС (а) і ФЧС (б) одиночного прямокутного імпульсу наведеного на рис. 8,а

Якщо у носійного коливання , амплітуда змінюється за законом відносно деякого середнього рівня , формується амплітудно-модульоване коливання (АМК), яке можна записати у вигляді:

де постійний коефіцієнт вибраний таким, щоб амплітуда коливань була завжди додатною.

Якщо модулююче коливання містить декілька гармонічних складових, які подані рядом:

, (4)

тоді модульоване коливання набуває вигляду:

, (5)

де величини – парціальні (часткові) коефіцієнти модуляції, .

Подамо модулюючий сигнал (4) в іншому вигляді, пронормувавши амплітуди гармонік за амплітудою першої гармоніки.

де ; – нормовані амплітуди гармонік.

Тоді у виразі (5) парціальний коефіцієнт модуляції -ї гармоніки можна подати як:

Спектр АМК (1) після тригонометричних перетворень набуває вигляду

(6)

Якщо АЧС модулюючого коливання має вигляд, наведений на рис. 2, а), тоді у відповідності до (2) матимемо спектр АМК, представлений на рис. 10.

Рисунок 10 – АЧС амплітудно-модульованого коливання

Таким чином, спектр АМК можна подати як перенесений на носійну частоту спектр модулюючого відеосигналу. Спектр містить носійне коливання і дві бокові смуги частот – «нижню» з частотами і «верхню» з частотами . Рівень бокових частот визначається відповідними коефіцієнтами глибини модуляції , а ширина спектра дорівнює . Такий спектр відповідає радіосигналу.

Частковим випадком АМК є балансна модуляція або амплітудна маніпуляція, коли радіосигнал отримуємо у вигляді:

При цьому у випадку модулюючого сигналу з дискретним спектром (4) спектр радіосигналу (2) відрізнятиметься відсутністю носійного коливання.

У випадку, коли балансна модуляція здійснюється неперіодичним сигналом, спектральна густина радіосигналу має вид:

де – спектральна густина модулюючого відеосигналу.

Наприклад, спектральна густина радіосигналу на разі модулюючого коливання у вигляді одиночного прямокутного радіоімпульсу за умов балансної модуляції описується виразом:

Таким чином, амплітудна маніпуляція одиночним сигналом призводить до переносу спектра модульованого сигналу в область частот .

Наявність від’ємних частот при спектральному аналізі пояснюється комплексною формою запису ряду Фур’є, або інтеграла Фур’є, в яких дійсна змінна часу коливання формується за допомогою векторів, що обертаються як у додатному напрямі з частотою , так і у від’ємному з частотою .