Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра РТС
«Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования»
Выполнил ст. гр. 511
Шмелёв А.О.
Проверил
Гришаев Ю.Н.
Рязань 2008
Задание
логарифмическая частотная разомкнутая система
Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы по заданным показателям качества.
Определить по построенным ЛАХ и ЛФХ запасы устойчивости по усилению и по фазе.
Записать передаточную функцию разомкнутой системы по построенной ЛАХ.
Рассчитать и построить АЧХ замкнутой системы.
Исходные данные
Постоянная ошибка: по укорению (δ>ст>/х>0>)·102=0,5
Частота среза: ω>ср>(2+n)·10-2=3, где n=1
Логарифмический коэффициент передачи L>01> на частоте 0.1ω>ср> не менее 26дБ.
Запас устойчивости по фазе Δφ±100=400
Постоянные времени обязательных инерционных звеньев: Т>ин1>·104=7, Т>ин2>·105=3
Частота гармонической помехи (ω>п>/ω>ср>)·10-2=3
Коэффициент подавления помехи L>п> не менее 80дБ
Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы
Построение ЛАХ начинается с низкочастотной асимптоты. Т.к. задана статическая ошибка то система будет статической , наклон ЛАХ для низкочастотной асимптоты будет нулевым и ошибка определяется выражением δ>ст>= х>0>/(1+k).
(δ>ст>/х>0>)·102=0,5=> δ>ст>/х>0>=0,5*10-2 – относительная ошибка
k= х>0> / δ>ст >-1 =2*102 -1=199 - коэффициент передачи разомкнутой системы
L>1>=20lg(k)=20lg(199)=46 – логарифмический коэффициент передачи разомкнутой системы
Т.е. низкочастотная асимптота проводится через т.(1;46) параллельно оси частот.
Для обеспечения требуемого запаса устойчивости по фазе требуется, чтобы ЛАХ пересекала ось частот под наклоном -20дБ/дек на частоте среза.
ω>ср>(2+n)·10-2=3=> ω>ср>=300/3=100 рад/с
Построенные участки ЛАХ соединяются прямой линией под наклоном -40дБ/дек, при этом для обеспечения п.3 исходных данных выбираем ω>с1>=5рад/с, тогда т.(10;26) (т. (0.1 ω>ср >;L>01>)) пройдёт ниже прямой с нулевым наклоном.> >
Сопрягающую частоту ω>с2> выбираем из условия запаса устойчивости по фазе Δφ±100=400 (т.к. последующие типовые и обязательные инерционные звенья будут вносить дополнительный фазовый сдвиг): ω>с2>= ω>ср> /2=50 рад/с .
Построенная ЛАХ сформирована последовательным соединением следующих типовых звеньев: безынерционным k(p)=199, двумя инерционными k(p)=1/(1+Т>1>р)2 и форсирующим k(p)=(1+ Т>2>p). Т.о. передаточная функция соединения типовых звеньев будет иметь вид:
ЛФХ полученной передаточной функции строится сложением ЛФХ отдельных звеньев.
Из рис видно, что при соединении таких типовых линейных звеньев, ЛФХ системы не попадает в заданный интервал устойчивости по фазе. Для обеспечения этого условия в систему вводится дополнительное инерционное звено с сопрягающей частотой ω>с3> лежащей выше частоты среза. Система с дополнительным инерционным звеном будет проходить внутри заданного интервала при ω>с3>=333рад/с .
Достраиваем ЛАХ и ЛФХ системы с учетом введенного звена, обязательных инерционных звеньев, п.5 исходных данных, и проверяем требование к подавлению гармонической помехи п.6 и п.7 исходных данных:
Т>ин1>·104=7 => Т>ин1>=7·10-4с => ω>ин1>=1/Т>ин1>=1.43·103рад/с
Т>ин2>·105=3 => Т>ин2>=3·10-5с => ω>ин2>=1/Т>ин2>=3.3·103рад/с
(ω>п>/ω>ср>)·10-2=3 => ω>п>=ω>ср>·3·102=100·3·102=30·103рад/с
L>п> ≥ 80дБ
На рис видно, что т.( 30·103;-80) лежит выше ЛАХ разомкнутой системы, следовательно, требование к подавлению гармонической помехи выполняется.
Определение запасов устойчивости
Проведем графически по построенным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.
Запас устойчивости по усилению ΔL=24дБ.
Запас устойчивости по фазе Δφ=450.
Запись передаточной функции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ
При частотах близких к 0 ЛАХ имеет нулевой наклони, значит, формируется безынерционным звеном с передаточной функцией k(p)=k. На ω>с1 >наклон изменяется на – 40 дб/дек – этот наклон обеспечивается 2 инерционными звеньями с k(p)=1/(1+Т>1>р)2 , Т>1>=1/ ω>с1 >. С таким наклоном ЛАХ идёт до ω>с2 >, а потом наклон становится равным – 20 дб/дек. Изменение наклона на + 20 дб/дек обеспечивается форсирующим звеном с k(p)=(1+Т>2>р), Т>2>=1/ ω>с2> . На ω>с3 >наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 40 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т>3>р). На ω>ин1 >наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 60 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т>ин1>р). На ω>ин2 >наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 80 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т>ин2>р).
При построении ЛАХ разомкнутой системы использовались типовые линейные звенья, поэтому передаточная функция этой системы может быть записана как совокупность таких звеньев.
,
где k=199
Т>1>=1/ω>с1>=1/5=0.2с,
Т>2>=1/ω>с2>=1/50=0.02с,
Т>3>=1/ω>с3>=1/333=0.003с,
Т>ин1>=7·10-4с,
Т>ин2>=3·10-5с.
Расчет АЧХ замкнутой системы
Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы связана с частотными характеристиками разомкнутой следующим соотношением:
АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы можно найти двумя путями. Во-первых, по построенным J1AX и ЛФХ разомкнутой системы и, во-вторых, по комплексной частотной характеристике разомкнутой системы.
Первый способ: По ЛАХ находим значения L>p>(ω) в диапазоне от 24 до 450рад/с, по ЛФХ находим значения φ>р>(ω) в этом же диапазоне. Переходим от логарифмического коэффициента передачи к обычному
и строим АЧХ замкнутой системы по значениям К>з>(ω)
|
ω |
24 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
200 |
300 |
400 |
450 |
|
L>p>(ω) |
20 |
15 |
10 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-6 |
-9 |
-15 |
-20 |
|
К>р>(ω) |
10 |
5.6 |
3.2 |
1.9 |
1.5 |
1.4 |
1.3 |
1.1 |
1 |
0.5 |
0.4 |
0.17 |
0.1 |
|
φ>р>(ω) |
-140 |
-144 |
-143 |
-140 |
-140 |
-140 |
-135 |
-135 |
-135 |
-140 |
-153 |
-162 |
-171 |
|
К>з>(ω) |
1.1 |
1.16 |
1.29 |
1.46 |
1.53 |
1.55 |
1.41 |
1.35 |
1.3 |
0.7 |
0.6 |
0.2 |
0.1 |
Второй способ: Подставим в передаточную функцию разомкнутой системы p=jω, получим комплексную частотную характеристику
её модуль будет равен:
ФЧХ
|
ω |
24 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
200 |
300 |
400 |
450 |
|
Кр(ω) |
9.2 |
6.2 |
3.9 |
2.8 |
2.1 |
1.7 |
1.4 |
1.2 |
1.1 |
0.44 |
0.25 |
0.16 |
0.13 |
|
φр(ω) |
-135.9 |
-136.5 |
-135.6 |
-134.2 |
-133 |
-132.2 |
-131.7 |
-131.6 |
-131.7 |
-140.5 |
-151.9 |
-162.2 |
-166.8 |
|
К>з>(ω) |
1.1 |
1.13 |
1.19 |
1.26 |
1.32 |
1.35 |
1.33 |
1.3 |
1.28 |
0.6 |
0.32 |
0.2 |
0.15 |
Генерирование независимых случайных процессов
Сформируем лицевую панель в соответствии с методическим указанием к лабораторной работе.
Далее в окне Block Diagram добавим недостающие элементы: структуру For Loop и создадим элемент гистограммы. После чего соединим все элементы надлежащим образом. Установим количество отсчетов равным 100 и запустим моделирование.
Произведем вычисление максимальной относительной ошибки вычисления вероятности для различного количества отсчетов N:
100,
1000,
10000,
100000
по следующей формуле: >макс> = p>i> – n>i>/N >макс>/ p>i> = | p>i>N – n>i>|>макс>/ p>i>N.
N=100
>макс> = | 10 –15|/ 10=0.5
N=1000
>макс> = | 100 –124|/ 100=0.24
N=10000
>макс> = | 1000 –945|/ 1000=0.065
N=100000
>макс> = | 10000 –10129|/ 10000=0.0129
Считается, что N(количество экспериментов) и m(количество разрядов) должны находить в следующем соотношении:
m = 3,3lgN + 1
Такая взаимосвязь объясняется тем, что при увеличении количества разрядов необходимо увеличивать количество отсчетов. Иначе гистограмма распределения будет изрезанной и не позволит судить о распределении случайной величины с хорошей точностью.
Генерирование случайной последовательности с законом распределения, отличным от равномерного, методом обратной функции.
Скопировали структуру For Loop – генератор равномерно распределенной случайной последовательности. В переключателе вариантов установили “Нелинейное преобразование”. В образовавшееся пустое поле вставили скопированную структуру For Loop. Внутри структуры For Loop cобрали блок-схему программы по формуле u = (-2ln(1 - x))1/2.
Установили значение параметра в соответствии с вариантом – 0.5 и количество отсчетов – 1000.
Запустили моделирование. Составим таблицу зависимости n>i>(x), p>i>(x),:
|
x |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
|
n>i> |
87 |
194 |
243 |
198 |
137 |
90 |
38 |
9 |
2 |
2 |
|
p>i> |
0.087 |
0.194 |
0.243 |
0.198 |
0.137 |
0.09 |
0.038 |
0.009 |
0.002 |
0.002 |
|
|
0.087 |
0.281 |
0.524 |
0.74 |
0.859 |
0.949 |
0.987 |
0.996 |
0.998 |
1 |
Генерирование случайных последовательностей сложением равномерно распределенных случайных последовательностей (количество складываемых случайных величин – от 2 до 6).
Добавим еще 6 вариантов: “Сумма двух равномерных”, “Сумма трех равномерных ”, “Сумма четырех равномерных ”, “Сумма пяти равномерных”, “Сумма шести равномерных ”, “Нормированная сумма шести равномерных”.
Для каждого варианта соберем соответствующие схемы в структуре Case.
|
|
|
|
|
|
|
|
1)Сумма двух равномерных:
2) Сумма трех равномерных
3)Сумма четырех равномерных
Полученные результаты объясняются тем, что происходит сложение первых и вторых моментов случайных величин. Т.е. при увеличении суммы на одно слагаемое мат ожидание увеличивается на 0.5 (значение мат. ожидания для равномерной случайной величины диапазона 0-1) и десперсия так же увеличивается на 1 (значение дисперсии для равномерной случайной величины диапазона 0-1).
Определение близости закона распределения нормированной суммы шести равномерно распределенных случайных величин к нормальному закону.
В окнах Block Diagram и Front Panel добавим новые элементы, необходимые для решения поставленной задачи:
Список литературы:
Н.А. Виноградова, Я.И. Листратов, Е.В. Свиридов. «Разработка прикладного программного обеспечения в среде LabVIEW». Учебное пособие – М.: Издательство МЭИ, 2005.
http://www.automationlabs.ru/
http://digital.ni.com/
http://www.labview.ru/
http://ru.wikipedia.org/