Двоичный циклический код Хэмминга

Российский Государственный Социальный Университет

Факультет Социальных информационных технологий

Кафедра Информационной безопасности

Курсовая работа

по дисциплине

Системы и сети связи

Москва – 2006

Задание 1

Для системы связи (СС) с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия (рис. 1) при заданных исходных данных:

    Найти двоичный циклический (n,k)-код Хэмминга, который обеспечивает передачу сообщений в СС с вероятностью выдачи ложного сообщения Р>лс(>>n>>,>>k>>) >< P>доп> при следующих условиях:

    прямой дискретный канал в СС является двоичным симметричным каналом (ДСК) с постоянными параметрами;

    обратный непрерывный канал – без помех;

    код используется только для обнаружения ошибок;

    найденный значения n и k должны обеспечивать минимум разности P>доп> -Р>лс(>>n>>,>>k>>)> для возможных значений n и k.

    Отложить в координатных осях вычисленные значения Р>лс(>>n>>,>>k>>) >для всех исследованных пар (n,k). В этих же осях прямой линией изобразить заданное значение P>доп>.

Исходные данные для курсовой работы (вариант №22):

Вероятность искажения двоичного символа p

6x10-4

Допустимая вероятность ложного сообщения P>доп>

2x10-7

Допустимое число переспросов s

∞

Разрядность кода n

>10

Порождающий многочлен g>i>(x)

g>3>(x)

Тип кодера

КД 1

Ввод информационных символов в кодер

последовательно

Тип декодера

ДК 2

Рисунок 1. Структурная схема СС с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия

Описание работы СС с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия (рис. 1):

Информационная последовательность отдельными комбинациями не корректирующего кода через первое положение ключа направляется в кодер и в ЗУ передатчика. На выходе кодера образуется комбинация корректирующего кода, которая поступает в модулятор прямого канала. В прямом канале возможно искажение сигнала. На приемной стороне решение о принятом символе принимается демодулятором с так называемой зоной ненадежности.

Принцип его работы можно понять из рисунка.

Пусть символ «1» передается по каналу связи импульсом положительной полярности с амплитудой U, а «0» импульсом отрицательной полярности с той же амплитудой.

В демодуляторе выделена некоторая зона +V –V, если принимаемый импульс попадает в эту зону (зона ненадежности), то демодулятор считает, что он не может принять надежного решения, о том, какой символ передавался. В этом случае, демодулятор выдает символ ненадежности Z. С выхода демодулятора комбинации поступают на вход декодера. После поступления всей комбинации с выхода декодера в обратный канал направляется одна из двух команд:

    «переспрос», если содержатся ошибки в принятой комбинации, и одновременно кодовое слово с символами Z стирается;

    «продолжение», если не обнаружено ошибок, и комбинация не корректирующего кода направляется к получателю.

Если различитель команд получает команду «продолжения», то из ЗУ передатчика в прямой канал направляется следующая порция* информации. Если различитель команд получает команду «переспрос», то он переключает ключ в положение 2 и из ЗУ передатчика в прямой канал повторно направляется комбинация, которая была стерта.

После выдачи в прямой канал из ЗУ передатчика очередной порции информации, следующая порция не передаётся до тех пор, пока не будет получен ответ по этой порции.

Порядок расчета Р>лс> и пример расчета Р>лс> для циклического (n,k)–кода Хэмминга, обеспечивающего минимум разности Р>доп> – Р>лс(>>n>>,>>k>>)>:

Произведем расчет для (18,13)-кода с d=3.

Для этого введем обозначения:

    P>бо> – вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n,k)-кода без ошибок при однократной передаче;

    Р>оо >– вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n,k)-кода с обнаруживаемыми ошибками при однократной передаче;

    Р>но> – вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n,k)-кода с необнаруживаемыми ошибками при однократной передаче;

    Р>i>>>>v>>о> – вероятность появления на выходе ДСК комбинации с ошибками кратности iv>0>;

    Р>i>>>>>v>>о> – вероятность появления на выходе ДСК комбинации с ошибками кратности i>v>0>, которые расположены так, что обнаруживаются кодом;

    Р>лс>> >– вероятность появления на выходе СС с неограниченным числом переспросов ложного сообщения.

Найдем:

хэмминг код цикличный программа

P>бо >= qn, где q=1-p;

Р>i>>>>v>>о >=, где v>0>=d-1;

Р>оо >= Р>i>>>>v>>о> + Р>i>>>>>v>>о>;

Р>но > 1- P>бо >- Р>i>>>>v>>о>;

Р>лс >= Р>но>/(1- Р>оо>).

Пример:

P>бо >= qn=0,999418=0,98925490, где q=1-p=0,9994;

Р>i>>>>v>>о >==+=

18*0,0006*0,98984881+153*0,00000036*0,99044307=0,01074492, где v>0>=d-1=2;

Р>оо >= Р>i>>>>v>>о> + Р>i>>>>>v>>о>= 0,01074492;

Р>но > 1- P>бо >- Р>i>>>>v>>о>=1-0,98925490-0,01074492=0,00000018;

Р>лс >= Р>но>/(1- Р>оо>)=0,00000018/(1-0,01074492)=0,00000018.

Структурная схема алгоритма расчета кода, ее описание

Описание алгоритма:

      Начало;

      Объявляем P = 0.0006, Pdop=0.0000002, i=0, k, Pbo, Poo, Pno, Pls, lgPls, h=0, M[61], H[], d=3;

      Вручную меняем d (по умолчанию d=3);

      Если d=2, то i=11, иначе переходим к шагу 7;

      Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, Poo=(C )*(P^1)*(1-P)^(i-1),

Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i-11]=(Pdop-Pls), i=i+1, переходим к шагу 5, иначе переходим к шагу 35;

      Выводим Pbo, Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 5;

      Если d=3, то i=11, иначе переходим к шагу 21;

      Если i<=15, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 14;

      Выводим Pbo;

      Если k<=2, то Poo=, иначе переходим к шагу 12;

      k=k+1, переходим к шагу 10;

      Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

      Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 8;

      i=17;

      Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 35;

      Выводим Pbo;

      Если k<=2, то Poo=, иначе переходим к шагу 19;

      k=k+1, переходим к шагу 17;

      Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

      Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 15;

      Если d=4, то i=11, иначе переходим к шагу 35;

      Если i<=15, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 28;

      Выводим Pbo;

      Если k<=3, то Poo=, иначе переходим к шагу 26;

      k=k+1, переходим к шагу 24;

      Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

      Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 22;

      i=17;

      Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 35;

      Выводим Pbo;

      Если k<=3, то Poo=, иначе переходим к шагу 33;

      k=k+1, переходим к шагу 31;

      Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

      Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 29;

      h=0, i=0;

      Если i<=60, то переходим к шагу 37, иначе переходим к шагу 38;

      Если M[i]>0, то h=h+1, i=i+1, иначе i=i+1 и переходим к шагу 36;

      Выделяем память под массив Н из h элементов.

      Если i<=60, то переходим к шагу 40, иначе переходим к шагу 41;

      Если M[i]>0, то H[k]=M[i], k=k+1, i=i+1, иначе i=i+1 и переходим к шагу 39;

      i=0;

      Ищем минимальный элемент в массиве Н;

      Если i<=60, то переходим к шагу 44, иначе переходим к шагу 50;

      Если M[i]=минимальному элементу, то и переходим к шагу 45, иначе i=i+1 и переходим к шагу 43;

      Если i>=0 и i<=20, то выводим (i+11,i+10)-код, иначе переходим к шагу 46;

      Если i>=21 и i<=25, то выводим (i-10,i-14)-код, иначе переходим к шагу 47;

      Если i>=26 и i<=40, то выводим (i-9,i-14)-код, иначе переходим к шагу 48;

      Если i>=41 и i<=45, то выводим (i-30,i-35)-код, иначе переходим к шагу 49;

      Если i>=46 и i<=60, то выводим (i-29,i-35)-код, иначе i=i+1 и переходим к шагу 39;

      Выводим минимальный элемент из массива Н, как минимум разницы Р>доп>-Р>лс>;

      Конец.

Распечатка программы

Программа написана на языке С++.

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <vector>

#include <algorithm>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

float P = 0.0006;

float Pdop = 0.0000002;

using namespace std;

float M[61];

vector<float>H;

char B[128];

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

float C(int n,int m)

{float c=1.0;

for(int i=n;i>=n-m+1;i--)c*=i;

for(int i=1;i<=m;i++)c/=i;

return (int)c;

}

void __fastcall TForm1::ComboBox1Select(TObject *Sender)

{int i=0, k;

double Pbo,Poo,Pno,Pls,lgPls;

AnsiString s;

ListBox1->Clear();

ListBox2->Clear();

ListBox3->Clear();

ListBox4->Clear();

ListBox5->Clear();

ListBox6->Clear();

ListBox7->Clear();

//d=2

if(ComboBox1->ItemIndex==0)

for(i=11;i<=31;i++)

{s="("+IntToStr(i)+","+IntToStr(i-1)+")";

ListBox1->Items->Add(s);

Pbo=pow(1-P,i);

sprintf(B,"%.8f",Pbo);

ListBox2->Items->Add(B);

Poo=0;

Poo=C(i,1)*pow(P,1)*pow(1-P,i-1);

sprintf(B,"%.8f",Poo);

ListBox3->Items->Add(B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf(B,"%.8f",Pno);

ListBox4->Items->Add(B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf(B,"%.8f",Pls);

ListBox5->Items->Add(B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf(B,"%.2f",lgPls);

ListBox6->Items->Add(B);

Series1->AddXY(i,lgPls,s,clRed);

M[i-11]=(Pdop-Pls);

}

//d=3

if(ComboBox1->ItemIndex==1)

{for(i=11;i<=15;i++)

{s="("+IntToStr(i)+","+IntToStr(i-4)+")";

ListBox1->Items->Add(s);

Pbo=pow(1-P,i);

sprintf(B,"%.8f",Pbo);

ListBox2->Items->Add(B);

Poo=0;

for(k=1;k<=2;k++)

Poo+=C(i,k)*pow(P,k)*pow(1-P,i-k);

sprintf(B,"%.8f",Poo);

ListBox3->Items->Add(B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf(B,"%.8f",Pno);

ListBox4->Items->Add(B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf(B,"%.8f",Pls);

ListBox5->Items->Add(B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf(B,"%.2f",lgPls);

ListBox6->Items->Add(B);

Series2->AddXY(i,lgPls,s,clLime);

M[i+10]=(Pdop-Pls);

}

for(i=17;i<=31;i++)

{s="("+IntToStr(i)+","+IntToStr(i-5)+")";

ListBox1->Items->Add(s);

Pbo=pow(1-P,i);

sprintf(B,"%.8f",Pbo);

ListBox2->Items->Add(B);

Poo=0;

for(k=1;k<=2;k++)

Poo+=C(i,k)*pow(P,k)*pow(1-P,i-k);

sprintf(B,"%.8f",Poo);

ListBox3->Items->Add(B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf(B,"%.8f",Pno);

ListBox4->Items->Add(B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf(B,"%.8f",Pls);

ListBox5->Items->Add(B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf(B,"%.2f",lgPls);

ListBox6->Items->Add(B);

Series2->AddXY(i,lgPls,s,clLime);

M[i+9]=(Pdop-Pls);

}

}

//d=4

if(ComboBox1->ItemIndex==2)

{for(i=11;i<=15;i++)

{s="("+IntToStr(i)+","+IntToStr(i-5)+")";

ListBox1->Items->Add(s);

Pbo=pow(1-P,i);

sprintf(B,"%.8f",Pbo);

ListBox2->Items->Add(B);

Poo=0;

for(k=1;k<=3;k++)

Poo+=C(i,k)*pow(P,k)*pow(1-P,i-k);

sprintf(B,"%.8f",Poo);

ListBox3->Items->Add(B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf(B,"%.8f",Pno);

ListBox4->Items->Add(B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf(B,"%.8f",Pls);

ListBox5->Items->Add(B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf(B,"%.2f",lgPls);

ListBox6->Items->Add(B);

Series3->AddXY(i,lgPls,s,clYellow);

M[i+30]=(Pdop-Pls);

}

for(i=17;i<=31;i++)

{s="("+IntToStr(i)+","+IntToStr(i-6)+")";

ListBox1->Items->Add(s);

Pbo=pow(1-P,i);

sprintf(B,"%.8f",Pbo);

ListBox2->Items->Add(B);

Poo=0;

for(k=1;k<=3;k++)

Poo+=C(i,k)*pow(P,k)*pow(1-P,i-k);

sprintf(B,"%.8f",Poo);

ListBox3->Items->Add(B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf(B,"%.8f",Pno);

ListBox4->Items->Add(B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf(B,"%.8f",Pls);

ListBox5->Items->Add(B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf(B,"%.2f",lgPls);

ListBox6->Items->Add(B);

Series3->AddXY(i,lgPls,s,clYellow);

M[i+29]=(Pdop-Pls);

}

}

int h=0;

for (i=0;i<=60;i++)

if (M[i]>0) h++;

H.resize(h);

k=0;

for (i=0; i<=60;i++)

if (M[i]>0) {H[k]=M[i]; k++;}

for (i=0;i<=60;i++)

if (M[i]==*min_element(H.begin(),H.end()))

{if (i>=0&&i<=20)

{s="("+IntToStr(i+11)+","+IntToStr(i+10)+")-код с d=2";

ListBox7->Items->Add(s);}

if (i>=21&&i<=25)

{s="("+IntToStr(i-10)+","+IntToStr(i-14)+")-код с d=3";

ListBox7->Items->Add(s);}

if (i>=26&&i<=40)

{s="("+IntToStr(i-9)+","+IntToStr(i-14)+")-код с d=3";

ListBox7->Items->Add(s);}

if (i>=41&&i<=45)

{s="("+IntToStr(i-30)+","+IntToStr(i-35)+")-код с d=4";

ListBox7->Items->Add(s);}

if (i>=46&&i<=60)

{s="("+IntToStr(i-29)+","+IntToStr(i-35)+")-код с d=4";

ListBox7->Items->Add(s);}

}

ListBox7->Items->Add("");

ListBox7->Items->Add("Минимальная разность");

sprintf(B,"%.12f",*min_element(H.begin(),H.end()));

ListBox7->Items->Add("Рдоп-Рлс");

ListBox7->Items->Add(B);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormCreate(TObject *Sender)

{ComboBox1->ItemIndex=1;

Series4->AddXY(0,log10(Pdop),"lg Pдоп",clBlack);

Series4->AddXY(31.3,log10(Pdop),"lg Pдоп",clBlack);

}

//---------------------------------------------------------------------------

График найденных значений lg P>лс>

Задание 2

Построить функциональные схемы кодера и декодера для найденного (n,k)-кода и заданного для него порождающего многочлена g>3>(X). При изображении схем кодера и декодера использовать условные изображения элементов:

элемент умножения

элемент памяти

элемент сложения по модулю 2

Исходные данные:

g>3>(x)=x5+x3+x2+x+1;

r=5.

Функциональная схема кодера для (18,13)-кода

Описание работы схемы:

Кодер 1 с последовательным вводом информационных символов (a>12>, a>11>, …, a>1>, a>0>) состоит из регистра проверочных символов (РПС), регистра задержки (РЗ) с 5 элементами памяти и трех ключей. В исходном состоянии в элементах памяти регистров – нули, ключи Кл1 и Кл2 разомкнуты, Кл3 замкнут.

При подаче первых 5 импульсов сдвига (ИС) 5 информационных символов, начиная со старшего, вводятся в оба регистра. С окончанием 5-го ИС ключи Кл1 и Кл2 замыкаются, а Кл3 размыкается.

В течение последующих k ИС информационные символы выводятся из РЗ, а в РПС образуются 5 проверочных символов. После этого ключи Кл1 и Кл2 размыкаются, а Кл3 замыкается.

За последующие 5 импульсов сдвига проверочные символы выдаются на выход кодера, после чего схема возвращается в исходное состояние. Таким образом, первый символ комбинации УЦК появляется на выходе кодера с задержкой на 5 ИС.

Функциональная схема декодера для (18,13)-кода

Список использованной литературы

1. Хохлов Г.И., Пособие к выполнению лабораторной работы №3 по дисциплине «Системы и сети связи». – М.: 2005. – 18 с.

2. Хохлов Г.И., Пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Системы и сети связи». – М.: 2005. – 15 с.