Определение спектра амплитудно-модулированного колебания

Пензенский государственный университет

Кафедра «РТ и РЭС»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»

на тему

«Определение спектра

амплитудно-модулированного колебания»

Задание выполнил студент

группы 01РР2

Чернов С. В.

Задание проверил

Куроедов С. К.

Пенза 2003

Содержание

1. Формулировка задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Шифр задания и исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Аналитическая запись колебания U_>>(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Определение коэффициентов а_>n> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Определение коэффициентов b_>n> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6. Определение постоянной составляющей А_>0> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7. Определение амплитуд A_>n> и начальных фаз _>n> . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму

найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

колебания u_>>(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра

колебания u_>>(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

10. Аналитическая запись АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . 11

12. Определение ширины спектра АМ колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Формулировка задания

Определить спектр АМ колебания u(t) =U_>m>(t)cos(_>0>t+_>0>), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения U_>c>(t), т.е. U_>m>(t).=U_>0>+ U_>c>(t)

(коэффициент пропорциональности принят равным единице).

Сигнал сообщения U_>c>(t) представляет собой сумму первых пяти гармоник периодического колебания u_>>(t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектр сигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в форме амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимо кроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции m_>n>. Несущая частота определяется как _>0>=20_>5>, где _>5> – частота пятой гармоники в спектре колебания u_>>(t). Значение амплитуды U_>0> несущей частоты _>0> принимается равным целой части удвоенной суммы , где U_>n> – амплитудное значение гармоники спектра колебания u_>>(t).

2. Шифр задания и исходные данные

Шифр задания: 17 – 3

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

U_>1>, В	U_>2>, В	T, мкс	t_>1>, мкс
3	3	250	60

Временная диаграмма исходного колебания

u_>>(t)

3. Аналитическая запись колебания U_>>(t)

Сначала выполним спектральный анализ заданного колебания u_>Ω>(t). Для этого, пользуясь графической формой колебания и заданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебания разбиваем на три интервала: [0;t_>1>], [t_>1>;t_>2>] и [t_>2>; T] (точка является серединой интервала [t_>1>; T]). Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями. В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:

при ,

u_>Ω>(t)= при , (1)

при .

Частота синусоиды (в знаменателе записан период этой синусоиды).

Значения k_>1> и b_>1> определяем из системы уравнений

;

получаемой путем подстановки во второе уравнение системы (1) значений времени t_>1> и и соответствующих им значений колебания u_>Ω>(t) (u_>Ω>(t_>1>)=0, u_>Ω>(t)=-U_>2>). Решение указанной системы уравнений дает , . Аналогично определяем k_>2> и b_>2>. В третье уравнение системы (1) подставляем значения t_>2> и T и соответствующие им значения колебания u_>Ω>(t) (u_>Ω>(t_>2>)=-U_>2>, u_>Ω>(T)=0).

;

Решив систему, получаем ,

В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид

при ,

u_>Ω>(t)= при , (2)

при .

Для дальнейших расчетов определим:

мкс;

рад/с

Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения а_>n>, b_>n>, А_>n> и φ_>n> первых пяти гармоник.

4. Определение коэффициентов a_>n>

Посчитаем каждый из интегралов отдельно:

;

первый интеграл интегрируем по частям:

, ,

, .

;

аналогично интегрируем:

Запишем выражение для а_>n>, как функции порядкового номера n гармоник колебания U_>>(t):

Подставляя ранее вычисленные значения k_>1> b_>1>, k_>2>, b_>2>, заданное значение U_>1> и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов a_>n>:

В.

Заносим полученные результаты в таблицу 2.

5. Определение коэффициентов b_>n>

Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:

;

, ,

, .

;

Запишем выражение для b_>n>, как функции порядкового номера n гармоник колебания U_>>(t):

Подставляя ранее вычисленные значения k_>1> b_>1>, k_>2>, b_>2>, заданное значение U_>1> и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов b_>n>:

В.

Занесём полученные данные в таблицу 2.

6. Определение постоянной составляющей А_>0>

В.

7. Определение амплитуд A_>n> и начальных фаз _>n>

Значения A_>n> и Ψ_>n> вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов a_>n> и b_>n>.

В,

В;

рад,

рад.

Полученные результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2

n	1	2	3	4	5
a_>n>	1.641	0.033	-0.368	-0.237	-0.128
b_>n>	1.546	0.548	0.442	0.028	-0.093
A_>n>	2.254	0.549	0.575	0.239	0.159
Ψ_>n>	0.756	1.511	2.264	3.023	-2.512

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

t, мкс

u(t) – заданное колебание,

S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,

S1(t) – первая гармоника,

S2(t) – вторая гармоника,

S3(t) – третья гармоника,

S4(t) – четвертая гармоника,

S5(t) – пятая гармоника,

A0 – постоянная составляющая.

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания u_>>(t)

Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения u_>c>(t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания u_>>(t).

АЧХ колебания u_>>(t)

ФЧХ колебания u_>>(t)

10. Аналитическая запись АМ колебания

В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания u_>>(t) (постоянную составляющую А_>0> отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как

рад/с – несущая частота.

Значение амплитуды U_>0> несущей частоты _>0> принимается равным целой части удвоенной суммы , где U_>n> – амплитудное значение гармоники спектра колебания U_>>(t).