Основы теории цепей (работа 1)
Содержание
1. Способы представления и параметры
2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока
3. Алгебра комплексных чисел
4. Символический метод
5. Законы цепей в символической форме
Список литературы
1. Способы представления и параметры
Переменный ток (напряжение) – это ток (напряжение), изменяющийся во времени либо по величине, либо по направлению, либо и по величине и по направлению. Частным случаем переменного тока является периодический ток.
Минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются мгновенные значения в том же порядке, называется периодом T с функции.
Синусоидальные токи и напряжения – это частный случай периодических токов и напряжений:
Величину обратную периоду
называют частотой:
Гц.
Периодические токи и напряжения характеризуются:
- амплитудным значением (I>m>, U>m>) – максимальным значением за период;
- средним значением (I>0 ,>, I>СР> , U>0> >,>, U>СР>)
;
- средневыпрямленным значением (I>ср. в.>, U>ср. в.>)
;
- действующим значением (I, U, Е, J).
Действующим значением
периодического тока
называется такая величина постоянного
тока, которая за период оказывает такое
же тепловое действие, что и периодический
ток.
Пусть
тогда мгновенная мощность переменного тока:
.
Энергия, выделяющаяся за период в сопротивлении
.
Пусть по тому же сопротивлению
R
протекает постоянный ток, тогда мгновенная
мощность постоянна:
.
Приравнивая энергии
и
,
получим величину постоянного тока,
оказывающего такое же тепловое действие,
что и периодический ток, т.е. действующее
значение периодического тока:
.
Аналогично записывают формулу для действующего значения напряжения.
Активная мощность Р - это среднее значение мгновенной мощности за период:
.
Наиболее распространенным периодическим током является синусоидальный ток. Это связано с тем, что периодические сигналы , встречающиеся в электротехнике, можно представить в виде суммы синусоидальных функций кратных частот (ряд Фурье) и синусоидальный режим является наиболее экономичным режимом в цепях (минимальные потери).
В стандартной форме синусоидальные токи и напряжения записывают следующим образом:
и
-
и
- амплитудные значения,
-
- называется фазой и показывает состояние,
в котором находится изменяющаяся
величина.
-
- угловая частота,
-
-
начальная фаза, т.е. фаза в момент начала
отсчета времени. На графике начальную
фазу определяют от момента перехода
синусоиды с отрицательных значений к
положительным до начала координат.
Два колебания одинаковой
частоты совпадают по фазе, если у них
одинаковые начальные фазы; сдвинуты по
фазе, если у них разные начальные фазы.
Синусоида с большей начальной фазой
опережает синусоиду с меньшей начальной
фазой. Если сдвиг фаз равен
говорят, что синусоиды в противофазе.
Если сдвиг фаз
,
то синусоиды в квадратуре.
Для синусоидальных колебаний имеем:
Интеграл от второго слагаемого =0 (см. вывод среднего значения).
В цепях синусоидального тока и напряжения мощность в каждый момент времени различна. Поэтому из равенства теплового действия выводят понятие активной мощности Р.
2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока
Пусть через каждый элемент
протекает синусоидальный ток
.
Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:
;
;
Напряжения на элементах
в цепи синусоидального тока так же
синусоидальны и имеют ту же частоту, но
другие амплитуды и начальные фазы.
Учитывая стандартную запись напряжения
,
получаем
R |
L |
C |
|
|
|
|
|
|
Напряжение на сопротивлении совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 900, напряжение на индуктивности опережает ток на 900.
Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:
;
;
.
для R
для L
для C
Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.
Так как сопротивление R
потребляет активную мощность, то его
называют активным сопротивлением.
Индуктивность и емкость активной
мощности не потребляют, поэтому их
называют реактивными сопротивлениями
и обозначают соответственно
Oм
и
Oм.
Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока – метод комплексных величин или символический метод.
3. Алгебра комплексных чисел
Комплексным числом
называют пару чисел, изображающих вектор
на комплексной плоскости. Будем изображать
комплексное число заглавной буквой с
чертой внизу ().
Вводится мнимая единица:
Комплексное число может быть представлено в разных формах:
– показательная форма:
- это вектор на комплексной плоскости,
где
- длина (модуль) вектора,
- аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают
против часовой стрелки от положительного
направления вещественной оси;
– алгебраическая форма:
– это точка на комплексной плоскости,
где
- координаты по вещественной и мнимой
осям, причем:
,
,
,
если
,
=
,
если
<
.
Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:
.
Складывать комплексные
числа предпочтительно в алгебраической
форме либо геометрически по правилу
параллелограмма:
Вычитать комплексные
числа удобно в алгебраической форме
либо геометрически по правилу
параллелограмма (вектор разности
направлен из конца вычитаемого в конец
уменьшаемого):
Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:
;
.
Комплексные числа, не
зависящие от времени, обозначают
заглавными буквами с чертой внизу:
,
а комплексно сопряженные им числа
обозначают еще и звездочкой сверху
:
это числа, у которых та же вещественная
часть, а мнимая с обратным знаком.
Комплексные числа, которые
являются функциями времени, обозначают
заглавными буквами с точкой сверху:
,
а комплексно сопряженные им числа
обозначают заглавными буквами со
звездочкой сверху
:
это числа, у которых тот же модуль, но
фаза с обратным знаком.
Так как
,
то умножить комплексное число на j
это значит, не изменяя его модуля,
увеличить фазу на 900 или
повернуть соответствующий вектор на
900 против
часовой стрелки. Разделить на j
- наоборот:
.
4. Символический метод
Пусть есть комплексное
число с линейно изменяющимся во времени
аргументом:
.
На комплексной плоскости это число
представляет неизменный по длине вектор,
вращающийся против часовой стрелки с
постоянной скоростью .
Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.
Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:
Вводят специальное обозначение (символы):
- комплекс амплитудного
значения тока или
- комплекс амплитудного
значения напряжения. Они содержат
информацию об амплитуде и начальной
фазе синусоидального колебания.
Комплекс амплитудного
значения деленный на,
дает комплекс действующего значения:
и
.
Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:
;
.
5. Законы цепей в символической форме
1. Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма
мгновенных значений токов ветвей,
сходящихся в одном узле, равна нулю..
Подставим вместо каждого
мгновенного значения тока его представление
в виде комплекса амплитудного значения,
тогда
.
Так как в любой момент
времени нулю равна сумма проекций
вращающихся векторов, следовательно,
нулю должна равняться сумма самих
вращающихся векторов, т.е. получим
.
Так как
,
то сократим на нее и получим
.
Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.
Поделив на
,
получим первый закон Кирхгофа для
комплексов действующих значений.
2. Второй закон Кирхгофа
После аналогичных преобразований получим:
или
.
Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.
Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.
Список литературы
1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.
2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н. Зуб, С.М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.
4. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофеев, С.С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.
5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.