Уравнения равновесия
Министерство образования РБ
Учреждение образования
« Гомельский Государственный
университет имени Ф. Скорины »
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Уравнения равновесия»
Исполнитель:
Студентка группы М-41 ____________ Поляк Е. М.
Научный руководитель:
Кандидат физико-математических наук
____________ Вересович П.П.
Гомель 2006
Содержание
Введение 3
Постановка задачи 4
Уравнения равновесия 5
Решение уравнений равновесия 12
Заключение 16
Список использованной литературы 17
Введение
Актуальным направлением научно-технического прогресса является развитие и широкое использование возможностей современных высокопроизводительных компьютеров, сетей мультипрограммных ЭВМ и на этой основе - применение математических методов моделирования в научных исследованиях. Развитие вычислительной техники в Республике Беларусь приводит к необходимости создания систем и сетей ЭВМ, эффективно обслуживающих запросы различных пользователей. Благодоря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ теория сетей массового обслуживания (СМО) является сравнительно новым и быстро развивающимся разделом теории массового обслуживания.
Исходным материалом для аналитического исследования СМО является стационарное (инвариантное) распределение вероятностей состояний. Ввиду сложности и многомерности случайных процессов, описывающих функционирование таких сетей, большинство аналитических результатов связано с получением стационарного распределения в форме произведения множителей, характеризующих стационарное распределение отдельных узлов сети.
Актуальным вопросом, связанным с исследованием СМО является доказательство инвариатности стационарного распределения таких сетей относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, позволяющее при проектировании и эксплуатации реальных сетей, считать, что обслуживание в узлах имеет наиболее простое для анализа распределение - экспоненциальное.
Постановка задачи
Сеть
состоит из двух приборов, на каждый из
которых поступает простейший поток с
параметрами
и
соответственно. В случае, если прибор
занят, заявка, поступающая на него
выбивает заявку находящуюся на приборе,
и та становится в очередь на дообслуживание.
После обслуживания на I приборе заявка
с вероятностью
уходит из сети, а с вероятностью
поступает на II прибор. Аналогично, после
обслуживания на II приборе заявка с
вероятностью
уходит из сети, а с вероятностью
поступает на I прибор.
Пусть
- число заявок в очереди на I приборе,
- число заявок в очереди на II приборе,
- функция распределения времени
обслуживания
-ой
заявки на I приборе,
- функция распределения времени
обслуживания
-ой
заявки на II приборе. Предполагается,
что
=
=
Требуется
доказать, что стационарное распределение
не зависит от вида функций распределения
времени обслуживания
.
При этом можно считать, что
,
где
,
,
т.е.
когда
- экспоненциальны.
Уравнения равновесия
Введем случайный процесс
,
где
- число заявок в очереди на I приборе в
момент времени
,
- число заявок в очереди на II приборе в
момент времени
,
-время, которое еще будет дообслуживаться
заявка с момента
,
стоящая i-ой в очереди I прибора,
-время, которое еще будет дообслуживаться
заявка с момента
,
стоящая j-ой в очереди II прибора.
Пусть
существует стационарное эргодическое
распределение процесса
и процесса
,
т.к. процесс
- это процесс
,
дополненный непрерывными компонентами
до того, чтобы быть марковским.
Изучим
поведение процесса
в устойчивом режиме. Пусть
Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что
а)
Предположим, что за время от
до
не было поступления требований. Тому,
чтобы
не изменило за время
своего значения и при этом выполнилось
событие А, отвечает выражение:
б)
Тому, что за время от
до
на 1-ом приборе обслужена заявка и ушла
из сети, отвечает слагаемое:
Тому,
что за время от
до
на 2-ом приборе обслужена заявка и ушла
из сети, отвечает слагаемое:
в)
Тому, что за время от
до
на 1-ый прибор поступила заявка. Количество
времени на дообслуживание этой заявки
должно быть не больше, чем
,
где
- определяется моментом поступления
заявки внутри интервала
.
Этому случаю отвечает слагаемое:
Тому,
что за время от
до
на 2-ой прибор поступила заявка. Количество
времени на дообслуживание этой заявки
должно быть не больше, чем
,
где
- определяется моментом поступления
заявки внутри интервала
.
Этому случаю отвечает слагаемое:
г)
Если в интервале
заявка окончила свое обслуживание на
I приборе и перешла на II, то время на ее
дообслуживание II прибором должно быть
не больше, чем
,
где
- определяется моментом поступления
заявки внутри интервала
.
Если
в интервале
заявка окончила свое обслуживание на
II приборе и перешла на I, то время на ее
дообслуживание I прибором должно быть
не больше, чем
,
где
- определяется моментом поступления
заявки внутри интервала
.
Наконец,
остальные случаи, благодаря событию А
сводятся к тому, что за время
либо поступало, либо обслужено более
одной заявки, или заявки поступали и
обслуживались. Для простейшего входящего
потока вероятность поступления двух и
более заявок за время
есть
.
Если же мы будем рассматривать слагаемые,
соответствующие возможности окончания
обслуживания в сочетании с поступлением
заявок, то, очевидно, что эти слагаемые
есть
.
Таким образом, приходим к следующим
соотношениям:
Вводя обозначение
и учитывая, что
,
последнее соотношение перепишется в виде
Рассматривая
все слагаемые в последнем соотношении
как сложные функции от
,
разлагаем их в ряд Тейлора в окрестности
0 с остаточным членом в форме Пеано:
.
После
чего приводим подобные слагаемые и
устремляем
к
.
Тогда вводя обозначение
и учитывая, что
,
,
,
получаем,
что свободные члены сократились, а
слагаемые, содержащие своим сомножителем
образуют уравнениям равновесия.
Таким образом, приходим к уравнениям равновесия:
.
Решение уравнений равновесия
Покажем,
что
удовлетворяет нашим уравнениям
равновесия, где
- решение для случая, когда
и
- экспоненциальны, т.е.
,
.
Для
этого распишем все частные производные
функции
.
.
С
учетом вида функции
уравнения равновесия перепишутся в
виде
.
Подставив
в это уравнение и, учитывая, что
приходим к выводу, что функция
.
есть неотрицательное, абсолютно-непрерывное решение исходных уравнений равновесия.
Отсюда
следует, что стационарное распределение
не зависит от вида функций распределения
времени обслуживания
и
,
поскольку
,
при этом можно считать, что
,
где
,
,
т.е.
когда
и
- экспоненциальны.
Заключение
Таким
образом, для рассматриваемой сети
массового обслуживания установлена
инвариантность стационарного распределения
относительно функционального вида
распределений длительности обслуживания
в узлах, т.е. установили, что стационарное
распределение
не зависит от вида функций распределения
времени обслуживания
и
,
если известно, что для них выполняется
следующие ограничения:
=
=
При
этом, можно считать, что функции
распределения времени обслуживания
и
имеют экспоненциальный вид.
Список использованной литературы
1. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А.//Теория массового обслуживания: Учебное пособие по спецкурсу.-Гродно: 1984г.-108с.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. // Введение в теорию массового обслуживания.-Москва: Наука. 1966г.-432с.