Разработка программы определительных испытаний

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тольяттинский филиал Московского государственного университета пищевых производств

Кафедра Менеджмента пищевых производств

Курсовая работа

по дисциплине «Методы и средства измерений, испытаний и контроля»

на тему «Разработка программы определительных испытаний»

Студентка группы:

Преподаватель:

Тольятти 2008

Содержание

Введение

1 Разработка программы испытаний

1.1Общие положения

1.2 Объект испытаний

1.3 Цель испытаний

1.4 Место проведения и обеспечения испытаний

1.5 Объем и методика испытаний

1.6 Обработка результатов испытаний

1.6.1 Постановка задачи

1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки

1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

1.6.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

1.6.6 Протокол испытаний

2 Пример обработки результатов испытаний для восстанавливаемого объекта испытаний

2.1 Постановка задачи

2.2 Вычисление основных характеристик выборки

2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

Заключение

Список использованных источников

Введение

Испытанием – это экспериментальное определение количественных и качественных характеристик свойств объекта как результата воздействия на него при его функционировании или моделировании.

Испытания опытных образцов, установочных и первых промышленных партий, контрольные периодические испытания серийной продукции – это основа построения всей системы разработки и постановки продукции на производство.

Постоянное повышение требований к качеству выпускаемой продукции, рост сложности современной техники, создание новых видов продукции с использованием последних достижений науки и техники определили значительное расширение видов испытаний, увеличение их сложности и трудоемкости.

Испытания являются неотъемлемой частью взаимоотношений заказчика и изготовителя продукции, предприятия-изготовителя конечной продукции и предприятий-смежников, поставщика и потребителя при внутреннем и международном товарообмене.

Все испытания по своему назначению разделяют на четыре группы: исследовательские, контрольные, сравнительные и определительные.

Целью данной курсовой работы является определение реального уровня надежности выбранного объекта испытаний – электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40, предназначенный для привода различных бытовых приборов.

1. Разработка программы испытаний

Программа испытаний – это обязательный для выполнения организационно-методический эксперимент.

Программа устанавливает цели испытаний, объект испытаний, объем и методику проводимых экспериментов, порядок, условия, место и сроки проведения испытаний, ответственность за обеспечение и проведение испытаний, ответственность за оформление протоколов и отчетов по испытаниям.

Немаловажную роль в программе испытаний играет план проведения испытаний. В плане указываются работы необходимые для проведения испытаний, изготовления образцов, приемка образцов, измерение и определение параметров образцов объекта испытаний, подготовка испытательного оборудования, оформление результатов испытаний, согласование утверждения протокола испытаний и др.

Основной задачей определительных испытаний является определение характеристик изделия или материала. Существенным является правильно сформулировать цели испытания.

Цель испытания раскрывает его назначение, которое должно отображаться в наименовании испытаний.

1.1 Общие положения

Настоящая программа испытаний составлена на основании следующих нормативно-технических документов:

- ГОСТ 27.410-87 «Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний на надежность»;

- ГОСТ 11828-86 «Машины электрические вращающиеся. Общие методы испытаний»;

- ГОСТ 10159—79 «Машины электрические вращающиеся коллекторные. Методы испытаний»

1.2 Объект испытаний

Главным признаком объекта испытаний является то, что по результатам его испытаний принимается то или иное решение, а именно его годность или выбраковывание, предъявление на следующие испытания, возможность серийного выпуска и т.д.

Объектом испытаний является электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.

Таблица 1 – Габаритные установочные и присоединительные размеры электродвигателей

№

Наименование параметра

Тип двигателя

ДК 60 - 40 - 15 УХЛ4

1

Напряжение питания, В

220±22

2

Частота питания, Гц

50±1

3

Вращаюший момент, Нхм

0,026±0,003

4

Частота вращения, об./мин.

+3000

15000

-1500

5

Ток, А не более

0,48

6

Коэффициент полезного действия, %

45 -6,8

7

Масса двигателя, кг не более

0,35

8

Lmax, мм

90

9

L1, мм

19,5

10

L2, мм

4,5+0,5

11

d, мм

4-0,012

12

Средняя наработка до отказа, не менее, ч

100

13

Средний срок службы двигателя, не менее, лет

10

Электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40 применяется для привода кофемолок и других бытовых приборов.

1.3 Цель испытаний

Целью испытаний является определение фактических показателей надежности объекта исследования, таких как: среднее время безотказной работы T (средняя наработка до отказа), вероятность безотказной работы объекта в течение времени P(t), вероятность отказа Q(t), плотность распределения времени до отказа f(t), интенсивность отказа λ(t) в момент времени t.

1.4 Место проведения и обеспечение испытаний

Испытательный центр ОАО «ПЭМЗ», аккредитованный Федеральным агентством ​по техническому регулированию и метрологии для проведения испытаний ​с целью сертификации.

1.5 Объем и методика испытаний

Испытания проводятся по плану [NUN], согласно которому испытывают одновременно N=100 объектов, отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло N=100.

1.6 Обработка результатов испытаний

1.6.1 Постановка задачи

Требуется определить показатели надежности объекта испытаний по опытным данным определительных испытаний.

На испытания поставлено N = 100 объектов. Моменты отказов объекта испытаний представлены в таблице 2. Все объекты работают до своего отказа и после отказа не ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели надежности объекта: T, P(t), Q(t), f(t), λ(t).

Таблица 2 – Моменты отказов объектов, в часах

350

244

69

234

145

196

389

23

251

127

226

118

219

204

120

180

406

182

74

240

206

257

181

104

130

341

245

9

226

161

147

71

219

361

162

112

67

182

34

76

143

60

119

190

281

437

226

307

41

148

228

37

296

51

254

44

190

143

795

117

191

14

392

157

16

203

89

346

303

40

377

319

258

37

68

235

385

128

111

640

136

224

174

601

35

71

345

132

197

35

331

83

97

178

328

194

110

120

106

109

1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности является: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшие и наибольшие значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.

Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например А1:J10.

Значения вычисляемых характеристик будет располагаться в ячейках F12 по F19.

Таблица 3 – Расчет выборочных характеристик

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

99

91

104

114

97

91

99

101

99

95

2

109

98

119

84

102

120

107

97

110

102

3

88

99

99

104

103

110

96

85

109

89

4

79

100

111

103

89

92

109

99

91

86

5

100

90

102

91

89

95

98

87

117

100

6

95

98

97

107

90

112

85

101

94

87

7

99

93

104

90

90

109

89

95

102

88

8

100

98

93

104

107

98

104

112

100

105

9

115

113

94

110

93

94

82

100

94

102

10

90

94

102

110

90

99

93

87

115

97

11

12

Выборочное среднее

98,68

13

Выборочная дисперсия

76,86626

14

Выборочное ср. квадр. отклонение 

8,767341

15

Наименьшее значение 

79

16

Наибольшее значение 

120

17

Размах выборки 

41

18

Асимметрия 

0,282254

19

Эксцесс 

-0,38419

Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:

- выборочное среднее F12 = СРЗНАЧ (A1:J10);

- выборочная дисперсия F13 = ДИСП (A1:J10);

- выборочное среднее квадратическое отклонение

F14 = СТАНДОТКЛОН (A1:J10) или F14 = КОРЕНЬ (F13);

- Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:J10);

- Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:J10);

- Размах выборки: F17 = F16-F15;

- Асимметрия: F18 = СКОС(A1:J10);

- Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:J10).

1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Числовая ось при этом разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее – в большую сторону до «хороших» чисел х>min> и х>max>;

выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству; иногда оно определяется по формуле k=[5lg n]. Если объем выборки n=100, то k=10;

находится шаг по формуле:

,

где R = х>max> - х>min> – длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

определяются границы частичных интервалов:

а>0> = х>min>, а>1> = а>0> + h, a>2> = a>1> + h, … , a>k> = a>k>>-1> + h = х>max>;

в каждом интервале вычисляются средние значения

;

для каждого интервала [a>i>>-1>,a>i>], i = 1,2, …,k находятся:

– частоты n>i>, т.е. число выборочных значений, попавших в интервал;

– относительные частоты ;

– накопленные частоты w>i> = n>1> + n>2> + … + n>i>;

– накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 2) результаты группировки представим в таблице 4. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:

А22 = 100, В22 = 120, С22 = 70, D22 = B22 – C22, E22 = 10, F22 = D22/E22.

В ячейках А24:H24 укажем заголовки будущей таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить соответствующими формулами, представленными выше, для определения границ интервалов. Колонку D заполним по формуле: D30 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.

Таблица 4 – Группировка статистических данных

A

B

C

D

E

F

G

H

n

Xmax

Xmin

R

k

h

22

100

120

70

50

10

5

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

24

Группа

Левая граница

Правая граница

Середина

Частота

Относ. частота

Накоп. частота

Накоп. относ. частота

25

1

70

75

72,5

0

0

0

0

26

2

75

80

77,5

1

0,01

1

0,01

27

3

80

85

82,5

4

0,04

5

0,05

28

4

85

90

87,5

16

0,16

21

0,21

29

5

90

95

92,5

18

0,18

39

0,39

30

6

95

100

97,5

24

0,24

63

0,63

31

7

100

105

102,5

16

0,16

79

0,79

32

8

105

110

107,5

11

0,11

90

0,9

33

9

110

115

112,5

7

0,07

97

0,97

34

10

115

120

117,5

3

0,03

100

1

Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:J10; C25:C34)}

Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.

Колонку F заполним с помощью формулы:

F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34

Колонку G заполним с помощью формулы:

G25 = E25, G26 = G25 + E26, с последующим копированием в ячейки G32:G39

Колонку H заполним с помощью формулы:

H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34

Данные, собранные в таблице 4 наглядно представим с помощью:

полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 1).

Рисунок 1 – Полигон частот

кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 2).

Рисунок 2 – Кумулята частот

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).

Определим параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2;

B9 = B2;

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2.

Таблица 5 – Значения плотностей распределения

A

B

C

D

E

1

Матем. ожидание

Ср. кв. отклон.

 

 

 

2

98,68

8,767340682

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

Параметры экспоненциального распределения

 

 

 

5

λ

0,0101

 

 

 

6

 

 

 

 

 

7

Параметры нормального распределения

 

 

 

8

m

98,6800

 

 

 

9

σ

8,767340682

 

 

 

10

 

 

 

 

 

11

Параметры гамма-распределения

 

 

 

12

α

126,6842

 

 

 

13

β

0,7789

 

 

 

14

 

 

 

 

 

15

Середина

Плотность относит. частот

Плотность экспоненц. распред.

Плотность нормал. распред.

Плотность гамма- распред.

16

72,5000

0

0,0049

0,0005

0,0003

17

77,5000

0,002

0,0046

0,0025

0,0019

18

82,5000

0,008

0,0044

0,0083

0,0080

19

87,5000

0,032

0,0042

0,0202

0,0213

20

92,5000

0,036

0,0040

0,0355

0,0374

21

97,5000

0,048

0,0038

0,0451

0,0456

22

102,5000

0,032

0,0036

0,0414

0,0399

23

107,5000

0,022

0,0034

0,0274

0,0259

24

112,5000

0,014

0,0032

0,0131

0,0128

25

117,5000

0,006

0,0031

0,0045

0,0049

В ячейках В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.

Плотности экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:

С16 = ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);

D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);

E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).

Затем копируем их в блок ячеек С17:Е25.

После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 3- 5.

Рисунок 3 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения

Рисунок 4 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рисунок 5 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются нормальному распределению.

Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты n>i>, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:

,

где p>i> – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a>i>>-1>,a>i>].

Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому p>i> = F(a>i>) – F(a>i>>-1>).

Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.

Для экспоненциального распределения:

D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А31; $B$5; ИСТИНА);

Для нормального распределения:

D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А40; $B$8; $B$9; ИСТИНА);

Для гамма-распределения:

D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А49; $B$12; $B$13$ ИСТИНА).

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:

Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:

Е38 = СУММ(E34:E39);

Е47 = СУММ(E42:E47);

Е56 = СУММ(Е50:Е55).

Которые равны соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2>выч> достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2>кр>, которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1. где k’ – количество интервалов после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.

В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 2

Критическое значение рассчитывается по формуле:

Е57 = ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.

Поскольку 5,2199<9,4877, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрами α = = 98,68 и σ = 8,7673 соответственно.

Таблица 6 – Подбор распределения на основе критерия χ2

А

B

С

D

E

29

Левая граница

Правая граница

Частота

Вероятности

χ²

30

 

 

 

Экспоненциальное распределение

 

31

70

85

5

0,069374468

0,5411

32

85

90

16

0,020878363

92,7028

33

90

95

18

0,019846835

129,2349

34

95

100

24

0,018866271

259,1934

35

100

105

16

0,017934153

112,5378

36

105

110

11

0,017048088

50,6805

37

110

120

10

0,031610928

14,7957

38

Сумма

659,6862

39

 

 

 

Нормальное распределение

 

40

70

85

5

0,058804812

0,1318

41

85

90

16

0,101737571

3,3365

42

90

95

18

0,176260064

0,0079

43

95

100

24

0,222500256

0,1376

44

100

105

16

0,204663183

0,9747

45

105

110

11

0,137173828

0,5383

46

110

120

10

0,090811892

0,0930

47

Сумма

5,2199

48

 

 

 

Гамма-распределение

 

49

70

85

5

0,053672643

0,0251

50

85

90

16

0,107072418

2,6163

51

90

95

18

0,185399233

0,0157

52

95

100

24

0,224931406

0,1009

53

100

105

16

0,197757868

0,7209

54

105

110

11

0,129724735

0,2999

55

110

120

10

0,090713209

0,0951

56

Сумма

3,8740

57

Критическое значение критерия

9,4877

1.6.5 Определение характеристик надежности системы

После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим характеристики надежности системы. Ббыло установлено, что случайная величина имеет плотность распределения вероятностей:

Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются вероятность безотказной работы, и вероятность отказа в течение времени t.

Данные характеристики вычисляются по формулам:

В64 = 1 - НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ИСТИНА);

С64 = 1 - В64;

Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:

D64 = НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ЛОЖЬ);

E64 = D64/B64.

Далее скопируем формулы в ячейки В64:В74, С64:С74, D64:D74, E64:E74 соответственно.

В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 7) и построены их графики (рисунки 6,7,8).

Таблица 7 – Значения показателей надежности объекта испытаний

А

B

C

D

E

63

t

P(t)

Q (t)

f (t)

λ (t)

64

63,611

1,000

0,000

0,000

0,000

65

74,000

0,998

0,002

0,001

0,001

66

84,000

0,953

0,047

0,011

0,012

67

94,000

0,703

0,297

0,039

0,056

68

104,000

0,272

0,728

0,038

0,139

69

114,000

0,040

0,960

0,010

0,245

70

124,000

0,002

0,998

0,001

0,363

71

134,000

0,000

1,000

0,000

0,485

Рисунок 6 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа

Рисунок 7 – График плотности распределения вероятности

Рисунок 8 – График интенсивности отказа

1.6.6 Протокол испытаний

ИСПЫТАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР «ПЭМЗ-электро»

аттестат № РОСС RU.0004.13ЛРН02

445030. Тольятти, ул. Свердлова 19

телефон (8482) 33-77-88

e-mail: pemz-elektro@tlt.ru

ПРОТОКОЛ ИСПЫТАНИЙ № 13

ЗАКАЗЧИК:

ОАО «Старт», 445028, г. Тольятти, ул. Революционная 72а.

ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПРОДУКЦИИ:

ООО «Электротех», г. Самара, ул. Новосадовая 3.

ВИД ИСПЫТАНИЯ:

Определение фактических показателей надежности электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИЙ:

10.09.2008 г. – 25. 12. 2008 г.

ДОГОВОР №:

По заявке от 01.09.2008 г.

ТЕКСТ: 2 стр.

ЦЕЛЬ ИСПЫТАНИЯ:

Определение реального уровня надежности у предъявляемых объектов по опытным данным определительных испытаний.

ОТБОР ОБРАЗЦОВ:

Дата отбора: 15.09.2008 г.

Место отбора: склад

Другие сведения: отбор образцов и их подготовка к испытаниям по ГОСТ Р 11828-86.

ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ:

Вид продукции: электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.

Другие сведения: средняя наработка до отказа не менее 90 ч.

МЕТОДИКА ИСПЫТАНИЙ:

Испытания проводились по плану [NUN], согласно которому испытывались одновременно 100 объектов, отказавшие во время испытаний объекты не подлежали восстановлению и не заменялись, испытания прекращались, когда число отказавших объектов достигло также 100.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ:

Значения показателей надежности объекта испытаний приведены в таблице.

t

P(t)

Q (t)

f (t)

λ (t)

63,611

1,000

0,000

0,000

0,000

74,000

0,998

0,002

0,001

0,001

84,000

0,953

0,047

0,011

0,012

94,000

0,703

0,297

0,039

0,056

104,000

0,272

0,728

0,038

0,139

114,000

0,040

0,960

0,010

0,245

124,000

0,002

0,998

0,001

0,363

134,000

0,000

1,000

0,000

0,485

Заключение: Результаты испытаний: электродвигатели соответствуют требованиям по средней продолжительности горения.

Руководитель ИЦ «ПЭМЗ-электро» Д.В. Айдаров

Руководитель группы испытаний ИЦ «ПЭМЗ-электро» А. А. Телепова

2. Пример обработки результатов испытаний для невосстанавливаемого объекта испытаний

Постановка задачи

На испытаниях находится N = 56 объектов с восстановлением. В течение периода Т = 600 часов регистрируются моменты времени отказов элементов (таблица 8). Предполагается, что отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности элементами. Требуется определить показатели надежности элемента, характеризующие время его работы между соседними отказами: Т, P(t), Q(t), f(t), λ(t).

Испытания проводятся по плану [NRT], согласно которому одновременно начинают испытания N=56 объектов, отказавшие во время испытаний объекты заменяют новыми, испытания прекращают при истечении времени испытаний или наработки T.

Обработка статистических данных предусматривает их группировку в 10 частичных интервалах (классах). Уровень значимости принять равным 0,05.

Таблица 8 – Время между отказами элементов

Номер элемента

Моменты отказа на периоде времени 600 часов

1

104; 93; 107; 118; 89; 86

2

86; 98; 116; 82; 110; 103

3

106; 112; 94; 83; 98; 91

4

94; 106; 102; 107; 89; 91

5

117; 96; 103; 117; 83

6

94; 92; 107; 108; 106

7

90; 96; 84; 107; 99; 99

8

104; 106; 99; 103; 94; 82

9

99;95; 106; 119; 111

10

109; 118; 104; 95; 98

2.2 Вычисление основных характеристик выборки

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Значения вычисляемых характеристик расположим в ячейках с F12 по F19, как показано в таблице 9.

Таблица 9 – Расчет выборочных характеристик

A

B

C

D

E

F

1

104

93

107

118

89

86

2

86

98

116

82

110

103

3

106

112

94

83

98

91

4

94

106

102

107

89

91

5

117

96

103

117

83

 

6

94

92

107

108

106

 

7

90

96

84

107

99

99

8

104

106

99

103

94

82

9

99

95

106

119

111

 

10

109

118

104

95

98

 

11

 

 

 

 

 

 

12

Выборочное среднее

 

 

100,0892857

13

Выборочная дисперсия

 

 

100,7373377

14

Выборочное ср. квадр. отклонение

 

10,03679917

15

Наименьшее значение

 

 

82

16

Наибольшее значение

 

 

119

17

Размах выборки

 

 

 

37

18

Асимметрия

 

 

 

0,012585618

19

Эксцесс

 

 

 

 

-0,711512555

Вычислим числовые характеристики выборочной совокупности по формулам:

Выборочное среднее: F12 = CРЗНАЧ(A1:F10);

Выборочная дисперсия: F13 = ДИСП(A1:F10);

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

F14 = СТАНДОТКЛОН(A1:F10);

Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:F10);

Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:F10);

Размах выборки: F17 = F16-F15;

Асимметрия: F18 = СКОС(A1:F10);

Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:F10).

2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Группировка данных производится в той же последовательности, что и в пункте 1.6.2 данной работы.

Для выборочной совокупности (таблица 8) результаты группировки представим в таблице 10. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:

А22 = 56, В22 =120, С22 = 80, D22 = B22 – C22, E22 =10, F22 = D22/E22

В этой таблице колонки В и С заполним левыми и правыми границами соответственно. Колонку D заполним по формуле:

D25 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.

Таблица 10 – Группировка статистических данных

A

B

C

D

E

F

G

H

21

n

Xmax

Xmin

R

k

h

 

 

22

56

120

80

40

10

4

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

24

Группа

Левая граница

Правая граница

Середина

Частота

Относ. частота

Накоп. частота

Накоп. относ. частота

25

1

80

84

82

5

0,0892

5

0,0892

26

2

84

88

86

2

0,0357

7

0,125

27

3

88

92

90

6

0,1071

13

0,2321

28

4

92

96

94

9

0,1607

22

0,3928

29

5

96

100

98

7

0,125

29

0,5178

30

6

100

104

102

7

0,125

36

0,6428

31

7

104

108

106

10

0,1785

46

0,8214

32

8

108

112

110

4

0,0714

50

0,8928

33

9

112

116

114

1

0,0178

51

0,9107

34

10

116

120

118

5

0,0892

56

1

Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:F10; C25:C34)}

Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.

Колонку F заполним с помощью формулы:

F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34

Колонку G заполним с помощью формулы:

G25 = E25, G26 = G25 + E26 с последующим копированием в ячейки G27:G34

Колонку H заполним с помощью формулы:

H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34

Данные, собранные в таблице 10 наглядно представим с помощью:

полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 9).

Рисунок 9 – Полигон частот

кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 10).

Рисунок 10 – Кумуляты частот

2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).

Определим параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, , , ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);

B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2;

B16 = (A2/B2)^2;

B17 = B2^2/A2.

Таблица 11 – Значения плотностей распределения

A

B

C

D

E

F

1

Матем. ожидание

Ср. кв. отклон.

2

100,0892

10,0367

3

 

 

4

Параметры экспоненциального распределения

5

λ

0,0100

6

 

 

7

Параметры равномерного распределения

8

а

82,7050

9

b

117,4735

10

 

 

11

Параметры нормального распределения

12

m

100,0893

13

σ

10,0367

14

 

 

15

Параметры гамма-распределения

16

α

99,4454

17

β

1,0065

18

 

 

19

Середина

Плотность относит. частот

Плотность экспоненц. распред.

Плотность нормал. распред.

Плотность гамма- распред.

Плотность равномер. распред.

20

82

0,0223

0,0044

0,0078

0,0076

0

21

86

0,0089

0,0042

0,0148

0,0156

0,0287

22

90

0,0267

0,0041

0,0240

0,0257

0,0287

23

94

0,0401

0,0039

0,0331

0,0349

0,0287

24

98

0,0312

0,0038

0,0389

0,0397

0,0287

25

102

0,0312

0,0036

0,0390

0,0383

0,0287

26

106

0,0446

0,0035

0,0334

0,0317

0,0287

27

110

0,0178

0,0033

0,0244

0,0229

0,0287

28

114

0,0044

0,0032

0,0152

0,0145

0,0287

29

118

0,0223

0,0031

0,0081

0,0081

0

В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.

Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:

С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);

D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);

E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).

F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));

Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.

После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.

Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения

Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты n>i>, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:

,

где p>i> – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a>i>>-1>,a>i>].

Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому p>i> = F(a>i>) – F(a>i>>-1>).

Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.

Для экспоненциального распределения:

D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А35; $B$5; ИСТИНА);

Для равномерного распределения:

D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8; 0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0; ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));

Для нормального распределения:

D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А45; $B$12; $B$13; ИСТИНА);

Для гамма-распределения:

D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А55; $B$16; $B$17; ИСТИНА).

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:

Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:

Е43 = СУММ(E35:E42);

Е53 = СУММ(E45:E52);

Е63 = СУММ(Е55:Е62);

Е73 = СУММ(Е65:Е72).

Которые равны соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2>выч> достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2>кр>, которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1.

где k’ – количество интервалов после объединения;

s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.

В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 5

Критическое значение рассчитывается по формуле:

Е74 = ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.

Поскольку 16,7324<16,7496, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.

Таблица 12 – Подбор распределения на основе критерия χ2

А

B

С

D

E

33

Левая граница

Правая граница

Частота

Вероятности

χ²

34

 

 

 

Экспоненциальное распределение

 

35

80

84

5

0,0176

16,3293

36

84

92

8

0,0331

20,2945

37

92

96

9

0,01562

75,4446

38

96

100

7

0,01501

45,1229

39

100

104

7

0,01442

47,4663

40

104

108

10

0,01385

109,6166

41

108

116

5

0,02611

8,5589

42

116

120

5

0,01229

27,0014

43

Сумма

349,8344

45

 

 

 

Нормальное распределение

 

46

80

84

5

0,0317

5,8201

47

84

92

8

0,1556

0,0590

48

92

96

9

0,1317

0,3576

49

96

100

7

0,1546

0,3175

50

100

104

7

0,1551

0,3280

51

104

108

10

0,1331

0,8698

52

108

116

5

0,1588

1,7057

53

116

120

5

0,03281

5,4419

54

Сумма

14,8995

55

 

 

 

Гамма-распределение

 

56

80

84

5

0,0310

6,1243

57

84

92

8

0,1652

0,1697

58

92

96

9

0,1388

0,1927

59

96

100

7

0,1576

0,3788

60

100

104

7

0,1522

0,2729

61

104

108

10

0,1265

1,1969

62

108

116

5

0,1497

1,3685

63

116

120

5

0,03281

5,4421

64

Сумма

15,1459

65

 

 

 

Равномерное распределение

 

66

80

84

5

0,03727

4,0719

67

84

92

8

0,2300

1,8522

68

92

96

9

0,1150

1,0151

69

96

100

7

0,1150

0,0482

70

100

104

7

0,1150

0,0482

71

104

108

10

0,1150

1,9643

72

108

116

5

0,2300

4,8254

73

116

120

5

0,0423

2,9070

74

Сумма

16,7324

75

Критическое значение критерия

16,74960237

2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим показатели надежности объекта.

Таким образом, было установлено, что случайная величина принадлежит множеству с плотностью распределения вероятностей:

Найдем основными показатели надежности. Они вычисляются по формулам:

В78 = ($B$6-А50)/($B$6-$B$5);

С78 = 1 – В78;

Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:

D78 = 1/($B$9-$B$8);

E78 = D78/B78.

Далее скопируем формулы в ячейки В79:В84, С79:С84, D79:D84, E79:E84 соответственно.

В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 13) и построены их графики (рисунки 14,15,16).

Таблица 13 – Значения показателей надежности объекта испытаний

А

B

C

D

E

78

82,7050

1

0

0,028761673

0,028761673

79

88

0,847708081

0,152291919

0,028761673

0,033928747

80

93

0,703899717

0,296100283

0,028761673

0,040860469

81

98

0,560091352

0,439908648

0,028761673

0,051351753

82

103

0,416282988

0,583717012

0,028761673

0,069091636

83

108

0,272474623

0,727525377

0,028761673

0,105557253

84

113

0,128666259

0,871333741

0,028761673

0,223537026

85

Рисунок 14 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа

Рисунок 15 – График плотности распределения вероятности

Рисунок 16 – График интенсивности отказа

Заключение

Поставленные перед нами цели курсовой работы по определению фактических показателей надежности невосстанавливаемого объекта испытания – электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40 – выполнены.