Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"
МИНСК, 2008
Метод статистической линеаризации
Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида
,
(1)
используется два критерия эквивалентности.
Рис.1.
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:
;
(2)
,
(3)
где─
математическое ожидание процесса на
выходе НЭ;
─ центрированная случайная составляющая.
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:
,
(4)
где
─ коэффициент передачи линейного
эквивалента по математическому ожиданию;
─ коэффициент передачи по центрированной
случайной составляющей.
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:
.
(5)
Из этих уравнений находим
;
,
где
─ плотность вероятности процесса на
входе нелинейного элемента.
- коэффициент передачи линейного
эквивалента по центрированной случайной
составляющей (по первому критерию).
По второму критерию эквивалентности:
;
;
;
;
Для определения
и
,
при которых выполняется условие
эквивалентности, найдем частные
производные и приравняем их нулю:
;
;
;
.
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
;
Определив величины
;
.
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)
Рис.2. Характеристика релейного типа:
;
коэффициенты равны:
;
;
;
Метод гармонической линеаризации
Основы метода.
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).
Рис.3. Модель нелинейной системы.
Уравнение линейной части:
,(6)
При возникновении автоколебаний
процесс
на выходе линейной части не является
строго гармоническим, но мы будем
полагать, что линейное звено является
фильтром нижних частот и подавляет все
гармоники, за исключением первой. Это
предположение называется гипотезой
фильтра. Если она не подтверждается, то
ошибки при применении гармонической
линеаризации могут быть значительными.
.
Пусть
;
.
(7)
Представим
в виде ряда Фурье:
;
(8)
Полагаем, что
.
Это справедливо, если
симметрична относительно начала
координат и отсутствует внешнее
воздействие. Полагая, что высшие гармоники
подавляются, будем искать только
и
Из уравнения (7) находим:
;
.
(9)
Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:
(10)
где
(11)
Таким образом, нелинейное
уравнение для
заменили приближенным линейным уравнением
(11) для первой гармоники.
и
называют гармоническими коэффициентами
передачи нелинейного звена. Коэффициенты
и
в рассматриваемом случае зависят от
амплитуды, при более сложной нелинейной
зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:
;
;
где
─ эквивалентная передаточная функция
нелинейно - го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
.
Характеристическое уравнение
.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
.
Фазочастотная характеристика
;
(
)
Модуль определяет отношение
амплитуд, а
фазовый сдвиг на выходе относительно
входного сигнала.
Если
симметрична относительно начала
координат, однозначна и не имеет
гистерезиса, то
и тогда
.
Часто при анализе используется
величина обратная
.
Она называется гармоническим импедансом
нелинейного звена:
.
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.
Тогда искомое колебание
.
При нелинейной зависимости
вида
передаточную функцию разомкнутой
системы можно представить в виде
.
(12)
Э
то
уравнение решается графическим методом
(рис.5).
Строим амплитудно-фазовую
характеристику линейного звена и кривую
импеданса нелинейного звена. Определяем
точку пересечения. Частоту
определим по АФХ линейного звена в точке
пересечения. Амплитуду А определим по
кривой импеданса нелинейного звена.
Чтобы определить являются
ли колебания устойчивыми автоколебаниями,
нужно задать приращение амплитуды
;
при этом точка на импедансе смещается
влево вниз. Это будет соответствовать
уменьшению
,
следовательно, кривая годографа ПФ
разомкнутой системы не будет охватывать
точку с координатами
.
Поэтому амплитуда колебаний начнет
уменьшаться, и система вернется в
исходное состояние. То же будет и при
отрицательном приращении.
Критерий устойчивости
периодического режима сводится к тому,
чтобы часть кривой
соответствующая
меньшим амплитудам, охватывалась
амплитудно-фазовой характеристикой
линейной части.
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости
равновесного состояния (отсутствия
автоколебаний): при устойчивой или
нейтральной в разомкнутом состоянии
линейной части её АФХ не охватывает
годограф
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.