Математические основы теории систем (работа 1)
Саратовский Государственный Технический Университет
Балаковский Институт Техники Технологии и Управления
Кафедра:
Специальность:
Курсовая работа
МОТС
Выполнил:
Принял:
Балаково 2009г.
I-часть
Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф.
Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления.
Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ.
Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления.
II-часть.
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se,Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра y(р)
Задание3: Представить объект управления в виде
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(t) X(t) Y(t)
и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.
Задание4: Сделать вывод по работе.
I-часть
Данные
-
R1
R2
R3
R4
L1
L2
C2
I2
Ом
Гн.
10-6Ф
?
328
395
118
215
24
24
19605
L1 e(t) L2
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
Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
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
В схеме три элемента, запасающих энергию:
,
следовательно, математическая модель
должна быть третьего порядка.
2. Построение математической модели.
Задаемся направлением контурных токов
.
Составляем три уравнения по второму
закону Кирхгофа для контуров:
(1)
(2)
(3)
В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:
(3*)
В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные,
в качестве
выбираем элементы с производными и
производные берем на порядок ниже:
(4)
(5)
(6)
Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:
В полученных уравнениях имеется шесть
переменных
.
Необходимо уйти от
,
выразив их через
Из выражения (1) выразим
:
Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.
Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:
Получим матричное уравнение для выходной переменной:
Построение сигнального графа.
Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:
Построение графа произведем в два шага:
Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы
и векторы параметров
Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.
Построим
структурную схему.
e
X >3> X
>3> X >2> X
>2> i>2>
X >1> X >1>
Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.
k-количество возможных путей от входа к выходу
-определитель
графа
P>k>-коэффициент передачи k пути от входа к выходу
-определитель
всех касающихся контуров при удалении
k-ого пути
=1-(сумма
коэффициентов передачи всех отдельных
контуров)+(сумма всевозможных произведений
из двух некасающихся контуров) - (сумма
всевозможных комбинаций из трех
некасающихся контуров)+…+…
Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона:
В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:
В системе имеется 4 замкнутых контуров:
Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L>1>,L>2>; L>1>,L>4>
Количество
сомножителей равно количеству прямых
путей. Выражение для
записывается как выражение для
,
но разрываются контуры, через которые
проходит прямой путь P>i>.
Сомножитель
для первого пути. При размыкании первого
пути 2 контура размыкаются, кроме L>2>,L>4>
Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:
Найдем переходную функцию и построим ее график:
Найдем
амплитудно-частотную характеристику
(АЧХ):
Найдем фаза
частотную характеристику (ФЧХ):
Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.
Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.
Время переходного процесса: tn=11
Перерегулирование:
Колебательность: п=0,5
Время нарастания регулируемой величины: t=0,385
Время первого согласования: tm=0,66
Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.
Колебательность:
Резонансная частота: wp=0,83
Частота среза: wсp=10
Полоса пропускания частот:
II-часть
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
По
данной корреляционной функции определим
спектральную плотность:
Найдем
корни характеристических уравнений
передаточной функции фильтра:
Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:
Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:
P7= -0,583+7,05i
P9= - 0,550+9,98i
P10= -0,570
Из
этого следует, что передаточная функция
фильтра будет иметь
следующий вид:
С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:
Найдем
переходную функцию данной системы,
построим ее график и определим прямые
оценки качества системы.
Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.