Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

Министерство Высшего Образования РФ.

Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Лицей №1557

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Вычисление интеграла методом

Ньютона-Котеса”

Написал: Коноплев А.А.

Проверил: доцент Колдаев В.Д.

Москва, 2001г.

Введение..................................................................................... 3

Теоретическая часть...................................................................4

Алгоритм работы........................................................................8

Код программы.........................................................................17

Модуль K_graph............................................................17

Модуль Graphic.............................................................34

Модуль K_unit...............................................................38

Основная программа....................................................40

Тестовые испытания.................................................................42

Полезные советы по работе с программой.............................42

Окна ввода и вывода программы.............................................

Вывод..........................................................................................43

Список литературы...................................................................44

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??

Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.

Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:

(i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:

X0=a	X1	X2	…	XN=b
Y0=f(x0)	Y1=f(x1)	Y2=f(x2)	…	YN=f(xN)

Требуется найти значение интеграла .

Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:

Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:

где q=(x-x0)/h – шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:

Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:

Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:

Положим, что

где i=0,1,2…,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n. Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:

Теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: , при n=7.

Вычисление.

1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1.

2)Найдем значения y:

x0=0	y0=1
x1=1	y1=0.5
x2=2	y2=0.2
x3=3	y3=0.1
x4=4	y4=0.0588
x5=5	y5=0.0384
x6=6	y6=0.0270
x7=7	y7=0.02

3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса:

H2=H7=0.0435, H2=H6=0.2040, H3=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730

Подставим значения в формулу и получим:

П

ри подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2.

Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса

, взяв n=5;

Вычисление:

Определим шаг h=(8-4)/5=0.8

Найдем значения y:

x0=0	y0=-2.61
x1=4.8	y1=0.42
x2=5.6	y2=4.34
x3=6.4	y3=6.35
x4=7.2	y4=4.38
x5=8	y5=-0.16

Находим коэффициенты Ньютона –Котеса:

H0=H5=0.065972 ;H2=H4=0.260417 ;H3=H3=0.173611 ;

4)Подставим значения в формулу и получим:

Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса.

Пусть n=1 тогда

H0=H2=0.5 и конечная формула примет вид:

Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций.

Взяв n=3, мы получим

. Частный случай формулы Ньютона –Котеса – формула Симпсона

Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы.

Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef.

Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:

А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q

(процедура mnogoclen)

Б) домножить их на 1/n , где n –степень при q (процедура koef)

В) подставить вместо q значение n (функция integral)

Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.

Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);

Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);

Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );

Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);

Функция facktorial(n:целый):двойной;

Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;

Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;

Основная программа

Программа состоит из 8 файлов:

K_main.exe – файл загрузки основной программы

K_unit.tpu – модуль вычислительных процедур и функций

K_graph.tpu – модуль графических процедур

Graphic.tpu – модуль процедур для построения графика

Egavga.bgi – файл графической инициализации

Sans.chr, litt.chr – файлы шрифтов

Keyrus.com (не обязательно) – файл установки русского языка.

Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.

================================================

==========МОДУЛЬ GRAPH==========

================================================

{$N+}

unit k_graph;

interface

uses

crt,graph,k_unit,graphic;

procedure winwin1;

procedure proline(ea:word);

procedure winwwodab(ea:word);

procedure error1(ea:word);

procedure helpwin(ea:word);

procedure error(ea:word);

procedure newsctext(ea:word);

procedure newsc(ea:word);

procedure win1(ea:word);

procedure win2(ea:word;var k:word);

procedure wwodn(ea:word;var n:integer);

procedure wwodab(ea:word;var a,b:real);

procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real);

procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string);

procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word);

implementation

procedure proline(ea:word);

{Проседура полосы процесса}

var

i:integer;

f:string;

c:char;

begin

newsc(ea);

setcolor(15);

setfillstyle(1,7);

bar(160,150,460,260);

rectangle(165,155,455,255);

rectangle(167,157,453,253);

case (ea mod 2) of

0: outtextxy(180,170,' Идет работа .Ждите..');

1: outtextxy(180,170,' Working.Please wait..');

end;

setfillstyle(1,12);

setcolor(0);

rectangle(200,199,401,221);

for i:=1 to 9 do

line(200+i*20,200,200+i*20,220);

delay(20000);

for i:=1 to 100 do

begin

if ((i-1) mod 10)=0 then

line(200+((i-1) div 10)*20,200,200+((i-1) div 10)*20,220);

bar(round(200+2*(i-0.5)),200,200+2*i,220);

delay(1100);

setcolor(15);

setfillstyle(1,7);

bar(280,230,323,250);

str(i,f);

f:=f+'%';

outtextxy(290,235,f);

if (i mod 25) =0 then

bar(170,180,452,198);

if (ea mod 2)=0 then

case (i div 25) of

outtextxy(170,190,'Подготовка ');

outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов в многочлене');

outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов Ньютона-Котеса');

outtextxy(170,190,'Расчет интеграла');

end

else

case (i div 25) of

outtextxy(170,190,'Prepearing');

outtextxy(170,190,'Calculation of mnogochlen coeff.');

outtextxy(170,190,'Calculation of Newton-Cotes coeff. ');

outtextxy(170,190,'Calculation of integral');

end;

setfillstyle(1,12);

setcolor(0);

end;

procedure winwwodn(ea:word);

{Окно ввода числа узлов интерполяции}

var

c:char;

f:string;

begin

helpwin(ea);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо ');

outtextxy(360,155,' ввести количество узлов ');

outtextxy(360,170,' интерполяции, от которого ');

outtextxy(360,185,' будет зависить точность ');

outtextxy(360,200,' вычисления интеграл и ');

outtextxy(360,215,' количество зн чений функции.');

outtextxy(360,240,' ВНИМАНИЕ : НАСТОЯТЕЛЬНО ');

outtextxy(360,250,' РЕКОМЕНДУЕТСЯ НЕ ВВОДИТЬ ');

outtextxy(360,260,' ЗНАЧЕНИЕ N БОЛЬШЕ 12 !! ');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' In this window you have to ');

outtextxy(360,155,' put into the number. ');

outtextxy(360,170,' The accuracy of calculation ');

outtextxy(360,185,' and the number of function ');

outtextxy(360,200,' parameters will depend on ');

outtextxy(360,215,' this number. ');

outtextxy(360,240,' WARNING: IT IS HARDLY ');

outtextxy(360,250,' RECOMENDED NOT TO PUT IN ');

outtextxy(360,260,' NUMBER MORE THEN 12 !! ');

end;

setcolor(2);

setfillstyle(1,14);

bar(70,200,340,300);

rectangle(75,205,335,295);

rectangle(77,207,333,293);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(90,227,'Введите количество узлов(n):');

outtextxy(80,270,'ВНИМАНИЕ: При больших n возможна');

outtextxy(80,280,'некорректная работа компьютера!!');

end

else

begin

outtextxy(80,217,'Put in number of');

outtextxy(80,227,' interpolation units:');

outtextxy(80,270,'WARNING:if you use big number ');

outtextxy(80,280,'of units,PC wont work properly!');

end;

setfillstyle(1,0);

bar(190,240,230,255);

end;

procedure wwodn(ea:word;var n:integer);

{Процедура ввода узлов n}

var

ec,p:integer;

k,f:string;

x:integer;

c:char;

begin

newsc(ea);

winwwodn(ea);

repeat

winwwodn(ea);

gotoxy(25,16);

read(k);

val(k,p,ec);

if ec<>0 then

begin

error1(ea);

readln;

end;

until ec=0;

n:=p;

if n>12 then

begin

if keypressed then

c:=readkey;

c:='r';

setcolor(15);

setfillstyle(1,12);

bar(140,210,490,300);

rectangle(145,215,485,295);

rectangle(147,217,483,293);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(150,227,' Предупреждение!');

outtextxy(150,237,' Вы дейcтвительно хотите использовать');

outtextxy(150,250,' большое значение N ???');

end

else

begin

outtextxy(150,227,' Warning!! ');

outtextxy(150,237,' Do you realy want to use a big ');

outtextxy(150,250,' number interpolation units(N)??? ');

end;

sound(600);

delay(4000);

nosound;

setfillstyle(1,2);

bar(320,260,350,280);

setfillstyle(1,12);

bar(250,260,280,280);

repeat

if keypressed then

begin

c:=readkey;

if (c=#80) or (c=#72) or (c=#77) or (c=#75) then

x:=x+1;

setfillstyle(1,2);

if (x mod 2)=0 then

begin

bar(250,260,280,280);

setfillstyle(1,12);

bar(320,260,350,280);

end

else

begin

bar(320,260,350,280);

setfillstyle(1,12);

bar(250,260,280,280);

END;

end;

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(255,267,'ДА');

outtextxy(325,267,'НЕТ');

end

else

begin

outtextxy(255,267,'YES');

outtextxy(325,267,'NO');

end;

until c=#13;

if abs(x mod 2)=1 then

begin

n:=0;

setcolor(15);

setfillstyle(1,2);

bar(160,200,460,280);

rectangle(165,205,455,275);

rectangle(167,207,453,273);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(180,227,'Для работы программы необходимо');

outtextxy(180,237,' заново ввести N.');

outtextxy(180,247,' Нажмите ENTER для продолжения.');

end

else

begin

outtextxy(180,227,' To continue you have to ');

outtextxy(180,237,' again put in N. ');

outtextxy(180,247,' Press ENTER to continue.');

end;

readln;

end;

until n>0;

end;

procedure winwwodab(ea:word);

{Окно ввода приделов интегрирования}

var

f:string;

begin

helpwin(ea);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо');

outtextxy(360,155,' ввести сначала нижнее');

outtextxy(360,170,' значение интеграл и нажать');

outtextxy(360,185,' ENTER, а затем ввести');

outtextxy(360,200,' верхнее значение интеграла');

outtextxy(360,215,' и снова нажать ENTER.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' In this window you have to:');

outtextxy(360,155,'firstly, put in lower value ');

outtextxy(360,170,'of integral and press ENTER,');

outtextxy(360,185,'then put in higher value');

outtextxy(360,200,'of integral and press ENTER');

end;

setcolor(2);

setfillstyle(1,5);

bar(10,210,335,320);

rectangle(15,215,330,315);

rectangle(17,217,328,313);

settextstyle(0,0,0);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(20,230,' Введите нижнее значение');

outtextxy(20,244,' интеграл :');

outtextxy(20,262,' Введите верхнее значение');

outtextxy(20,272,'интеграл :');

end

else

begin

outtextxy(20,230,' Put in lower value of');

outtextxy(20,244,' integral:');

outtextxy(20,262,' Put in higher value of');

outtextxy(20,272,'integral:');

end;

procedure wwodab(ea:word;var a,b:real);

{Процедура ввода приделов интегрирования}

var

f:string;

k:string;

ec:integer;

begin

newsc(ea);

winwwodab(ea);

readln;

repeat

winwwodab(ea);

gotoxy(16,16);

read(k);

val(k,a,ec);

if ec<>0 then

error1(ea);

until ec=0;

readln;

repeat

winwwodab(ea);

str(a:4:2,f);

outtextxy(120,244,f);

gotoxy(16,18);

read(k);

val(k,b,ec);

if ec<>0 then

error1(ea);

until ec=0;

end;

procedure helpwin(ea:word);

{основа окна помощи}

begin

setfillstyle(1,3);

bar(350,100,590,380);

setcolor(0);

rectangle(353,103,587,377);

rectangle(355,105,585,375);

setcolor(14);

if (ea mod 2)=0 then

outtextxy(360,115,' ОКНО ПОМОЩИ')

else

outtextxy(360,115,' HELP WINDOW');

end;

procedure error1(ea:word);

begin

setcolor(15);

setfillstyle(1,12);

bar(140,210,490,280);

rectangle(145,215,485,275);

rectangle(147,217,483,273);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(150,227,' Ошибка! ');

outtextxy(150,237,' Вводимые параметр не число!! ');

outtextxy(150,250,' Проверьте значение и заново введите его.');

end

else

begin

outtextxy(150,227,' Error! ');

outtextxy(150,237,' The value you entered isn`t a quantity!!');

outtextxy(150,250,' Check it and put it in again. ');

end;

sound(600);

delay(4000);

nosound;

readln;

end;

procedure error(ea:word);

{Процедура ошибки}

begin

setcolor(15);

setfillstyle(1,12);

bar(140,210,490,260);

rectangle(145,215,485,255);

rectangle(147,217,483,253);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(150,227,' Ошибка!');

outtextxy(150,237,' Недостаток вводимых параметров!!');

end

else

begin

outtextxy(150,227,' Error!');

outtextxy(150,237,' Not all parameters are set!');

end;

sound(600);

delay(4000);

nosound;

readln;

end;

procedure newsctext(ea:word);

{Текст для процедуры newsc}

begin

if ea mod 2 =0 then

begin

settextstyle(0,0,1);

setcolor(15);

outtextxy(400,440,'Язык - Русский. ');

outtextxy(400,450,'Версия 1.0 Последнее издание');

end

else

begin

settextstyle(0,0,1);

setcolor(15);

outtextxy(400,440,'Language - English.');

outtextxy(400,450,'Version 1.0 Final release.');

end;

procedure newsc(ea:word);

{Процедура обновления экрана}

begin

cleardevice;

setfillstyle(10,8);

floodfill(1,1,15);

setcolor(0);

setfillstyle(1,7);

bar(80,10,580,80);

rectangle(82,12,578,78);

rectangle(85,15,575,75);

settextstyle(0,0,2);

setcolor(10);

if ea mod 2 =0 then

begin

settextstyle(0,0,2);

outtextxy(90,20,' Вычисление интеграл ');

outtextxy(90,50,' методом Ньютона-Котеса.');

newsctext(ea);

end

else

begin

settextstyle(3,0,2);

outtextxy(90,20,' Calculeting of integral');

outtextxy(90,47,' using the Newton-Cotes method.');

newsctext(ea);

end;

settextstyle(0,0,1);

end;

procedure winwin1;

{Окно процедуры win1}

begin

setfillstyle(1,7);

bar(160,110,460,380);

setcolor(0);

rectangle(162,113,457,377);

rectangle(165,115,455,375);

end;

procedure win1(ea:word);

{Вводное окно}

begin

settextstyle(0,0,1);

setcolor(10);

if (ea mod 2)=0 then

begin

outtextxy(168,135,'Министерство Высшего образования РФ);

outtextxy(168,150,'Московский Государственный Институт');

outtextxy(168,160,' Электронной Техники ');

outtextxy(168,170,' (Технический лниверситет) ');

outtextxy(168,180,' Лицей №1557 ');

outtextxy(168,210,' КУРСОВАЯ РАБО'А ');

outtextxy(168,230,' «Вычисление интеграла ');

outtextxy(168,245,' метедом Ньютона-Котеса» ');

outtextxy(158,270,' Написал: Коноплев А.А. ');

outtextxy(158,285,' Руководитель: доцент Колдаев В.Д.');

end

else

begin

outtextxy(168,135,' Department of High Education ');

outtextxy(168,150,' Moscow State Institute of ');

outtextxy(168,160,' Electronic Technics ');

outtextxy(168,170,' (Technics University) ');

outtextxy(168,180,' Lyceum №1557 ');

outtextxy(168,210,' COURSE WORK ');

outtextxy(168,230,' «Calculation of integral ');

outtextxy(168,245,' by Newton-Cotes method» ');

outtextxy(158,270,' Author: Konoplev A.A. ');

outtextxy(158,285,' Supervisor:senior lecturer ');

outtextxy(158,300,' Koldaev V.D. ');

end;

procedure win2(ea:word;var k:word);

{Окно выбора способа подсчета }

var

c:char;

x:integer;

f:string;

begin

setcolor(2);

setfillstyle(1,5);

bar(70,200,340,330);

rectangle(75,205,335,325);

rectangle(77,207,333,323);

settextstyle(0,0,0);

setfillstyle(1,15);

bar(80,250,330,270);

setfillstyle(1,5);

bar(80,285,330,305);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(77,220,'Выбирете способ задания значений');

outtextxy(75,230,' функции. ');

outtextxy(70,255,' По таблице(в ручную)');

outtextxy(70,295,' По расчетам(автом т.)');

end

else

begin

outtextxy(77,220,' Choose a method of putting in');

outtextxy(75,230,' the values of function. ');

outtextxy(70,255,' By the table(by hand)');

outtextxy(70,295,' By calculations(automat.)');

end;

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,'В этом способе необходимо');

outtextxy(360,155,'самостоятельно вводить');

outtextxy(360,170,'значения функции.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,'In this method you have');

outtextxy(360,155,'to put in values of ');

outtextxy(360,170,'function by yourself.');

end;

x:=0;

repeat

if keypressed then

begin

c:=readkey;

if (c=#80) or (c=#72) then

x:=x+1;

setfillstyle(1,15);

if (x mod 2)=0 then

begin

bar(80,250,330,270);

setfillstyle(1,5);

bar(80,285,330,305);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,'В этом способе необходимо');

outtextxy(360,155,'самостоятельно вводить');

outtextxy(360,170,'значения функции.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,'In this method you have');

outtextxy(360,155,'to put in values of ');

outtextxy(360,170,'function by yourself.');

end;

end

else

begin

bar(80,285,330,305);

setfillstyle(1,5);

bar(80,250,330,270);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,'В этом способе компьютер');

outtextxy(360,155,'сам вычесляет значения');

outtextxy(360,170,'функции по вводимой функции.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,'In this method PC will');

outtextxy(360,155,'automaticly count the value');

outtextxy(360,170,'of function by the function');

outtextxy(360,185,'you enter ');

end;

setcolor(2);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(70,255,' По таблице(в ручную)');

outtextxy(70,295,' По расчетам(автом т.)');

end

else

begin

outtextxy(70,255,' By the table(by hand)');

outtextxy(70,295,' By calculations(automat.)');

end;

until c=#13;

k:=x mod 2;

end;

procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real);

{Окно ручного ввода функции}

var

i,p:integer;

s,f:string;

p1:real;

c:char;

begin

wwodn(ea,n);

if n=0 then

wwodn(ea,n);

newsc(ea);

wwodab(ea,a,b);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,'В этом окне необходимо');

outtextxy(360,155,'постепенно вводить');

outtextxy(360,170,'значения функции.');

outtextxy(360,185,'после каждого ввода');

outtextxy(360,200,'определенного значения');

outtextxy(360,215,'нажмите ENTER.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,'In this window you have');

outtextxy(360,155,'to gradually enter the');

outtextxy(360,170,'values of functions.');

outtextxy(360,185,'After each enter press');

outtextxy(360,200,'ENTER key.');

end;

setfillstyle(1,9);

bar(40,200,330,300);

rectangle(45,205,325,295);

rectangle(47,207,323,293);

if ea mod 2 =0 then

outtextxy(56,227,'Введите 0 -е значение финкции:')

else

outtextxy(56,227,' Enter 0 -th value of function:');

for i:=0 to n do

begin

setfillstyle(1,0);

bar(137,250,180,273);

gotoxy(19,17);

setfillstyle(1,9);

read(p1);

y[i]:=p1;

bar(120,227,134,240);

str(i+1,s);

outtextxy(120,227,s);

bar(310,220,320,250);

end;

procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string);

{Окно 2 меню автомат. подсчета}

var

i:integer;

c,k:char;

x:longint;

f:string;

begin

repeat

x:=-600000;

if keypressed then

c:=readkey;

c:='t';

newsc(ea);

setfillstyle(1,15);

bar(70,120,342,330);

setcolor(12);

rectangle(75,125,337,325);

rectangle(77,127,335,323);

settextstyle(0,0,0);

setfillstyle(1,11);

bar(80,170,330,190);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(80,130,'Меню ввода параметров нахождения');

outtextxy(80,140,' интеграла');

outtextxy(80,180,' Ввести количество узлов(n)');

outtextxy(80,210,' Ввести приделы интегрирования');

outtextxy(80,240,' Ввести функцию');

outtextxy(80,270,' Считать интеграл');

outtextxy(80,300,' Выход ');

end

else

begin

outtextxy(80,130,'Menu of entering the parameters');

outtextxy(80,140,' of integral');

outtextxy(80,180,' Put in the number of units ');

outtextxy(80,210,' Enter the bounds of integral');

outtextxy(80,240,' Enter function');

outtextxy(80,270,' Count integral');

outtextxy(80,300,' Exit ');

end;

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,' Нажмите Enter для');

outtextxy(360,155,' ввода количества узлов');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' Press Enter to put');

outtextxy(360,155,' in the number of units');

end;

repeat

if keypressed then

begin

c:=readkey;

case c of

#80:

x:=x-1;

#72:

x:=x+1;

end;

setfillstyle(1,11);

case (abs(x) mod 5) of

begin

bar(80,170,330,190);

setfillstyle(1,15);

bar(80,200,330,220);

bar(80,290,330,310);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,' Нажмите Enter для');

outtextxy(360,155,' ввода количества узлов');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' Press Enter to put');

outtextxy(360,155,'in the number of units.');

end;

begin

bar(80,200,330,220);

setfillstyle(1,15);

bar(80,170,330,190);

bar(80,230,330,250);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для ввода');

outtextxy(360,155,'приделов интегрирования.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' Press ENTER to put in');

outtextxy(360,155,'the bounds of integral.');

end;

begin

bar(80,230,330,250);

setfillstyle(1,15);

bar(80,200,330,220);

bar(80,260,330,280);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для ввода');

outtextxy(360,155,'функции.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' Press ENTER to enter');

outtextxy(360,155,'function.');

end;

begin

bar(80,260,330,280);

setfillstyle(1,15);

bar(80,230,330,250);

bar(80,290,330,310);

helpwin(ea);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для начала');

outtextxy(360,155,'подсчета самого интеграла.');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' Press ENTER to begin');

outtextxy(360,155,'integral calculations.');

end;

begin

bar(80,290,330,310);

setfillstyle(1,15);

bar(80,260,330,280);

bar(80,170,330,190);

helpwin(ea);

end;

setcolor(12);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(80,130,'Меню ввода параметров нахождения');

outtextxy(80,140,' интеграла');

outtextxy(80,180,' Ввести количество узлов(n)');

outtextxy(80,210,' Ввести приделы интегрирования');

outtextxy(80,240,' Ввести функцию');

outtextxy(80,270,' Считать интеграл');

outtextxy(80,300,' Выход ');

end

else

begin

outtextxy(80,130,'Menu of entering the parameters');

outtextxy(80,140,' of integral');

outtextxy(80,180,' Put in the number of units ');

outtextxy(80,210,' Enter the bounds of integral');

outtextxy(80,240,' Enter function');

outtextxy(80,270,' Count integral');

outtextxy(80,300,' Exit ');

end;

until c=#13;

c:='t';

case (abs(x) mod 5) of

begin

wwodn(ea,n);

end;

wwodab(ea,a,b);

begin

helpwin(ea);

setcolor(15);

setfillstyle(1,9);

bar(70,200,340,300);

rectangle(75,205,335,295);

rectangle(77,207,333,293);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(86,227,'Введите функцию f(x):');

setcolor(14);

outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо');

outtextxy(360,155,' ввести саму функцию.');

outtextxy(360,200,'Примечание: 1.данная программа ');

outtextxy(360,215,'распознает только ');

outtextxy(360,230,'элементарные функции.');

outtextxy(360,245,'(x,cos(x) и др.)');

outtextxy(360,260,’2.При неправильном вводе’);

outtextxy(360,275,’по умолчанию f(x)=x;’);

outtextxy(360,275,’3.Если после нажатия ENTER’);

outtextxy(360,275,’ничего не произошло, то

outtextxy(360,275,’занововведите функцию.’);

end

else

begin

outtextxy(86,227,'Enter function f(x):');

setcolor(14);

outtextxy(360,140,' In this window you have');

outtextxy(360,155,' to enter the function.');

outtextxy(360,200,'Note: This version of ');

outtextxy(360,215,'programm can indentify only ');

outtextxy(360,230,'simple functions, as');

outtextxy(360,245,'x,cos(x) and other.');

end;

setfillstyle(1,0);

bar(86,255,330,275);

readln;

gotoxy(13,17);

read(st);

writeln(st);

readln;

end;

3:if (n<=0)or(a=b)or(st='') then

error(ea);

halt;

end;

until (n>0)and(a<>b)and(st<>'')and((abs(x) mod 5)=3);

end;

procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word);

{Последнее окно просмотра результатов}

var

i:integer;

c:char;

x:longint;

p1,p:string;

y:array[0..16] of double;

begin

funktia(n,a,b,y,1,f);

f:='('+f+')'+'dx =';

repeat

x:=-600000;

newsc(ea);

setfillstyle(1,2);

bar(170,120,490,360);

setcolor(14);

rectangle(175,125,485,355);

rectangle(177,127,483,353);

settextstyle(0,0,0);

setfillstyle(1,1);

bar(180,170,480,190);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(180,135,Функция распознана.Интеграл подсчитан.');

outtextxy(180,180,' Посмотреть значение интеграла');

outtextxy(180,210,'Посмотреть коэффициенты Ньютона-Котеса');

outtextxy(180,240,' Посмотреть значения функции');

outtextxy(180,270,' Посмотреть график' );

outtextxy(180,300,' Считать снова');

outtextxy(180,330,' Выход ');

end

else

begin

outtextxy(180,135,'Function Indentified.Integral counted.');

outtextxy(180,180,' View value of integral');

outtextxy(180,210,' View Newton-Cotes coefficients');

outtextxy(180,240,' Veiw values of function');

outtextxy(180,270,' View graphik ' );

outtextxy(180,300,' Count again');

outtextxy(180,330,' Exit ');

end;

repeat

if keypressed then

begin

c:=readkey;

case c of

#80:

x:=x-1;

#72:

x:=x+1;

end;

setfillstyle(1,1);

case (abs(x) mod 6) of

begin

bar(180,170,480,190);

setfillstyle(1,2);

bar(180,200,480,220);

bar(180,320,480,340);

end;

begin

bar(180,200,480,220);

setfillstyle(1,2);

bar(180,170,480,190);

bar(180,230,480,250);

end;

begin

bar(180,230,480,250);

setfillstyle(1,2);

bar(180,200,480,220);

bar(180,260,480,280);

end;

begin

bar(180,260,480,280);

setfillstyle(1,2);

bar(180,230,480,250);

bar(180,290,480,310);

end;

begin

bar(180,290,480,310);

setfillstyle(1,2);

bar(180,260,480,280);

bar(180,320,480,340);

end;

begin

bar(180,320,480,340);

setfillstyle(1,2);

bar(180,290,480,310);

bar(180,170,480,190);

end;

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(180,135,'Функция распознана.Интеграл подсчитан.');

outtextxy(180,180,' Посмотреть значение интеграла');

outtextxy(180,210,'Посмотреть коэффициенты Ньютона-Котеса');

outtextxy(180,240,' Посмотреть значения функции');

outtextxy(180,270,' Посмотреть график ' );

outtextxy(180,300,' Считать снова');

outtextxy(180,330,' Выход ');

end

else

begin

outtextxy(180,135,'Function Indentified.Integral counted.');

outtextxy(180,180,' View value of integral');

outtextxy(180,210,' View Newton-Cotes coefficients');

outtextxy(180,240,' Veiw values of function');

outtextxy(180,270,' View graphik ' );

outtextxy(180,300,' Count again');

outtextxy(180,330,' Exit ');

end;

until c=#13;

c:='t';

case (abs(x) mod 6) of

0:begin

setcolor(15);

setfillstyle(1,12);

bar(140,200,490,280);

rectangle(145,205,485,275);

rectangle(147,207,483,273);

settextstyle(2,0,1);

setusercharsize(1,1,5,1);

outtextxy(170,210,'S');

settextstyle(2,0,4);

str(a:3:3,p);

outtextxy(160,257,p);

str(b:3:3,p);

outtextxy(160,212,p);

settextstyle(3,0,2);

outtextxy(180,224,f);

p:='';

str(abs(int):7:3,p);

outtextxy(190+length(f)*12,224,p);

readln;

end;

begin

newsc(ea);

setfillstyle(1,2);

bar(170,120,490,180+n*15);

setcolor(14);

rectangle(175,125,485,175+n*15);

rectangle(177,127,483,173+n*15);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(180,130,'Коэффициенты Ньютона-Котеса:');

outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Нажмите ENTER для продолжения');

end

else

begin

outtextxy(180,130,'Newton-Cotes coefficients:');

outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Press ENTER to continue');

end;

hkoef(n,h);

for i:=0 to n do

begin

str(i,p);str(h[i]:2:4,p1);

p:='H'+p+' = '+p1;

outtextxy(180,140+i*15,p);

end;

readln;

end;

2:begin

newsc(ea);

setfillstyle(1,2);

bar(170,120,490,180+n*15);

setcolor(14);

rectangle(175,125,485,175+n*15);

rectangle(177,127,483,173+n*15);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(180,130,'Значения функции:');

outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Нажмите ENTER для продолжения');

end

else

begin

outtextxy(180,130,'Values of function:');

outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Press ENTER to continue');

end;

for i:=0 to n do

begin

str(i,p);str(y[i]:2:4,p1);

p:='Y'+p+' = '+p1;

p1:='';

outtextxy(180,140+i*15,p);

str((a+i*(b-a)/n):2:4,p1);

str(i,p);

if ea mod 2 = 0 then

p:=',При '+'X'+p+' = '+p1

else

p:=',When '+'X'+p+' = '+p1;

outtextxy(285,140+i*15,p);

end;

readln;

end;

graphik(ea,a,b,f);

begin

closegraph;

halt;

end;

until (abs(x) mod 6)=4;

k:=abs(x) mod 6;

end;

end.

================================================

========МОДУЛЬ GRAPHIC========

================================================

unit graphic;

interface

uses

k_unit,crt,graph;

procedure hwg(ea:word);

procedure graphik(ea:word;a,b:real;f1:string);

implementation

procedure hwg(ea:word);

{Процедура окна помощи при графике}

var

f:string;

begin

settextstyle(0,0,0);

setfillstyle(1,3);

bar(150,100,390,380);

setcolor(0);

rectangle(153,103,387,377);

rectangle(155,105,385,375);

setcolor(14);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(160,115,' ОКНО ПОМОЩИ');

outtextxy(160,140,' Для работы с графиком');

outtextxy(160,155,' используйте клавиши:');

outtextxy(160,180,' PAGE UP-первоначальный');

outtextxy(160,195,' вид графика;');

outtextxy(160,210,' HOME-начальный масштаб;');

outtextxy(160,225,' INSERT-включить/выключеть');

outtextxy(160,240,' заливку области;');

outtextxy(160,255,' DELETE-включить/выключеть');

outtextxy(160,270,' сетку;');

outtextxy(160,285,' END-показать/убрать цифры');

outtextxy(160,300,' F1- Помощь;');

outtextxy(160,315,' Стрелки ВВЕРХ/ВНИЗ- ');

outtextxy(160,330,' увеличение/уменьшение');

outtextxy(160,345,' масштаб .');

outtextxy(160,360,'Для возрата нажмите ENTER.');

end

else

begin

outtextxy(160,115,' HELP WINDOW');

outtextxy(160,140,' For the work with graphic');

outtextxy(160,155,' use this keys:');

outtextxy(160,180,' PAGE UP-Primery form of');

outtextxy(160,195,' graphik;');

outtextxy(160,210,' HOME-Primery scale;');

outtextxy(160,225,' INSERT-Turn on/off inking');

outtextxy(160,240,' the field;');

outtextxy(160,255,' DELETE-Turn on/off the');

outtextxy(160,270,' net;');

outtextxy(160,285,' END-View/delete the figures');

outtextxy(160,300,' F1- Help;');

outtextxy(160,315,' Arrows UP/DOWN-Increase/ ');

outtextxy(160,330,' lower the scale;');

outtextxy(160,360,'Press ENTER to continue.');

end;

readln;

setcolor(15);

end;

procedure graphik(ea:word;a,b:real;f1:string);

{процедура построения графиков}

var

f,f2:string;

d:char;

i,v,r:integer;

x1,x2,n,p,x:integer;

c,k,k1:longint;

y:array[0..1] of double;

begin

x1:=-240;

x2:=240;

c:=24;

setcolor(15);

n:=0;v:=0;r:=0;

repeat

cleardevice;

settextstyle(0,0,0);

if ea mod 2 =0 then

begin

outtextxy(10,1,'Нажмите F1 для помощи');

str(c/24:2:2,f);

f:='Масштаб '+f+':1';

end

else

begin

outtextxy(10,1,'Press F1 for help');

str(c/24:2:2,f);

f:='Scale '+f+':1';

end;

outtextxy(200,1,f);

settextstyle(3,0,1);

outtextxy(307,10,'y');

outtextxy(574,235,'x');

outtextxy(310,240,'0');

setlinestyle(1,7,100);

line(70,240,580,240);

line(320,20,320,460);

line(320,20,315,25);

line(321,20,326,25);

line(580,239,575,244);

line(580,240,575,235);

line(70,239,580,239);

line(321,20,321,460);

for i:=-9 to 10 do

begin

if ((320+i*24)<561) and ((320+i*24)>71) then

line(320+i*24,240,320+i*24,242);

if ((240+i*24)<461)and(240+i*24>19) then

line(320,240+i*24,322,240+i*24);

end;

setcolor(15);

for x:= -240+round((240+x1)/10) to 240+round((240+x1)/10) do

begin

funktia(1,x-1,x,y,c,f1);

k:=round(240-(y[0])*c);

k1:=round(240-(y[1])*c);

if ((k<480)and(k>0)or(k1<480)and(k1>0)) then

line(319-round((240+x1)/10)+x,k,320-round((240+x1)/10)+x,k1);

end;

if (v mod 2)=0 then

begin

funktia(1,a,b,y,1,f1);

k:=round(240-(y[0])*c);

k1:=round(240-(y[1])*c);

line(320-round((240+x1)/10)+round(a*c),k,320-round((240+x1)/10)+round(a*c),240);

line(320-round((240+x1)/10)+round(b*c),k1,320-round((240+x1)/10)+round(b*c),240);

if 320-round((240+x1)/10)+a*c<80 then

begin

funktia(1,-240/c,240/c,y,1,f1);

k:=round(240-(y[0])*c);

line(80,k,80,240);

end;

if 320-round((240+x1)/10)+b*c>560 then

begin

funktia(1,(-240-round((240+x1)/10))/c,(240-round((240+x1)/10))/c,y,1,f1);

k1:=round(240-(y[1])*c);

line(560,k1,560,240);

end;

for x:= -240 to 240 do

begin

funktia(1,x-1,x,y,c,f1);

k1:=round(240-(y[1])*c);

if ((x/c)>a) and ((x/c)<b) and(k1<>0) then

begin

if (abs(240-k1)>2) then

begin

if k1<240 then

k1:=k1+1

else

k1:=k1-1;

if c>7 then

setfillstyle(6,3)

else

setfillstyle(1,3);

floodfill(320-round((240+x1)/10)+x,k1,15);

end;

str(x1,f2);

outtextxy(1,450,f2);

if (n mod 2)=0 then

for i:=-9 to 10 do

begin

settextstyle(2,0,2);

setcolor(14);

if ((320+i*24)<561) and ((320+i*24)>71)and(i<>0) then

begin

str((i*24+round((240+x1)/10))/c:2:2,f);

p:=247;

outtextxy(310+i*24,p,f);

str(-i*24/c:2:2,f);

outtextxy(330,240+i*24,f);

end;

for i:=-9 to 10 do

begin

setcolor(15);

if ((r mod 2)=1) and (i<>0) then

begin

if ((320+i*24)<561) and ((320+i*24)>71) then

line(320+i*24,20,320+i*24,460);

if ((240+i*24)<461)and(240+i*24>19) then

line(80,240+i*24,560,240+i*24);

end;

setcolor(15);

d:=readkey;

case d of

#75:

begin

x1:=x1-30;

x2:=x2-30;

end;

#77:

begin

x1:=x1+30;

x2:=x2+30;

end;

#80:

if c>1 then

c:=c-1;

#72:

c:=c+1;

#71:

c:=24;

#79:

n:=n+1;

#83:

r:=r+1;

#82:

v:=v+1;

#73:

begin

c:=24;

n:=0;r:=0;v:=0;x1:=-240;x2:=240;

end;

#59:

hwg(ea);

end;

until d=#13;

end;

end.

================================================

==========МОДУЛЬ UNIT==========

================================================

{$N+}

Unit k_unit;

{Модуль нахождения интеграл от многочлена q(q-1)..(q-i+1)(q-i-1)..(q-n),}

{где n-точность интеграла ,i-номер коофициента. }

interface

procedure rasposn(f:string;x:real;var ec:word;var t:real);

procedure hkoef(n:integer;var h:array of double);

procedure funktia(n:integer;a,b:real;var y:array of double;c:real;f:string);

procedure koef(w:array of double;n:integer;var e:array of double);

procedure mnogochlen(n,i:integer;var c:array of double);

function facktorial(n:integer):double;

function integral(w:array of double;n:integer):double;

function mainint(n:integer;a,b:real;y:array of double):double;

implementation

procedure rasposn(f:string;x:real;var ec:word;var t:real);

{Процедура распознования функции}

var

k:word;

begin

k:=pos('x',f);

if k<>0 then

begin {Распознавание функции}

ec:=1; {Код ошибки}

t:=x;

k:=pos('abs(x)',f);

if k<>0 then t:=abs(x);

k:=pos('sin(x)',f);

if k<>0 then t:=sin(x);

k:=pos('cos(x)',f);

if k<>0 then t:=cos(x);

k:=pos('arctg(x)',f);

if k<>0 then t:=arctan(x);

k:=pos('sqr(x)',f);

if k<>0 then t:=x*x;

k:=pos('exp(x)',f);

if k<>0 then t:=exp(x);

k:=pos('cos(x)*x',f);

if k<>0 then t:=cos(x)*x;

k:=pos('ln(x)',f);

if k<>0 then

begin

if x>0 then t:=ln(x)

else

t:=0;

end;

k:=pos('sqrt(x)',f);

if k<>0 then

if x>=0 then t:=sqrt(x)

else t:=0;

k:=pos('arcctg(x)',f);

if k<>0 then t:=pi/2-arctan(x);

k:=pos('sin(x)/x',f);

if k<>0 then if x<>0 then t:=sin(x)/x;

end

else

ec:=0;

end;

procedure funktia(n:integer;a,b:real;var y:array of double;c:real;f:string);

{Процедур подсчет Y-ков и распознавания функции}

var

t,h,x:real;

k,i:integer;

es:word;

begin

h:=(b-a)/n;

for i:=0 to n do

begin

x:=(a+h*i)/c;

rasposn(f,x,es,t);

y[i]:=t;

end;

procedure koef(w:array of double;n:integer;var e:array of double);

{Изменение коофициентов для интеграла}

var

t:integer;

begin

for t:=1 to n do

e[t]:=w[t]/(n-t+2);

end;

procedure mnogochlen(n,i:integer;var c:array of double);

{процедура нахождения коофициентов при Q^n(q в степени n )}

var

k,j:integer;

d:array[1..100] of double;

begin

d[1]:=1;

for j:=1 to n do

begin {Вычисление коэффициентов при раскрытии q*(q-1)*(q-2)*..*(q-n)}

d[j+1]:=d[j]*j*(-1);

if j>1 then

for k:=j downto 2 do

d[k]:=d[k]+d[k-1]*j*(-1);

end;

c[1]:=d[1]; {Деление многочлена на (q-i) по схеме Горнера}

for j:=1 to n+1 do

c[j]:=i*c[j-1]+d[j];

koef(c,n,c); {Изменение коэффициентов при интегрировании}

end;

function facktorial(n:integer):double;

{функция нахождения факториала }

var

t:integer;

s:double;

begin

s:=1;

if n=0 then

s:=1

else

for t:=1 to n do

s:=s*t;

facktorial:=s;

end;

function integral(w:array of double;n:integer):double;

{функция подсчета самого интеграла}

var

t,p:integer;

s,c:double;

begin

s:=0;p:=n;

for t:=0 to p+1 do

s:=s+w[t]*exp((p-t+2)*ln(p)); {Подсчет интеграла}

integral:=s;

end;

procedure hkoef(n:integer;var h:array of double);

{Процедура подсчета коэф. Ньютона-Котеса}

var

p,j,d,c,i:integer;

kq:array[0..20] of double;

s:array[0..20] of double;

begin

p:=n;

if (p mod 2)=1 then {Вычисление половины от всех вычислений коэффициентов}

d:=round((p-1)*0.5)

else

d:=round(0.5*p);

for i:=0 to n do

begin

mnogochlen(p,i,kq);

s[i]:=integral(kq,p); {Формирование массива из интегралов}

end;

for i:=0 to d do

begin

if ((p-i) mod 2) = 0 then

c:=1

else

c:=(-1);

h[i]:=(c*s[i])/(facktorial(i)*facktorial(p-i)*p);

h[p-i]:=h[i];

end;

function mainint(n:integer;a,b:real;y:array of double):double;

{функция подсчета основного интеграла}

var

sum:double;

p,i:integer;

kq,h:array[0..20] of double;

begin

p:=n;

hkoef(n,h);

sum:=0;

for i:=0 to p do

sum:=sum+h[i]*y[i]; {Сумма произведений y-ков на коэффициенты}

mainint:=sum*(b-a);

end;

end.

================================================

=======ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА=======

================================================

{$N+}

program Newton_Cotes_metod;{Программа нахождения определенного интеграла}

uses {методом Ньютона-Котеса }

k_unit,k_graph,graph,crt;

const

t=15;

var

c:char;

a1,b1,a,b:real;

n1,v,r,n:integer;

h,y:array[0..t] of double;

ea,k:word;

int:double;

f:string;

begin

ea:=10;

v:=detect;

initgraph(v,r,'');

cleardevice;

newsc(ea);

winwin1;

setcolor(15);

outtextxy(380,430,'Нажмите F2 для смены языка.');

repeat

win1(ea);

settextstyle(3,0,1);

outtextxy(178,340,'Press Enter...');

delay(13000);

bar(178,340,350,365);

delay(13000);

if keypressed then {Смена языка}

begin

c:=readkey;

if c=#60 then

begin

ea:=ea+1;

newsc(ea);

winwin1;

setcolor(15);

if ea mod 2 =0 then

outtextxy(380,430,'Нажмите F2 для смены языка.')

else

outtextxy(380,430,'Press F2 key to change language.');

end;

until c=#13;

repeat

newsc(ea);

win2(ea,k); {Ввод способа задания функции}

case k of

wwod1(ea,y,n,a,b);

begin

wwod2(ea,ea,n1,a1,b1,f);

n:=n1;a:=a1;b:=b1;

k:=4;

end;

if k=4 then

funktia(n,a,b,y,1,f);

int:=mainint(n,a,b,y); {Вычисление интеграла}

hkoef(n,h);

proline(ea);

win3(ea,n,a,b,int,f,h,k); {Последнее меню вывода результатов}

until k<>4;

closegraph;

end.

Рассмотрим результаты тестовых испытаний для функций sin(x) на интервале [-5;3] и exp(x) на интервале [2;8]

	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=7
Sin(x)	4,040017	3,02112	0,087629	1,779012	1,537481	1,246
Exp(x)	8965,041	3581,999	3271,82	3002,908	2990,644	2974,322
N=9	n=12
1,273561	1,27366
2973,593	2973,569

Видно, что при увеличении числа узлов интерполяции точность растет, однако при больших n (n>15) наблюдался обратный эффект.

Рекомендуемый диапозон n: от 7 до 13.

Интерфейс программы составлен на 2 языках: русском и английском. Переход с одного языка на другой осуществляется в вводном окне путем нажатия клавишы F2. Сменить язык можно только в этой части программы.

При вводе значений функции вручную необходимо вводить только цифры и после каждого ввода нажимать клавишу ENTER.

При испытании программы под разные операционные системы(Dos, Windows 98-2k,NT, из под паскаля) происходил непонятный баг с неверным выводом на экран значений коэффициентов Ньютона-Котеса, хотя интеграл считался верно. Для нормального нахождения их желательно запускать программу через Dos.

При вводе параметров в “Меню задания параметров нахождения интеграла” желательно их вводить постепенно сверху вниз, т.е. сначала ввести количество узлов интерполяции, затем пределы интегрирования, а уж потом вводить саму функцию.

Данная версия программы не способна распознавать все функции. Она может распознать только стандартные функции Турбо Паскаля и еще несколько дотполнительных: sin(x)/x, cos(x)*x ,arcctg(x). Для работы со специфическими функциями необходимо в модуле K-unit в процедуре RASPOSN в конце, перед end else, добавить :

k:=pos(‘Формула f(x)’,f);

if k<>0 then t:= ‘Формула f(x)’;

где ‘Формула f(x)’ – желаемая формула для распознования.

Вся помощь по вводу и работе с пограммой выводится в окне помощи.

Для нахождения интеграла существует много методов, однако, метод Ньютона-Котеса один из самых быстрых: достаточно знать значения коэффициентов для n=4, чтобы с точностью до сотых мгновенно посчитать интеграл. Быстрота и простота –главные части этого метода.

В.И. Грызлов «Турбо Паскаль 7.0» Москва: ДМК 2000г.

Данилина «Численные методы» Москва: Высшая школа 1978г.

Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

Министерство Высшего Образования РФ.

Лицей №1557

КУРСОВАЯ РАБОТА

Написал: Коноплев А.А.

Проверил: доцент Колдаев В.Д.

X0=a

X1

X2

XN=b

Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:

Положим, что