Інженерні розрахунки в MathCad

Вступ

Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".

Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.

Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.

Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.

Завдання

Завдання 1.

Задана система трьох лінійних рівнянь.

Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.

Розв’язання:

Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою

X=A^-1B,

деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,

А^-1 - обернена матриця до матриці А,

B - вектор вільних членів,

X - вектор розв'язків системи.

Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика (Math):

яка визивається командою ViewToolbarsMath:

mathcad інженерний розрахунок рівняння

Кнопками панелі Математика необхідно визвати панелі:

Калькулятор (кнопкою ):

Матриця (кнопкою ):

А потім виконати наступні дії: 1. Створимо матрицю А:	Пояснення до виконуваних дій: Використавши кнопку панелі Matrix: Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи:
2. Створюємо вектор В:	Задаємо 4 рядки 1 стовпець: Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи:
3. Обраховуємо вектор Х:	Знак присвоєння: = вибираємо на панелі Calculator, обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки на панелі Matrix.
4. Виводимо результат розрахунків:	Результати рішення системи: x = 0.091 y = - 0.243 z = - 0,601 t = 0.210
5. Робимо перевірку:	Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В.

Завдання 2

Знайти корінь нелінійного рівняння x³ + sin (x - 3) +1 = 0 з точністю  =0.0001

Розв’язання:

Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x) = 0.

Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:

1 етап - відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x), на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f (x). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХ і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.

2 етап - уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю .

1 етап. Графічне відділення коренів рівняння.

Побудуємо графік функції f (x) = x³ + sin (x - 3) +1.

Опишемо функцію в виді функції користувача:

Вставимо в документ графічну область командою InsertGraphXY-Plot:

Маркери () отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x):

Відформатуємо графік командою FormatGraphXY-Plot:

Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):

Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1

2 етап - уточнення кореня до точністі  =0.0001.

Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root (f (x), x).

Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:

точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;

початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).

Порядок дій: TOL: =0.0001	Пояснення: TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD.
x: = - 1	Початкова умова, знайдена із графіка.
x: = root (f (x), x) x= - 1.2361	Застосування функції root для уточнення кореня. Вивід значенння уточненого кореня х. В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність  потребує 4 знаки, необхідно командою FormatResult… в вікні Result Format задати необхідне число знаків: Отже корінь рівняння х= - 1,2361.

Завдання 3

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0

y² - x² +x = 0

с точністю =0.00001.

Розв’язання:

Відомо, що розв’язком системи є такі значення х і у, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.

Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х і у.

Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.

Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:

y = f1 (x)

y = f2 (x),

тобто в нашому випадку:

.

Після цього побудувати графіки функцій:

.

Порядок дій:	Пояснення:
Описуємо дві функції користувача	Функції asin, sin і  вибрати з панелі Calculator.
Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x)
	Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h. Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину.
	Із графіка приблизно знайти значення: х=1,2 і у = 0,4 координати точки перетинання графіків
Задаємо початкові значення розвязку: x: =1.2 y: = 0.4	Задаємо початкові значення для х і у.
	Задаємо точність обчислень
Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.	Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою Given, а закривається функцією Find. В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі . Вектору R присвоюється рішення системи. Отже х = 1,1413 і у = 0,4015.
Проводимо перевірку розв’язку:	Перевірка розв’язку: Замість х і у підставляємо в рівняння R>0> і R>1>, які являються елементами вектора R (нумерація елементів починається з нуля). Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння.

Література

Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.

Дьяконов В. MATHCAD 8/2000: специальный справочник - СПБ: Питер, 2001. - 592 с.