Абсолютна та відносна похибка (работа 1)

Міністерство освіти і науки України

Національний університет львівська політехніка

Інститут Комп’ютерних наук та інформаційних технологій

Кафедра автоматизованих систем управління

Лабораторна робота №1

з дисципліни: Математичні методи представлення знань

на тему: Абсолютна та відносна похибка

Львів – 2011

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Порядок роботи:

Створити проект для виконання індивідуального завдання.

Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:

назва роботи;

мета роботи;

порядок роботи;

короткі теоретичні відомості;

алгоритм побудови розв’язку задачі;

тексти відповідних модулів проекту;

аналіз отриманих результатів та висновки. Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ ≤ , (1)

де ат – перша значуща цифра числа а .

Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1

є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо

∆= | А – а |≤ · 10m – n + 1.

Звідси

- · 10m – n + 1 ≤ А – а ≤ · 10m – n + 1 .

Тому

А ≥ а - · 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m - · 10m – n + 1

А ≥ · 10m. (2)

Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому

А ≥ · 10m≥ · 10m (2аm - 1).

Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то

А ≥ аm · 10m.

δ = ,

або

δ ≤ .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa = (3)

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти

δa = .

Справді, якщо п>2, то числом у нерівності (4.1) можна знехтувати. Тоді

А ≥ · 10m ·2аm = аm · 10m.

Тому

δ = .

Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14 , що замінює точне число А = π?

Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2

δa =% .

Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти , щоб відносна похибка була не більшою за 0,1% ?

Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:

Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ = (4)

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр?

Оскільки

∆ = δ a = 76,54 < · 103,

то число а має лише одну точну цифру.

Похибки арифметичних операцій

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані наближені числа. Розглянемо їх алгебраїчну суму

и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп .

Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто

∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ± ... ±∆ хп .

Звідси

|∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| . (5)

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

∆и = ∆х1 +∆ х2 + ... +∆ хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай

и = + х1 + х2 + ... + хп ,

де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п ). Позначимо

через Аi (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi , а через А – їх суму, тобто А = А1 + + А2 + ... + Ап . Тоді

δu=

Оскільки

відносний похибка наближений число

, то = Аі .

Тому

.

Нехай

max = . 1 ≤ i ≤ n

Тоді

тобто

= max 1 ≤ i ≤ n

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х1-х2

Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

∆и = ∆х1 +∆ х2 , δu=, (6)

де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

Зауваження. При подальшому розгляді похибок арифметичних операцій, а також при розгляді похибок функцій (§ 6) припускатимемо, що похибки значно менші за абсолютною величиною від самих наближених величин, тож ними можна знехтувати в сумах, котрі містять одночасно наближену величину і її похибку як доданки; і завжди можна обмежитися членами, лінійними відносно похибок, нехтуючи членами більш високого порядку. Це означає, що наступні питання, пов'язані з похибками, розглядатимемо дещо грубо, проте елементарно. Адже строгий підхід під час розгляду цих питань не дає бажаних наочних результатів.

3. Похибки добутку. Нехай

Аі=хі+∆хі (і = 1,2,...,n),

де для простоти вважатимемо, що хі > 0 (і -1, 2,..., п ), А = А1 А2 … Аn , u = х1х2… хn . Тоді

А = (х1 + ∆ х1 ) (х2 + ∆ х2) ... (хп + ∆хп) =

= х1х2 … хn + х2х3 … хn ∆ х1 + х1 х3… хn ∆ х2 + ... +

+ х1х2 … хn-1 + ∆хп + ... + ∆x1∆x2…∆xn .

Враховуючи зауваження, можемо прийняти, що

А = u +x1 x2 … хп + ∆х1+ х1 х3 … хп + ∆х2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .

Звідси

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ + x1 x2 … хn-1 + ∆хп . (2)

Зокрема, якщо п = 2 , то

| ∆u | ≤ x2| ∆x1| + x1| ∆x2| .

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти

∆u = x2x3 … xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .

Розділивши нерівність (5.1) на u, одержимо

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, .

Тоді

i

.

Звідси

,

aбo

.

Розділивши нерівність на u, одержимо

Врахувавши зауваження, замінимо на відносну похибку діленого, - на відносну похибку дільника, - на відносну похибку частки. Отримаємо

. (8)

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай А = (х + ∆ х)т , и = хт , де т – натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|, δ ≤ mδ1,

де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

∆u= mxm - 1∆x, δu= mδx . (9)

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків.

Рекомендована література

Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.

Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.

Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.

Дудикевич А.Т., Левицькa С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.