Построение графиков функций. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Введение

Тема контрольной работы «Построение графиков функций. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений» по дисциплине «Информатика».

Цель и задачи работы:

1. Научиться создавать и применять ранжированные переменные.

2. Научиться строить графики в декартовой системе.

3. Научиться решению нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений с помощью решающего блока.

4. Решение системы линейных уравнений матричным способом.

При решении многих технических задач математические модели решения представляют собой нелинейные уравнения, системы нелинейных уравнений, системы линейных уравнений.

Уравнения и системы уравнений, возникающие в практических задачах, обычно можно решить только численно. Методы численного решения реализованы и в программе MathCad.

Для выполнения практической части:

Загрузить программу MathCAD с помощью ярлыка.

Сохранить файл в собственной папке под именем ….

Задание №1

Создать ранжированные переменные и вывести таблицы их значений

1. Создать ранжированную переменную z, которая имеет:

начальное значение 1

конечное значение 1.5

шаг изменения переменной 0.1

и вывести таблицу значений переменной z

2. Создать ранжированную переменную y, которая имеет:

начальное значение 2

конечное значение 7

шаг изменения переменной 1

и вывести таблицу значений переменной y

3. Создать ранжированную переменную t, которая имеет:

начальное значение a

конечное значение b

шаг изменения переменной h

и вывести таблицу значений переменной t

Для создания ранжированных переменных используют Палитру

Последовательность действий:

(ввести начальное значение)

(запятая)

ввести следующее значение (1.1)

нажимают кнопку

1.5 (ввести конечное значение

Если шаг изменения =1, то не выполняют пункты 2. и 3.

Для вывода таблицы значений, достаточно ввести имя переменной и знак .

Выполнение Задания №1

1.1	1.2	1.3

Задание ранжированной переменной в виде удобно тем, что изменяя значения a, h, b автоматически изменяется и таблица вывода ранжированной переменной

Задание №2

Построить график функции

f(x)=sin(x)+e^x-2 на диапазоне [-5; 2]

Выполнение задания №2

Последовательность действий:

1. Создать ранжированную переменную x

2. Создать функцию пользователя

3. Для построения графика использовать Палитру Graph

и кнопку

4. Ввести в место ввода по оси X имя независимого аргумента – x

5. Ввести в место ввода по оси Y – f(x)

6. Отвести от графика указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой мыши. График будет построен

Рис. 1.1

Для форматирования графика, дважды щелкнуть в области графика.

Появится диалоговое окно

В этом окне

1.на Вкладке Ось X-Y установитьпереключатель Пересечение

2.на Вкладке Трассировки можно установить цвет и толщину линии

Если щелкнуть по графику (появятся маркеры вокруг графика), то методом протягивания в нужном направлении можно изменить размеры графика.

Так выглядит график после форматирования

Рис. 1.2

Теоретическая часть

Блок уравнений и неравенств, требующих решения, записывается после ключевого слова Given (дано). При записи уравнений используется знак логического равенства =, кнопка находится в Палитре Boolean.

Заканчивается блок решения вызовом функции Find (найти). В качестве аргументов этой функции – искомая величина. Если их несколько (при решении систем уравнений, то искомые неизвестные должны быть перечислены через запятую).

Всякое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде, f(x)=0,

где f(x) – нелинейная функция. Решение таких уравнений заключается в нахождении корней, т.е. тех значений неизвестного x, которые обращают уравнение в тождество. Точное решение нелинейного уравнения далеко не всегда возможно. На практике часто нет необходимости в точном решении уравнения. Достаточно найти корни уравнения с заданной степенью точности.

Процесс нахождения приближенных корней уравнения состоит из двух этапов:

1 этап. Отделение корней, т.е. разбиения области определения функции f(x), на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.

2 этап. Уточнение приближенных корней уравнения, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Практическая часть

Задание №1

Постановка задачи:

Найти корень уравнения x³-x²=2 с точностью Е=0,00001

Приведем заданное уравнение к виду f(x)=0

x³-x²-2 =0 f(x)= x³-x²-2

Выполнение задания №1

1 этап – отделение корней

	Создать функция пользователя
	Создать ранжированную переменную x
	Построить график f(x)

Из графика видно, что приближенное значение x=1.5 (то значение x, при котором функция пересекает ось x)

2 этап – уточнение приближенного значения корня

Специальный вычислительный блок имеет следующую структуру
	Задают начальное значение x (из графика – приближенное)
	TOL – Системная переменная, которой присваивается значение требуемой точности 0.00001

Так как требуемая точность вычисления 0.00001, то дважды щелкнув по результату, необходимо отформатировать результат (задать нужное количество десятичных знаков).

Given	Given (дано) – ключевое слово, открывающее блок решения
x³-x²–2 = 0	Так записывается уравнение. При записи уравнений в решающем блоке используют знак логического равенства =, которому соответствует кнопка Палитры
	Вызвать функции Find, которая в качестве аргументов должна содержать искомую величины (если их несколько, то они перечисляются через запятую)

Ответ: x=1.69562

Проверка:

Найденное значение корня подставим в заданное уравнение.

Если x найден верно, то f(x)=0 (так как мы ищем приближенное значение, то в правой части может быть не нуль, а очень малое значение < Е (требуемой точности)

Уточнение корня в программе MathCad

Задание №2

Постановка задачи:

Решить систему уравнений с точностью Е=0.00001

Выполнение задания №2

3. Построить графики функций y1 (x) и y2 (x)

4. Находим из графика точку пересечения кривых

Проверка:

Литература

Симонович С. Информатика: базовый курс. – СПб.: Питер, 1999, 640 с.

Дьяконов В. MATHCAD 8/2000: специальный справочник – СПБ: Питер, 2001. – 592 с.