Алгебра логики. Элементы цифровой схемотехники
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
ИИТУС
Кафедра: «Техническая кибернетика»
Лабораторная работа №7
Дисциплина: Информатика
Тема:
Алгебра логики. Элементы цифровой схемотехники
Выполнил: студент группы УС-11
Лукьянов Л.В.
Принял: ст. препод. кафедры ТК
Крюков А.В.
Белгород 2010
Содержание
Цель работы
Список индивидуальных заданий
Примеры практической работы
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Заключение
1. Цель работы
Изучение логических операций и правил их преобразований. Получение навыков практической работы по моделированию цифровых схем, состоящих из логических вентилей. Ознакомление с различными способами описания логики работы логического устройства – таблицами истинности, временными диаграммами, аналитическими функциями, цифровыми схемами.
2. Список индивидуальных задач
Задание 1
Задано булева функция от трех переменных:
А) Постройте таблицу истинности (в среде Microsoft Excel) для заданной булевой функции (таблицу истинности строить без каких-либо упрощений, пользуясь лишь встроенными логическими функциями И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ).
Б) Смоделировать данную логическую функцию в среде Electronics Workbench. Построить соответствующую цифровую схему и временные диаграммы.
В) Упростить данное логическое выражение.
Задание 2
Используя пакет Electronics Workbench спроектировать схемы соответствующие обоим частям тождества (№2,№7,№16) (см. приложение), и с помощью проведения анализа доказать тождество. В отчет включить построенные схемы и диаграммы входных и выходных сигналов каждой из выполненных схем.
Приложение
|
№ |
Логическое выражение |
Формулировка |
|
1 |
F1=X*0=0 |
Логическое произведение любого аргумента на 0 равно 0 |
|
2 |
F2=X*1=X |
Логическое произведение любого аргумента на 1 равно значению аргумента |
|
3 |
F3=X*X=X |
Логическое произведение одних и тех же аргументов равно аргументу |
|
4 |
F4=X*X’=0 |
Логическое произведение аргумента с его инверсией равно 0 |
|
5 |
F5=X+0=X |
Логическая сумма любого аргумента с 0 равна аргументу |
|
6 |
F6=X+1=1 |
Логическая сумма любого аргумента с 1 равна 1 |
|
7 |
F7=X+X=X |
Логическая сумма аргумента с самим собой равна аргументу |
|
8 |
F8=X+X’=1 |
Логическая сумма аргумента с его инверсией равна 1 |
|
9 |
F9=X’’=Х |
Двойная инверсия аргумента дает его истинное значение |
|
10 |
F10=X1*X2=X2*X1 |
Переместительный закон |
|
11 |
F11=X1+X2=X2+X1 |
Переместительный закон |
|
12 |
F12=(X1*X2)*X3=X1*(X2*X3) |
Сочетательный закон |
|
13 |
F13=(X1+X2)+X3=X1+(X2+X3) |
Сочетательный закон |
|
14 |
F14=X1*(X2+X3)=X1*X2+X1*X3 |
Раскрытие скобок |
|
15 |
F15=X1+(X2*X3)=(X1+X2)*(X1+X3) |
Исключенное третье |
|
16 |
F16=X1+X1*X2=X1 |
Поглощение |
|
17 |
F17=X1+X1’*X2=X1+X2 |
Поглощение |
|
18 |
F18=(X1*X2)’=X1’+X2’ |
1 правило де Моргана |
|
19 |
F19=(X1+X2)’=X1’*X2’ |
2 правило де Моргана |
Задание 3
Спроектировать цифровую схему, выполняющая указанные действия и состоящую из простейших элементов И, ИЛИ, НЕ. Результаты подтвердить построением таблицы истинности и соответствующими временными диаграммами.
Спроектировать цифровую схему сравнения двухразрядных двоичных чисел А и В. На выходе схемы «1» – если А>B и «0» – в противном случае.
3. Примеры практической работы
3.1 Задание 1
Задано булева функция от трех переменных:
А) Постройте таблицу истинности (в среде Microsoft Excel) для заданной булевой функции (таблицу истинности строить без каких-либо упрощений, пользуясь лишь встроенными логическими функциями И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ).
Б) Смоделировать данную логическую функцию в среде Electronics Workbench. Построить соответствующую цифровую схему и временные диаграммы.
В) Упростить данное логическое выражение.
Решение:
А) Для удобства
разделим данное выражение на 5 частей:
F1,
F2,
F3,
F4,
F5,
где F1
= x
xor
y,
F2
= не z,
F3
= F1
F2,
F4
= не F3,
F5
= xy+F4*x. Запишем данные формулы на языке
MS
Excel:
F1 = ЕСЛИ(x<>y,1,0); F2 = Ч(НЕ(z)); F3 = ЕСЛИ(И(F1=0,F2=0),1,0);
F4 = Ч(НЕ(F3)); =Ч(ИЛИ(И(x,y),И(F2,x))).
Построим таблицу истинности для данных функций:
логический операция цифровой моделирование
Рис. 3.1 Таблица истинности данной функции
Б) При моделировании будем использовать функцию
f(x,y,z)=
:
Рис. 3.2 Цифровая схема данной функции в среде Electronics Workbench
Рис.3.3 Временная диаграмма данной функции
В)
=
3.2 Задание 2
Используя пакет Electronics Workbench спроектировать схемы соответствующие обоим частям тождества (№2,№7,№16) (см. приложение), и с помощью проведения анализа доказать тождество. В отчет включить построенные схемы и диаграммы входных и выходных сигналов каждой из выполненных схем.
Приложение
|
№ |
Логическое выражение |
Формулировка |
|
1 |
F1=X*0=0 |
Логическое произведение любого аргумента на 0 равно 0 |
|
2 |
F2=X*1=X |
Логическое произведение любого аргумента на 1 равно значению аргумента |
|
3 |
F3=X*X=X |
Логическое произведение одних и тех же аргументов равно аргументу |
|
4 |
F4=X*X’=0 |
Логическое произведение аргумента с его инверсией равно 0 |
|
5 |
F5=X+0=X |
Логическая сумма любого аргумента с 0 равна аргументу |
|
6 |
F6=X+1=1 |
Логическая сумма любого аргумента с 1 равна 1 |
|
7 |
F7=X+X=X |
Логическая сумма аргумента с самим собой равна аргументу |
|
8 |
F8=X+X’=1 |
Логическая сумма аргумента с его инверсией равна 1 |
|
9 |
F9=X’’=Х |
Двойная инверсия аргумента дает его истинное значение |
|
10 |
F10=X1*X2=X2*X1 |
Переместительный закон |
|
11 |
F11=X1+X2=X2+X1 |
Переместительный закон |
|
12 |
F12=(X1*X2)*X3=X1*(X2*X3) |
Сочетательный закон |
|
13 |
F13=(X1+X2)+X3=X1+(X2+X3) |
Сочетательный закон |
|
14 |
F14=X1*(X2+X3)=X1*X2+X1*X3 |
Раскрытие скобок |
|
15 |
F15=X1+(X2*X3)=(X1+X2)*(X1+X3) |
Исключенное третье |
|
16 |
F16=X1+X1*X2=X1 |
Поглощение |
|
17 |
F17=X1+X1’*X2=X1+X2 |
Поглощение |
|
18 |
F18=(X1*X2)’=X1’+X2’ |
1 правило де Моргана |
|
19 |
F19=(X1+X2)’=X1’*X2’ |
2 правило де Моргана |
Решение:
Для тождества
F2=X*1=X:
Рис.3.4 Логическая схема и временная диаграмма тождества №2
Для тождества
F7=X+X=X:
Рис.3.5 Логическая схема и временная диаграмма тождества №7
Для тождества
F16=X1+X1*X2=X1:
Рис.3.6 Логическая схема и временная диаграмма тождества №16
На основе данных временных диаграмм можно сделать вывод, что все тождества верны, так как результаты левой и правой частей совпадают.
3.3 Задание 3
Спроектировать цифровую схему, выполняющая указанные действия и состоящую из простейших элементов И, ИЛИ, НЕ. Результаты подтвердить построением таблицы истинности и соответствующими временными диаграммами.
Спроектировать цифровую схему сравнения двухразрядных двоичных чисел А и В. На выходе схемы «1» – если А>B и «0» – в противном случае.
Решение:
Пусть F1 и F2 числа А и В соответственно. А, В – старший и младший бит F1, a C,D – старший и младший бит F2. Если F1>F2 на выходе мы должны получить «1», иначе – «0». Составим таблицу истинности:
Рис.3.7. Таблица истинности
Составим логическое выражение на основе таблицы истинности:
Для полученной функции в среде Electronics Workbench составим логическую схему:
Рис.3.8 Логическая схема полученной функции
Рис.3.9 Временная диаграмма полученной функции
Данные полученной временной диаграммы и составленной таблицы истинности совпадают, следовательно, поставленная задача решена.
Заключение
В ходе данной работы мы получили навыки практической работы по моделированию цифровых схем, состоящих из логических вентилей. Ознакомились с различными способами описания логики работы логического устройства – таблицами истинности, временными диаграммами, аналитическими функциями, цифровыми схемами. Научились строить логические схемы и получать временные диаграммы в среде Electronics Workbench. Научились анализировать временные диаграммы, и синтезировать логические функции. В целом закрепили теоретические знания и научились применять их на практике, освоив специально ПО для решения данных задач.