Действия над числами в различных системах счисления

В заданиях 3-5 проверять правильность вычисления переводом исходных данных и результатов в двоичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Двоичная (Основание 2)	Восьмеричная (Основание 8)	Десятичная (Основание 10)	Шестнадцатиричная (Основание 16)
	триады		тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести 181_>10>"8" с.с.

Результат: 181_>10> = 265_>8>

б) Перевести 622_>10>"16" с.с.

Результат: 622_>10> = 26E_>16>

Для преобразования в десятичную используют следующую таблицу степеней основания

Преобразование дробных десятичных чисел:

Вначале переводится целая часть десятичной дроби;
Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание системы счисления;
В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	00=0 01=0 10=0 11=1

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

Умножение в восьмеричной системе

Умножение в шестнадцатеричной системе

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

а)945_>(10)>=1110110001_>(2)>=1661_>(8)>=3B1_>(16)>

945

944

472

236

118

512

256

128

512

256

128

945

945,000	8,000
944,000	118,000	8,000
1,000	112,000	14,000	8,000
	6,000	8,000	1,000
		6,000	1,000

4096	512	64	8	1
	1,000	6,000	6,000	1,000
945	512	384	48	1

945,000	16,000
944,000	59,000	16,000
1,000	48,000	3,000
	11,000

	B
3,000	11,000	1,000

4096	256	16	1
	3	11	1
945	768	176	1

б)85_>
(10)>=1010101_>(2)>=125(_>8>)= 55_>(16)>

85	2
84	42	2
1	42	21	2
	0	20	10	2
		1	10	5	2
			0	4	2	2
				1	2	1	2
					0	0	0
						1	0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	1	0	1	0	1
			64		16		4		1	85

85,000	8,000
80,000	10,000	8,000
5,000	8,000	1,000
	2,000
4096	512	64	8	1
		1,000	2,000	5,000
85	0	64	16	5

85,000	16,000
80,000	5,000
5,000

4096	256	16	1
		5	5
85	0	80	5

в)444,125_{> (10)}>= 110111100,001_>(2)>=674.1_>(8)>=1BC.2_>(16)>

444	2
444	222	2
0	222	111	2
	0	110	55	2
		1	54	27	2
			1	26	13	2
				1	12	6	2
					1	6	3	2
						0	2	1	2
							1	0	0
								1	0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	1	1	1	1	0	0
	256	128		32	16	8	4			444

0,125	*	2	=	0,250	0
0,250	*	2	=	0,500	0
0,500	*	2	=	1,000	1

444,000	8,000
440,000	55,000	8,000
4,000	48,000	6,000
	7,000
4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
		6,000	7,000	4,000		1
444	0	384	56	4		0,125		0,125

444,000	16,000
432,000	27,000	16,000
12,000	16,000	1,000
	11,000

0,125

2,000

4096	256	16	1	,	0,0625
	1	11	12		2
444	256	176	12		0,125

г)989,375_{> (10)}>= 111 10111 01 ,011_>(2)>=1735.3_>(8)>=3DD.6_>(16)>

989

988

494

247

246

123

122

512

256

128

512

256

128

989

0,375

0,750

1,500

0,500

1,000

989,000

8,000

984,000

123,000

8,000

5,000

120,000

15,000

8,000

3,000

8,000

1,000

7,000

1,000

4096

512

0,125

0,01563

0,00195

1,000

7,000

3,000

5,000

989

512

448

0,375

989,3750

989,000	16,000
976,000	61,000	16,000
13,000	48,000	3,000
	13,000
3	D	D
0,375	*	16	=	6,000	6,000

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	13	13		6
989	768	208	13		0,375	0	0,375
				989,375

д)237,73_{> (10)}>= 11101101,10111_>(2)>=355.5656_>(8)>=ED.BAE_>(16)>

237,0

2,0

236,0

118,0

2,0

1,0

118,0

59,0

2,0

0,0

58,0

29,0

2,0

1,0

28,0

14,0

2,0

1,0

14,0

7,0

2,0

0,0

6,0

3,0

2,0

1,0

2,0

1,0

2,0

1,0

0,0

1,0

512

256

128

237

0,730

1,460

0,460

0,920

1,840

0,840

1,680

0,680

1,360

237,000

8,000

232,000

29,000

8,000

5,000

24,000

3,000

5,000

3,000

4096

512

0,125

0,01563

0,00195

0,00024

3,1E-05

3,000

5,000

237

192

0,625

0,09375

0,00977

0,00146

0,72998

237,7300

237,000	16,000
224,000	14,000
13,000
4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		14	13		11	10	14
237	0	224	13		0,6875	0,0390625	0,7265625
				237,727
0,730	*	16	=	11,680	B
0,680	*	16	=	10,880	A
0,880	*	16	=	14,080	E

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления

а)110001111_>(2)>=399_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	0	0	1	1	1	1
	256	128				8	4	2	1	399

б)111010001_>(2)>=465_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	1	0	1	0	0	0	1
	256	128	64		16				1	465

в)100110101,1001_>(2)>=309,5625_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	1	1	0	1	0	1
	256			32	16		4		1	309

	1	0	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,5625	0,5	0	0	0,063

г)1000010,01011_>(2)>=66,34375_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	0	0	0	1	0
			64					2		66

	0	1	0	1	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,34375	0	0,25	0	0,063	0,031

д)176,5_>(8)>=126.625_>(10)>

4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024	3,1E-05
		1,000	7,000	6,000		5
126	0	64	56	6		0,625	0	0	0	0,625
					126,6250

е)3D2,04_>(16)>=978.016_>(10)>

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	13	2		0	4
978	768	208	2		0	0,015625	0,015625
				978,016
978,000	16,000
976,000	61,000	16,000
2,000	48,000	3,000
	13,000
0,016	*	16	=	0,256	0,000
0,256	*	16	=	4,096	4

3. Сложить все числа

а)1000011101_>(2)>+101000010_>(2)>=541_>(10)>+322_>(10)>=_>>1101011111_>
(2)>=863_>(10)>

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
	512	0	0	0	0	16	8	4	0	1	541

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	1	0	0	0	0	1	0
	0	256	0	64	0	0	0	0	2	0	322

											863


+	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
		1	0	1	0	0	0	0	1	0
	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
	512	256	0	64	0	16	8	4	2	1	863

б)100000001_>(2)>+1000101001_>(2)>=_>>257_>(10)>+553_>(10)>= 1100101010_{> (2)}>=810_>(10)>

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	0	0	0	0	0	0	1
	0	256	0	0	0	0	0	0	0	1	257

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	512	0	0	0	32	0	8	0	0	1	553

											810


+		1	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0
	512	256	0	0	32	0	8	0	2	0	810

в)101111011,01_>(2)>+1000100,101_>(2)>=_>>379,25_>(10)>+68,625_>(10)>=_>
(2)>=447,875_>(10)>

	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,25	0	0,25

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	1	1	1	1	0	1	1
	0	256	0	64	32	16	8	0	2	1	379

	379,25
	1	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,625	0,5	0	0,125

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	0	0	0	1	0	0
	0	0	0	64	0	0	0	4	0	0	68
	68,625

	447,875


+		1	0	1	1	1	1	0	1	1	,	0	1
				1	0	0	0	1	0	0	,	1	0	1
		1	1	0	1	1	1	1	1	1	,	1	1	1

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	1	1	1	1	1
	0	256	128	0	32	16	8	4	2	1	447

	1	1	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,875	0,5	0,25	0,125

г)1532,14_>(8)>+730,16_>(8)>=858.1875_>(10)>+472.2188_>(10)>=1330.41_>
(10)>=2462.32172_>(8)>

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
		1,000	5,000	3,000	2,000		1	4
858	0	512	320	24	2		0,125	0,0625	0	0,1875
						858,1875

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
			7,000	3,000	0,000		1	6
472	0	0	448	24	0		0,125	0,09375	0		0,21875
						472,2188

	+	1	5	3	2	,	1	4
			7	3	0	,	1	6
		2	4	6	2	,	3	2
			4+6=12 5+7=14
	32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024	3,1E-05
			2,000	4,000	6,000	2,000		3	2	1	7	2
	1330	0	1024	256	48	2		0,375	0,03125	0,00195	0,00171	6,1E-05
							1330,4100

д) BB,4_>(16)>+2F0,6_>(16)>= 187,25_>(1>_>0>_>)>+752.375_>(1>_>0)>=939.625_>(10)>=

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		11	11		4
187	0	176	11		0,25	0	0,25
				187,250

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	2	15	0		6
752	512	240	0		0,375	0	0,375
				752,375
+	2	F	0	,	6
		B	B	,	4
	3	A	B	,	A
		10	11		10

F+B=1A

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	10	11		10
939	768	160	11		0,625	0	0,625
				939,625

4. Выполнить вычитание

а)1000101110_>(2)>-1111111_>(2)>= 558_>(10)>-127_>(10)>=_>>110101111_>
(2)>=431_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	0	1	0	1	1	1	0
512	0	0	0	32	0	8	4	2	0	558

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	64	32	16	8	4	2	1	127

-	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0
				1	1	1	1	1	1	1
		1	1	0	1	0	1	1	1	1

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	0	1	1	1	1
	0	256	128	0	32	0	8	4	2	1	431

б)1011101000_>(2)>-1001000000_>(2)>=_>>744_>(10)>-576_>(10)>= 10101000_{> (2)}>=168_>(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	1	1	0	1	0	0	0
512	0	128	64	32	0	8	0	0	0	744

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
512	0	0	64	0	0	0	0	0	0	576

-	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0
	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
			1	0	1	0	1	0	0	0

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	1	0	1	0	0	0
			128	0	32	0	8	0	0	0	168

в)1000101001,1_>(2)>-1111101,1_>(2)>=_>>553.5_>(10)>-125.5_>(10)>= 110101100,0 _>(2)>=428.0_>(10)>

	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,5	0,5

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	512	0	0	0	32	0	8	0	0	1	553

	553,50
	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001

0,5	0,5

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	64	32	16	8	4	0	1	125
	125,500

	428,000


-	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1	,	1
				1	1	1	1	1	0	1	,	1
		1	1	0	1	0	1	1	0	0	,	0

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	0	1	1	0	0
		256	128	0	32	0	8	4	0	0	428

г)1265,2_>(8)>-610,2_>(8)>=693.25_>(10)>-392.25_>(10)>=301.00_>(10)>=455.0_>(8)>

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
		1,000	2,000	6,000	5,000		2
693	0	512	128	48	5		0,25	0	0	0,25
						693,2500

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
			6,000	1,000	0,000		2
392	0	0	384	8	0		0,25	0	0	0,25
						392,2500

-	1	2	6	5	,	2
		6	1	0	,	2
		4	5	5	,	0
		8+2-6=4
32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
			4,000	5,000	5,000		2
301	0	0	256	40	5		0,25	0	0	0,25
						301,2500

д) 409,D_>(16)>-270,4_>(16)>=1033.813_>(10)>-624.25_>(10)>= 409.563_>(10)>=199.9(16)

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	4	0	9		13
1033	1024	0	9		0,8125	0	0,8125
				1033,813

4096	256	16	1	,	0,0625	0,003906	0,000244	1,53E-05
	2	7	0		4
0	512	112	0		0,25	0	0	0
624				624,2500			0,25

-	4	0	9	,	D
	2	7	0	,	4
	1	9	9	,	9
13-4=9 7+9=10→10-7=9 3-2=1
4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	1	9	9		9
409	256	144	9		0,5625	0	0,5625
				409,563

5. Выполнить умножение

а)111010_>(2)>=*1100000_>(2)>=_>>58_>(10)>*96_>(10)>= 1010111000000_>(2)>=5568_>
(10)>

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	1	0	1	0
				32	16	8	0	2	0	58

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	1	0	0	0	0	0
			64	32	0	0	0	0	0	96

					*	1	1	0	0	0	0	0
							1	1	1	0	1	0
						0	0	0	0	0	0	0
					1	1	0	0	0	0	0
				0	0	0	0	0	0	0
			1	1	0	0	0	0	0
		1	1	0	0	0	0	0
	1	1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0

4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
4096	0	1024	0	256	128	64	0	0	0	0	0	0	5568

б)1005.5_>(8)>*63.3_>(8)>= 517,6250_>(10)>*51,3750_>(10)>=26592.98_>(10)>= 63740.7656_>(8)>

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
		1,000	0,000	0,000	5,000		5
517	0	512	0	0	5		0,625	0	0	0,625
						517,6250

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
				6,000	3,000		3
51	0	0	0	48	3		0,375	0	0	0,375
						51,3750

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,015625	0,0019531	0,0002441
	6,000	3,000	7,000	4,000	0,000		7	6	5	6
26592	24576	1536	448	32	0		0,875	0,09375	0,0097656	0,9785156
						26592,9785

		*	1	0	0,	5	5
					6,	3	3
			3	0	2	0	7
		3	0	2	0	7
	6	0	4	2	6
	6	3	7	4	0,	7	7

3*5=17

3*5+1=17+1=18→(2)0

3*0+2=2

3*0=0

3*1=3

2+6=0

6*5=36

6*5+6=(4)2

6*0+4=4

6*0=0

6*1=6

в)4A,3_>(16)>*F,6_>(16)>= 74.188_>(1>_>0>_>)>*15.375_>(1>_>0>_>)>=1140.64_>(10)>=474.A2_>(16)>

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		4	10		3
74	0	64	10		0,1875	0	0,1875
				74,188

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
			15		6
15	0	0	15		0,375	0	0,375
				15,375
	*	4	A,	3
			F,	6
	1	B	D	2
4	5	8	D
4	7	4,	A	2

6*3=18=1*16+2

6*A=60+1=61=3*16+13→D

6*4=24+3=27=1*16+11→B

F*3=15*3=45=2*16+13→D

F*A=15*10=150+2=9*16+8

F*4=15*4=60+9=69=4*16+5

2+0=2

13+13=26=1*16+10→A

11+8=19+1=20=1*16+4

1+5+1=7

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	4	7	4		10	2
1140	1024	112	4		0,625	0,0078125	0,6328125
				1140,633

Список литературы

Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: "Арифметические основы ЭВМ":http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.html
Википедия: http://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления
Шауцукова Л.З. Информатика 10 - 11. — М.: Просвещение, 2000 г.: http://www.rus-edu.bg/edu/online/inf/bookinf/theory/chapter4/1_4_10.html
Системы счисления Анжелиной Латышевой : http://logika.weebly.com/10571083108610781077108510801077-1074-107410861089110010841077108810801095108510861081-1089108010891090107710841077.html