Дослідження методів чисельного інтегрування (работа 1)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних

систем управління

Факультет АКСУ

Кафедра АІВТ

Курсова робота

з дисципліни

«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=x_>i>=x_>i+1>-x_>i>), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

I_>n>=f(x)dxS_>i>=h[f(x_>0>)+f(x_>1>)+...+f(x_>n-1>)]=f(x_>i>);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

I_>пр>=f(x)dxh[f(x_>n>)+...+f(x_>1>)]=f(x_>i>)(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією (x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_>i> прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

S_>i>=h(f(x_>i>)+f(x_>i+1>)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=S_>i>=h(f(x_>0>)+f(x_>1>)+f(x_>2>)+...+f(x_>n-1>)+f(x_>N>)= =[(f(x_>0>)+f(x_>n>))+f(x_>i>)].(1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М_>2>–максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою (x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dxSi [1].

Г
рафічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si= [f(xi)+4f(xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y_>0>+4y_>1>+y_>2>),

(y_>2>+4y_>3>+y_>4>),

(y_>4>+4y_>5>+y_>6>), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y_>2n-2>+4y_>2n-1>+y_>2n>),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y_>0>+y_>2n>+4(y_>1>+...+y_>2n-1>)+2(y_>2>+...+y_>2n-2>)],

або

[y_>0>+y_>2n>+4y_>2i-1>+2y_>2i>],(1.8)

де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М_>4>–максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:

y_>i>H_>i,>(1.9)

де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

c_>i>f(x_>i>)_>,>(1.10)

в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

n = 1	Но = H2 = ½
n = 2	Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3
n = 3	Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H3 = 3/8
n = 4	Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15
n = 5	Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз = = 25/144
n = 6	Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105
n = 7	Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:

2Cn[f(x_>1>)+f(x_>2>)+...+f(x_>n>)],(1.11)

де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

f(x)=a_>0>+a_>1>x+a_>2>x²+...+a_>n>xⁿ.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:

(a_>0>+a_>1>x+a_>2>x²+...+a_>n>xⁿ)=2(a_>0>+a_>2>+a_>3>+...).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:

f(x_>1>)=a_>0>+a_>1>x_>1>+a_>2>x_>1>²+a_>3>x_>1>³+...+a_>n>x_>1>ⁿ,

f(x_>2>)=a_>0>+a_>1>x_>2>+a_>2>x_>2>²+a_>3>x_>2>³+...+a_>n>x_>2>ⁿ,

f(x_>3>)=a_>0>+a_>1>x_>3>+a_>2>x_>3>²+a_>3>x_>3>³+...+a_>n>x_>3>ⁿ,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x_>n>)=a_>0>+a_>1>x_>n>+a_>2>x_>n>²+a_>3>x_>n>³+...+a_>n>x_>n>ⁿ,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a_>0>+a_>2>+a_>4>+...)=2c_>n>[na_>0>+a_>1>(x_>1>+x_>2>+...+x_>n>)+a_>2>(x_>1>²+x_>2>²+...+x_>n>²)+

+a_>3>(x_>1>³+x_>2>³+...+x_>n>³)+...+a_>n>(x_>1>ⁿ+x_>2>ⁿ+...+x_>n>ⁿ)].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a_>0>,a_>1>,...,a_>n>; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

C_>n>=.(1.16)

і, крім цього,

x_>1>+x_>2>+x_>3>+...+x_>n>=0,

x_>1>²+x_>2>²+x_>3>²+...+x_>n>²=,

x_>1>³+x_>2>³+x_>3>³+...+x_>n>³=0,(1.17)

x_>1>⁴+x_>2>⁴+x_>3>⁴+...+x_>n>⁴=,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_>1>ⁿ+x_>2>ⁿ+x_>3>ⁿ+...+x_>n>ⁿ=[1-(-1)ⁿ⁺¹],

Підставляючи знайдене для С_>n> виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x_>1>)+f(x_>2>)+...+f(x_>n>)],(1.18)

де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z_>1>)+f(z_>2>)+...+f(z_>n>)],(1.19)

де

Таблиця 1.2.

Число

ординат

Значення абсцис

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

-x1 = x2 = 0.577350

-x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0

-x1 = x4 = 0.794654; -x2 = x3 = 0.187592

-x1 = x5 = 0.832498; -x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0

-x1 = x6 = 0.866247; -x2 = x5 = 0.4225І9; -x3 = x4 = 0.266635

-x1 = x7 = 0.883862; -x2 = x6 = 0.529657; -x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0

Z_>i>=+x_>i>, (i=1,2,...,n),(1.20)

а xi мають вкaзані в таблиці значення.

Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:

2. Розробка та опис логічної частини програми

Програма складається з двох блоків. Це – інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з комп’ютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.

При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:

обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.

обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.

обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку

Задається крок обчислення h=0.1;

Задається крок обчислення h=0.2;

Задається крок обчислення h=0.5;

Про автора – довідка про автора програми;

Вихід з програми – здійснюється вихід з програмного середовища ТР;

Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.

Тип TMenuItems – масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode – процедура для ініціалізації графіки, VGA - тип графічного драйверу, VGAHi – тип графічного режиму.

DrawCursor(x,y:integer) – процедура для малювання курсору;

HideCursor(x,y:integer) – процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;

Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char – функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;

Procedure menu(x,y:integer;…var poin:integer) – дана процедура власне виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.

3. Функціональне призначення програми

Програма призначена для обчислення визначеного інтегралу I=, методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків, також дає змогу зменшити похибку обчислень за рахунок зменшення кроку інтегрування.

Програма має гарний інтерфейс користувача з меню, що керується з клавіатури. Результати обчислень виводяться на екран монітора.

Дана програма пристосована для вирішення тільки одного інтегралу, а тому є вузько спеціалізованою, проте можлива зміна підінтегральної функції шляхом корегування програмного коду.

Комп'ютер може швидко опрацьовувати дані і виводити результати на екран.

4. Вхідні та вихідні дані

Вхідні дані:

1. Інтеграл: I=;

2. Крок обчислень 0.1,0.2,0.5;

3. Порядок інтегрування: третього , четвертого та п’ятого порядку.

Вихідні дані:

Значення інтегралу, що знаходить программа.

Загальна похибка по заданим методам.

Порівняння результатів з точним значенням.

5. Результати розрахунків

Результатами обчислень є знаходження значення визначеного інтеграла I=, , зазначеними методами, з кроком: h=0.1, h=0.2, h=0.5.

При розрахунку інтегралу 3-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2.649061117170

Загальна похибка: 0.0316342854