Система счисления (работа 1)
Содержание
Что такое система счисления?
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Сложение в различных системах счисления
Вычитание в различных системах счисления
Умножение в различных системах счисления
Деление в различных системах счисления
Что такое система счисления?
Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
|
Двоичная система |
Четверичная система |
Восьмеричная система |
Десятичная система |
Шестнадцатиричная система |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
10 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
11 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
100 |
10 |
4 |
4 |
4 |
|
101 |
11 |
5 |
5 |
5 |
|
110 |
12 |
6 |
6 |
6 |
|
111 |
13 |
7 |
7 |
7 |
|
1000 |
20 |
10 |
8 |
8 |
|
1001 |
21 |
11 |
9 |
9 |
|
1010 |
22 |
12 |
10 |
A |
|
1011 |
23 |
13 |
11 |
B |
|
1100 |
30 |
14 |
12 |
C |
|
1101 |
31 |
15 |
13 |
D |
|
1110 |
32 |
16 |
14 |
E |
|
1111 |
33 |
17 |
15 |
F |
|
10000 |
40 |
20 |
16 |
10 |
Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – "p". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:
N = a>n>pn+a>n-1>pn-1+ ... +a>1>p+a>0>+a>-1>p-1+a>-2>p-2+ ... (1.1)
здесь N – число, a>j> – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
N = a>n>a>n>>-1> ... a>1>a>0> . a>-1>a>-2> ...
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
|
|
|
|
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 75>10> = 1 001 011>2> = 113>8> = 4B>16>.
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Для перевода неправильной
десятичной дроби в систему счисления
с недесятичным основанием
необходимо отдельно перевести целую
часть и отдельно дробную. Перевести
23.125>10>
2
с.с.
|
1. Переведем целую часть: |
2. Переведем дробную часть: |
3. Таким образом: |
|
|
|
23>10> = 10111>2>; 0.125>10> = 0.001>2>. Результат: 23.125>10> = 10111.001>2>. |
Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).
Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S.
Таблица
|
Перевести
1101111001.1101>2> |
Перевести
11111111011.100111>2> |
|
|
|
Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.
|
Перевести
305.4>8> |
Перевести
7B2.E>16> |
|
|
|
Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R, при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R = KN.
Перевести 175.24>8>"16"
с.с.
Результат: 175.24>8> = 7D.5>16>.
Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.
Для всего этого примеры
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Например:
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:
Сложение в различных системах счисления
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Вычитание в различных системах счисления
Умножение в различных системах счисления
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Деление в различных системах счисления
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
1