Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

5


Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка: 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.

Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ:

F1(X>1>, X>2>, X>3>)=0,5arctg(X>1>+X>2>)+0,2ln(1+X2>1>+ X2>2>+X2>3>)-0,05(X>1>X>2>-X>1>X>3>-X>2>X>3>)+85X>1>-20X>2>+35X>3>-99;

F2(X>1>, X>2>, X>3>)=5arctg(X>1>+X>2>+X>3>)-25,5X>1>+19,5X>2>-15,5X>3>+15;

F3(X>1>, X>2>, X>3>)=-0,3cos(X>1>-2X>2>+X>3>)+0,5exp(-0,25(X2>1>+X2>2>+X2>3>-3))-44,75X>1 >+20,25X>2>+5,25X>3>+18.

Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.

В программе реализуются:

1) работа с BGI графикой;

2) работа с файлами.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Цель создания программного продукта

1.2. Постановка задачи

2. Математическая модель

3. Описание и обоснование выбора метода решения

4. Обоснование выбора языка программирования

5. Описание программной реализации

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

      Цель создания программного продукта

Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений.

1.2 Постановка задачи

В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:

0,5arctg(X>1>+X>2>)+0,2ln(1+X2>1>+ X2>2>+X2>3>)-0,05(X>1>X>2>-X>1>X>3>-X>2>X>3>)+85X>1>-

-20X>2>+35X>3>-99;

5arctg(X>1>+X>2>+X>3>)-25,5X>1>+19,5X>2>-15,5X>3>+15;

-0,3cos(X>1>-2X>2>+X>3>)+0,5exp(-0,25(X2>1>+X2>2>+X2>3>-3))-44,75X>1>+20,25X>2>+

+5,25X>3>+18.

Начальным приближением (X>0>) должны служить X>1,0>=0, X>2,0>=0, X>3,0>=0. Необходимо ввести точность (ξ) вычисления корня системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X>1> и X>3>). Для этого третья компонента решения (X>3>) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F>1>), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X>1>>min>; X>1>>max>] и [X>3>>min>; X>3>>max>]).

2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид:

F>1>(X>1>,…,X>n>)=0

…

Fn(X>1>,…,X>n>)=0

, где F>i> – функция n переменных.

Решением СНАУ является вектор X=(X>1>,…,X>n>), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.

При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей.

Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X>0>. Суть метода заключается в построении последовательности точек X>0>, …, X>n>, сходящихся к решению.

Рекуррентная формула имеет вид:

X>k>>+1>=X>k>+W(X>0>)-1F(X>k>), где W(X>0>)-1 – обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1) от начального приближения X>0>, а F(X>k>) – вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном, на предыдущем шаге.

Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е √F>2>2(X>n>>+1>)+ F>2>2(X>n>>+1>)+ F>2>2(X>n>>+1>), меньше определённой погрешности (ξ):

√F>2>2(X>n>>+1>)+ F>2>2(X>n>>+1>)+ F>2>2(X>n>>+1>) < ξ.

3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.

По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.

4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.

Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.