Решение прикладных задач численными методами
Кафедра №83
информатики и вычислительной математики
Дисциплина: «ИНФОРМАТИКА»
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: «Решение прикладных задач численными методами»
Москва 2009 г.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
Получение практических навыков по применению численных методов при решении прикладных задач на ЭВМ общего назначения, с использованием программ сложных циклических алгоритмов, включая редактирование программ в ЭВМ, отладку программ, выполнение расчетов на периферийные устройства.
Время: 12 часов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Работа состоит из 2-х частей.
Цель первой части курсовой работы: получить практические навыки в использовании численных методов решения не линейных уравнений используемых в прикладных задачах.
Для выполнения 1 части работы необходимо:
Составить программу и рассчитать значения функции в левой части нелинейного уравнения для решения задачи отделения корней;
Составить логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом, указанным в таблице;
Ввести программу в компьютер, отладить, решить задачу с точностью ε>=0,0001 >и вывести результат;
Предусмотреть в программе вывод на экран дисплея процессора получения корня.
Задание на выполнение первой части курсовой работы:
Вариант №21.
Уравнение: 0,25x3+x-1,2502=0:
Отрезок, содержащий корень: [0;2].
Математическое описание численных методов решения
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии).
Этот метод позволяет отыскать корень уравнения с любой наперёд заданной точностью εε . искомый корень x уравнения уже отделен, т.е.указан отрезок [а, в] непрерывности функции f(x) такой, что на концах этого отрезка функция f(x) принимает различные значения:
f(a)*f(b)>0
В
начале находится середина отрезка [ a,
b
]:
и вычисляется значение функции в точке с, т.е. находится f(c). Если f(c)=0, то мы точно нашли корень уравнения. Если же f(c)≠0 ,то знак этой величины сравнивается со знаками функции y= f(x) в концах отрезка [ a, b ]. Из двух отрезков [ a, с], [ с, b ] для дальнейшего рассмотрения оставляется тот, в концах которого функция имеет разные знаки. С оставленным отрезком поступаем аналогичным образом. расчет прекращается, когда оставленный отрезок будет иметь длину меньше 2ε. В этом случае принимаем за приближенное значение корня середину оставленного отрезка и требуемая точность будет достигнута.
График функции.
Для выделения корней рассчитаем значения функции на заданном отрезке [0,2] с шагом 0,0001 и по полученным данным построим график функции.
Как видно из рисунка график пересекает ось Х один раз, следовательно, на данном отрезке [ 0, 2] наше уравнение имеет один корень.
Алгоритмы нахождения корней уравнения
I. Cтруктурная схема алгоритма: Метод дихотомии
f(a>0>), f(b>0>)
n=0
>C>>=>an+bn
2
да
нет
нет
да
x=c
a>n+1>= c ; b>n+1>= b>n>
a>n+1>=a>n >; b>n+1>=c
n=n+1
да
нет
>X>>=>an+bn
2
Листинг программы имеет вид
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double f(double x)
{
return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
int n=0;
double x,a=0.,b=2.,eps=0.0001;
while (fabs(a-b)>2*eps)
{
x=(a+b)/2,
n++;
printf("step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,x,f(x));
if (f(x)==0)
{
printf("Tothnii koreni x=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,n);
return 0;
}
else if (f(a)*f(x)<0) b=x;
else a=x;
}
printf("Reshenie x=%11.8lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,eps,n);
return 0;
}
Метод хорд:
1. Этот метод заключается в том, что к графику функции проводится хорда. Находим точку пересечения с осью OX и опускаем из этой точки прямую параллельную OY. Из точки пе-ресечения прямой и графика проводим хорду и операция повторяется до тех пор, пока точка пересечения хорды с осью OX не приблизиться к корню функции до заданной погрешности.
Шаг первый:
Нас интересует точка пересечения с осью ОХ.
Сделаем допущение: х=x1
y=0
Введем обозначение
x>0>
f(
)=f(x>0>)
Подставим в уравнение
Отсюда
x1=x>0>-
Шаг второй:
x2=x1-
Для n-го шага:
x>n>=x>n>>-1>-
Условием нахождения корня
является:
2. Нелинейное уравнение и условие его решения: 0,25x3+x-1,2502=0:
3. График функции:
4. Схема алгоритма:
1
2
3
4
5
6
7
да
нет
8
9
10
11
12
5. Таблица идетификаторов:
|
Обозначение |
Идентификатор |
Тип |
|
n |
n |
int |
|
|
a |
double |
|
|
b |
double |
|
|
eps |
double |
|
x |
x |
double |
|
f(x) |
f(x) |
double |
6. Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double f(double x)
{
return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
FILE*jad;
jad=fopen("D:text.txt","w");
int n=0;
double x,a=0,b=2.,eps=0.0001,xn;
xn=a;
while (fabs(xn-x)>eps)
{
x=xn;
n++;
xn=x-f(x)*(b-x)/(f(b)-f(x));
printf("step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,xn,f(xn));
fprintf(jad,"step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,xn,f(xn));
}
printf("pribligennoe znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n",xn,eps,n);
fprintf(jad,"pribligennoe znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n",xn,eps,n);
fclose(jad);
return 0;
}
7. Листинг решения:
Анализ результатов:
|
метод дихотомии |
метод хорд |
|
|
значение корня |
-0.28766 |
-0.287700 |
|
значение функции |
-0.000045 |
-0.00002140 |
|
количество итераций |
13 |
6 |
Вывод: Метод дихотомии прост в реализации, но обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью.
Часть 2
Использование численных методов решения дифференциальных уравнений для тактико-специальных задач
Вариант №21.
Задание на выполнения второй части курсовой работы:
Дифференциальное уравнение:
Точное решение уравнения:
Начальные условия: x>0> = 0 , y>0 >=0, x>max>=2.
Метод решения: метод Эйлера-Коши, Δx = 0,01; 0,005; 0,001.
Метод Эйлера-Коши
Метод Эйлера-Коши (или усовершенствованный метод Эйлера) является методом второго порядка и заключается в следующем. Интегральная кривая на каждом шаге интегрирования заменяется прямой с тангенсом угла наклона, равным среднему арифметическому тангенсов углов наклона касательных к искомой функции в начале и в конце шага. Вычисления проводятся в следующем порядке:
Выбираем шаг интегрирования
.
Полагаем номер шага
.
Вычисляем
,
находим оценку для приращения функции
на этом шаге методом Эйлера
,
,
вычисляем среднее арифметическое
тангенсов углов наклона
и окончательно получаем:
.
Если
,
то увеличиваем номер шага
на единицу и повторяем п.3. В противном
случае переходим к выполнению п.5.
Оформляем полученный результат.
Достоинство метода – более высокая точность вычисления по сравнению с методом Эйлера. Недостаток – больший объем вычислений правых частей.
Таблица идентификаторов:
|
Обозначение |
Идентификатор |
Тип |
|
s |
s |
int |
|
i |
i |
int |
|
x |
x |
float |
|
x>max> |
x_max |
float |
|
x1 |
x1 |
float |
|
Δx |
h[i] |
float |
|
y |
y |
float |
|
d |
d |
float |
|
f(x) |
f(x) |
float |
|
k |
k(x,y) |
float |
|
K1 |
f1 |
float |
|
K2 |
f2 |
float |
|
K3 |
f3 |
float |
|
K4 |
f4 |
float |
Схема алгоритма:
6. Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int s,i;
double x, x1, x_max=2, y, d, q;
double h[3]={0.01,0.005,0.001};
double k(double x,double y )
{
return ((x)/(4+(pow(x,4))));
}
double e(double x)
{
return 0.25*atan(pow(x,2)/2);
}
double f1=k(x,y);
double yw=y+f1*h[i];
double r=x+h[i];
double fl=k(r,yw);
int main(void)
{
FILE*sev;
sev=fopen("E:result34.xls","w+");
for (i=0;i<=2;i++)
{
s=0; y=0;
fprintf(sev,"h(%i)=%lf\n",i,h[i]);
for(x=0;x<=x_max;x+=h[i])
{
s++;
x1=x+h[i];
y+=(f1+fl)*h[i]/2;
d=y-e(x1);// y- pribl. f(x)- tochnoe
printf(" step =%4.i x=%6.4lf \ty=%6.4lf yt=%6.4lf d=%10.8f\n",s,x1,y,e(x1),d);
fprintf(sev," \t step =\t%4.i\t x=\t%10.5lf\t y=\t%10.5lf\t yt=\t%10.5lf\t d=\t%10.5f\n",s,x1,y,e(x1),d);
}
}
fclose(sev);
return 0;
}
Вывод:
Интегрированная среда Visual С позволяет обрабатывать программы, записанные на языке С++ . Для программирования циклических алгоритмов были использованы операторы организации циклов с параметрами, решение использует форматируемый вывод и оператор присваивания, а также использовались операторы вызова функций. Чем больше шаг, тем точнее вычисления.