Решение задач моделирования и оптимизации с помощью программ Excel и Mathcad

Новосибирская государственная академия водного транспорта

Омский филиал

КУРСОВАЯ РАБОТА

По информатике

Решение задач моделирования и оптимизации с помощью программ Excel и Mathcad

Выполнил студент:

Назарова Наталья Евгеньевна

группа ЭК-23

Проверила: Иванова Татьяна Леонидовна.

г. Омск-2006 г.

Содержание.

Лист заданий

Введение

Задача нахождения оптимальной ставки налога. Имитационное моделирование

Производственная задача

Транспортная задача

Лист заданий

Задача №1 (билет №23К):

Исследовать средствами Excel и Mathcad зависимость оптимальной ставки налога от величины начального капитала предприятия.

Исходные данные:

Начальный капитал фирмы (млн. руб.): 7010, 8010, 9010, 10010, 10210, 10310.

Интервал моделирования 10 лет.

Рентабельность фирмы 80%.

Налоговая ставка: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%.

Задача №2 (билет№47II):

Туристическая фирма в летний сезон обслуживает в среднем 10000 туристов и располагает флотилией из двух типов судов. В месяц выделяется 9000 тонн горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 1000 человек. Определить количество судов первого и второго типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации первого типа – 20 млн. руб., а от второго – 30 млн. руб. в месяц, если судов первого типа должно быть в два раза больше судов второго.

Показатели

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Пассажировместимость, чел.

2000

1000

Горючее, тонны

700

800

Экипаж

100

100

Задача №3 (билет№59ТВ):

На заводах А1, А2, А3 имеется груз, поставляемый на склады В1, В2, В3. Запасы на заводах: 500, 600, 400 тонн соответственно. Нужно поставить груз на склады соответственно 500, 600, 500 тонн. Найти план перевозок груза, при котором затраты на перевозку были бы минимальными. Условия перевозки:

1. Минимальное количество поставляемого груза с завода А1 и завода А2 к каждому потребителю составляет 160 тонн.

2. С завода А2 на склад В1 нужно привезти не более 200 тонн, а с завода А3 на склад В1 – не менее 100 тонн.

Потребители

В1

В2

В3

Поставщики

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

Введение.

Microsoft Excel.

Называть Excel просто «электронной таблицей» - все равно, что употребить в отношении Word термин «текстовый редактор». Вроде бы все сказано, а на самом деле ничего. Так как по количеству возможностей, скрытым и открытым функциям и кругу решаемых задач Excel, вероятно может обскакать тот же Word, не говоря уже об остальных программах.

И это не удивительно. Любой текстовой редактор, и Word в том числе, программа одномерная, линейная. Пользователь же Excel живет и работает уже в двух измерениях, оперируя сотнями, а то и тысячами отдельных, автономных элементов информации.

Рабочее поле Excel поделено вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные ячейки. Объединенные по вертикали ячейки составляют столбцы, а по горизонтали – строки. А заполнить эти клеточки можно чем угодно – текстом, численными значениями, даже графикой. Правда, для того, чтобы введенная вами информация обрабатывалась корректно, необходимо присвоить ячейке (а чаще – целому столбцу или строке) определенный формат:

  • Общий – это ячейки могут содержать как текстовую, так и цифровую информацию.

  • Числовой – для цифровой информации.

  • Денежный – для отображения денежных величин в заранее заданной пользователем валюте.

  • Финансовый – для отображения денежных величин с выравниванием по разделителю и дробной части.

  • Дата.

  • Время.

  • Процентный.

  • Дробный.

  • Экспоненциальный.

  • Текстовый.

  • Дополнительный – этот формат используется при составлении небольшой базы данных или списка адресов для ввода почтовых индексов, номеров телефонов, табельных номеров.

Операцию эту, как и многие другие, можно выполнить с помощью Контекстного меню ячейки или выделенного фрагмента таблицы. При этом объем информации, которую вы можете внести в клетки рабочего поля Excel, не ограничен видимой площадью клетки: как столбцы, так и строки обладают способностью услужливо растягиваться под напором пользовательской фантазии. Кроме того, «внутренности» каждой клетки могут иметь, куда большие размеры, чем видимая пользователю часть.

Рабочая книга – основной документ Microsoft Excel, состоящий из листов, максимальное количество которых составляет 255.

Создание новой книги.

Файл/ Создать.

Группировка листов.

Ряд операций (копирование, перемещение, удаление, параллельный ввод информации на нескольких листах) могут выполняться как для одного листа, так и для группы листов одновременно.

Создание группы из смежных листов.

  • Щелкнуть клавишей мыши на первом листе ярлыка.

  • Нажать и удерживать Shift.

  • При нажатой клавише Shift щелкнуть по последнему ярлыку листа.

Создание группы из несмежных листов.

  • Щелкнуть клавишей мыши на ярлыки первого листа и нажать Ctrl.

  • Прощелкать остальные ярлыки листа.

  • В результате выделенные листы группы имеют подсвеченные ярлыки. Теперь можно осуществлять параллельный ввод данных и другие операции.

Для снятия выделенных листов нужно выполнить команду контекстного меню «Группировать листы».

Операции с листами.

  • Переименование: Формат/ Лист/ Переименовать (максимальная длина имени листа 31 символ).

  • Перемещение и копирование листа: Правка/ Переместить/ Скопировать.

  • Выделенные (сгруппированные) листы можно временно скрыть с помощью: Формат/ Лист/ Скрыть.

  • Для просмотра и открытия скрытых листов: Формат/ Лист/ Отобразить.

Примечание и индикатор.

Примечание и индикатор – маленький красный треугольник в верхнем правом углу ячейки.

Ввод примечания.

  • Выделить ячейки.

  • Команда Ставка/ Примечание.

  • Ввод текста.

Изменение примечания.

Вставка/ Изменить примечание.

Другие команды контекстного меню.

  • Удалить примечание.

  • Скрыть примечание.

  • Отобразить примечание.

Лист диаграммы.

На отдельном листе диаграмм может разместиться одна диаграмма. На листе электронной таблицы может разместиться произвольное количество диаграмм. Количество листов диаграмм в пределах одной книги не ограничено.

Панель инструментов «Рисование» позволяет включить дополнительные элементы для диаграммы.

Форматирование ячеек.

Формат/ Ячейки.

Прогрессии.

Создание прогрессии используется для автоматического заполнения больших блоков ячеек числами, значения которых подчиняются арифметической и геометрической прогрессии.

  • Выделение блока смежных или несмежных ячеек.

  • Правка/ Заполнить/ Прогрессия или команда контекстного меню «Прогрессия».

  • Задание параметров прогрессии.

Типы адресации ячеек в Excel.

Ссылки – адреса ячеек.

  • Относительный тип адресации – способ, при котором адрес ячейки определяется как пересечение столбца и строки. В этом случае Excel заполняет расположение относительной текущей ячейки. Этот тип адресации применяется при заполнении больших таблиц формулами.

  • Абсолютная адресация. Используется при копировании формул, когда требуется сохранить ссылку на конкретную ячейку или область ячейки. При задании этой ссылки используется знак - $.

  • Смешанная адресация – адресация, при которой один параметр адреса изменяется, а другой нет.

Ошибки при вводе или редактировании формул.

  • ##### - ширина ячеек недостаточна для отображения результата.

  • # ИМЯ ? – если программа не распознала имя функции или имя ячейки, которая используется в формуле.

  • # ЗНАЧ! – некорректное использование функции, например несоответствие данных установленному формату (вместо числа и даты в аргументе используется текст), либо если для функции, которая требует единственного значения аргумента, задан диапазон данных.

  • # ЧИСЛО! – возникают проблемы с представлением или использованием чисел, например функции с числовым аргументом используется аргумент нечислового формата.

  • # ССЫЛКА! – указывает на проблему с адресацией ячеек, участвующих в формуле, например, формула содержит ссылку на ячейку, которая уже удалена.

  • # ДЕЛ/0! – при попытке деления на 0 такая ситуация возникает из-за того что в качестве делителя используется ссылка на пустую ячейку или ячейку с нулем.

  • # ПУСТО! – в случае задания в ссылке пустого множества ячеек.

  • # Н/Д – сообщение говорит о наличии неопределенных данных.

Если после ввода формул не появились сообщения об ошибках, то это означает, что формулы введены правильно.

Для отладки программы часто необходимо использовать команду: Сервис/ Зависимости/ Панель зависимостей.

Программа оптимизации в Excel.

С помощью данного оптимизатора можно находить множество значений переменных удовлетворяющих критериям оптимизации. Результаты работы оптимизатора могут быть оформлены в виде отчета. Можно полученные значения занести в таблицу.

Программа оптимизации в Excel вызывается командой Сервис /Поиск решения. В результате выполнения команды появляется диалоговое окно «Поиск решения».

В диалоговом окне «Поиск решения» поле «Установить целевую» служит для указания целевой ячейки, значение которой нужно максимизировать, минимизировать или задать равным какому-то числу.

В указанной целевой ячейке должна храниться формула.

В поле «Изменяя ячейки» указываются адреса ячеек значения, которых меняются до тех пор, пока не выполняются все ограничения и само условие оптимизации целевой функции. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. В Excel допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Поле «Ограничения» вводим, изменяем, удаляем ограничения с помощью соответствующих кнопок, предварительно выделив нужное ограничение.

Команда «Выполнить» служит для запуска программы оптимизации.

Команда «Закрыть» служит для выхода из диалогового окна без запуска оптимизатора, при этом все введенные установки сохраняются.

Кнопка «Параметры» служит для настройки алгоритма и программы оптимизации.

Кнопка «Восстановить» служит для очистки полей диалогового окна, при этом принимаются параметры, принятые по умолчанию.

Ввод и редактор ограничений.

В окне «Поиск решения» щелкнуть по кнопке «Добавить», в результате появляется еще одно окно.

В поле «Ссылка на ячейку» вводится адрес на ячейку или диапазон ячеек на значение которых вводится ограничения.

В поле «Ограничения» вводится адрес ячейки или диапазон ячеек, в которых содержится или вычисляется ограничиваемое значение.

Кнопка «Добавить» нужна для добавления следующего ограничения.

При нажатии «ОК» возврат в окно «Поиск решения».

Настройка параметров алгоритма и программы.

Настройка параметров алгоритма и программы производится в окне «Параметры поиска решения». Для его вызова необходимо в окне «Поиск решения» щелкнуть по кнопке «Параметры».

В окне «Параметры поиска решения» задаются:

  • В поле «Максимальное время» устанавливаются ограничения на время время решения задачи. По умолчанию время решения задачи равно 100 секунд. Максимальное время – 32767 секунд.

  • В поле «Относительная погрешность» задается точность рения задачи. В поле должно содержаться число в интервале от 0 до 1. Чем меньше введенное число, тем выше точность результата. С другой стороны, чем выше точность результата, тем больше требуется времени на нахождение решения. По умолчанию относительная погрешность равна 0,000001.

  • Поле «Сходимость» необходимо для решения нелинейных задач.

  • Поле «Допустимое отклонение» используется для решения целочисленных задач.

  • Кнопки «Оценка», «Разность», «Метод поиска» служат для выбора алгоритмов оптимизации и их параметров.

Запуск и результаты работы оптимизатора.

После ввода всех параметров решения запускаем оптимизатор нажатием кнопки «Выполнить» в окне «Поиск решения». Программа начинает работать, в строке сообщений слева внизу листа выходит сообщение «Постановка задачи».

По окончании счета появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения». Результаты работы оптимизатора, возможно, вывести в виде отчета на отдельном листе. В отчете «Результаты» для целевой ячейки и изменяемых ячеек указываются исходные и конечные значения ячеек и формулы ограничения.

Отчет «Устойчивость» содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели или в формулах ограничений.

Задача №1 (билет №23К).

Задача нахождения оптимальной ставки налога. Имитационное

моделирование.

Определение проблемы: Государство стремится увеличить налоги, чтобы наполнить бюджет для выполнения социальных и оборонных функций. Бизнес жалуется, что налоги высоки. Экономисты утверждают, что высокие налоги сдерживают развитие экономики, то есть накопление бюджета в будущем.

Проблема: Теория и практика не знают величину применяемой для всех налоговой ставки.

Задача: В определении и обосновании величины налоговой ставки.

Рабочая гипотеза: Поступление в бюджет за определенный период времени будут наибольшими не при максимальной налоговой ставке, а при каком-то значении, называемым оптимальным, то есть с увеличением налоговой ставки ожидаем, что поступления в бюджет сначала увеличатся, а затем уменьшатся.

Цель работы: Исследовать зависимость налоговых поступлений в бюджет за фиксированный период времени от величины налоговой ставки на прибыль.

Постановка задачи. Словесная модель.

Источником развития бизнеса налогового накопления бюджета является прибыль предприятия. Государство объявляет ставку налога на прибыль и получает от фирмы отчисления в бюджет. Фирмы обладают собственным капиталом, производят прибыль и по налоговой ставке отчисляют в бюджет.

Постналоговая прибыль (все, что осталось у фирмы от прибыли) полностью включается в собственный капитал фирмы, то есть в данной задаче считаем что никаких других отчислений от прибыли не производится, таким образом, вся прибыль распределяется на два потока:

  1. в бюджет

  2. в остаток в собственный капитал фирмы.

Математическая модель.

Исходные данные задачи:

1. Величина налоговой ставки С>n>;

2. Рентабельность фирмы Rent;

3. Начальный капитал фирмы К>нач.>;

4. Интервал моделирования t;

П – прибыль;

S>бюдж./год> – отчисления в бюджет за год;

П = К>нач.> * Rent;

П>налог >= П * С>n>;

П>ост. >= П * (1 – С>n>) = П – П>налог>;

П>капитализ. >= П>ост.>;

К>сальдо >= К>нач.> + П>ост.>;

S>бюдж./год> = П>налог>;

>t>

S>бюдж./период> = ∑ S>бюдж./год>;

>1>

В данной задаче эта математическая модель реализуется виде имитационной табличной модели в Excel, то есть создается таблица, где для фирмы с заданными значениями рентабельности, начального капитала и ставки налога, по формулам рассчитывается сумма отчислений в бюджет за заданный период времени t

Однофакторный имитационный анализ.

Время

год

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Начальный капитал

млн. руб.

7010

12057,2

20738,38

35670,02

61352,44

105526,2

181505

312189

536964,5

923579

Ставка налога

%

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Рентабельность

%

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

Прибыль

млн. руб.

5608

9645,76

16590,71

28536,02

49081,95

84420,95

145204

249751

429571,6

738863,2

Прибыль в налог

млн. руб.

560,8

964,576

1659,071

2853,602

4908,195

8442,095

14520,4

24975,1

42957,16

73886,32

Прибыль в остаток

млн. руб.

5047,2

8681,184

14931,64

25682,41

44173,75

75978,86

130684

224776

386614,5

664976,9

Капитализированная прибыль

млн. руб.

5047,2

8681,184

14931,64

25682,41

44173,75

75978,86

130684

224776

386614,5

664976,9

Капитал сальдо

млн. руб.

7010

12057,2

20738,38

35670,02

61352,44

105526,2

181505

312189

536965

923579

1588556

Поступление в бюджет за год

млн. руб.

560,8

964,576

1659,071

2853,602

4908,195

8442,095

14520,4

24975,1

42957,16

73886,32

Поступление за период

млн. руб.

0

560,8

1525,376

3184,447

6038,048

10946,24

19388,34

33908,7

58883,8

101841

175727,3

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 7010 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

560,8

1525,38

3184,45

6038,048

10946,24

19388,34

33908,74

58883,84

101841

175727

20%

1121,6

2961,02

5977,68

10924,99

19038,59

32344,89

54167,22

89955,84

148649

244906

30%

1682,4

4306,94

8401,23

14788,32

24752,18

40295,81

64543,86

102370,8

161381

253437

40%

2243,2

5563,14

10476,6

17748,63

28511,17

44439,73

68014,01

102903,9

154541

230964

50%

2804

6729,6

12225,4

19919,62

30691,46

45772,05

66884,87

96442,81

137824

195758

60%

3364,8

7806,34

13669,2

21408,1

31623,49

45107,8

62907,1

86402,17

117416

158353

70%

3925,6

8793,34

14829,3

22313,99

31594,95

43103,33

57373,73

75069,03

97011,2

124219

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 7010 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 253437 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 8010 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

640,8

1743

3638,72

6899,4

12507,76

22154,15

38745,94

67283,8

116369

200795

20%

1281,6

3383,4

6830,42

12483,5

21754,51

36959

61894,35

102788

169854

279843

30%

1922,4

4921,3

9599,7

16897,9

28283,17

46044,14

73751,26

116974

184402

289590

40%

2563,2

6356,7

11971,2

20280,5

32578,39

50779,21

77716,43

117584

176587

263912

50%

3204

7689,6

13969,4

22761,2

35069,7

52301,58

76426,22

110201

157485

223683

60%

3844,8

8919,9

15619,1

24462

36134,68

51542,58

71881,01

98727,7

134165

180943

70%

4485,6

10048

16944,8

25497,2

36102,07

49252,17

65558,29

85777,9

110850

141940

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 8010 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 289590 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 9010 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

720,8

1960,6

4092,99

7760,74

14069,3

24920

43583,1

75683,8

130897

225863

20%

1441,6

3805,8

7683,15

14042

24470,4

41573,1

69621,5

115621

191060

314780

30%

2162,4

5535,7

10798,2

19007,5

31814,1

51792,5

82958,7

131578

207424

325744

40%

2883,2

7150,3

13465,7

22812,4

36645,6

57118,7

87418,9

132263

198633

296859

50%

3604

8649,6

15713,4

25602,8

39447,9

58831,1

85967,6

123959

177146

251608

60%

4324,8

10034

17569,1

27516

40645,9

57977,4

80854,9

111053

150915

203533

70%

5045,6

11302

19060,3

28680,3

40609,2

55401

73742,8

96486,7

124689

159660

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 9010 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 325744 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 10010 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

800,8

2178,2

4547,26

8622,09

15630,8

27685,8

48420,3

84083,8

145425

250932

20%

1601,6

4228,2

8535,89

15600,5

27186,3

46187,2

77348,6

128453

212265

349716

30%

2402,4

6150,1

11996,6

21117,1

35345,1

57540,8

92166,1

146181

230445

361897

40%

3203,2

7943,9

14960,2

25344,3

40712,8

63458,2

97121,3

146943

220678

329807

50%

4004

9609,6

17457,4

28444,4

43826,2

65360,7

95508,9

137716

196807

279534

60%

4804,8

11147

19519

30569,9

45157,1

64412,1

89828,8

123379

167665

226122

70%

5605,6

12557

21175,7

31863,5

45116,3

61549,8

81927,4

107196

138528

177380

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 10010 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 361897 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 10210 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

816,8

2221,7

4638,12

8794,36

15943,1

28238,9

49387,8

85763,8

148330

255945

20%

1633,6

4312,7

8706,43

15912,2

27729,5

47110

78894

131020

216506

356704

30%

2450,4

6273

12236,3

21539,1

36051,3

58690,5

94007,5

149102

235050

369128

40%

3267,2

8102,7

15259,1

25850,7

41526,3

64726,1

99061,8

149879

225088

336397

50%

4084

9801,6

17806,2

29012,7

44701,8

66666,6

97417,2

140468

200739

285119

60%

4900,8

11370

19909

31180,7

46059,3

65699,1

91623,6

125844

171015

230640

70%

5717,6

12807

21598,8

32500,1

46017,7

62779,6

83564,3

109337

141296

180925

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 10210 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 369128 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Отчисления в бюджет при разных налоговых ставках для фирм с начальным капиталом 10310 млн. руб.

Период

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ставка налога

Сумма

10%

824,8

2243,5

4683,54

8880,5

16099,3

28515,5

49871,5

86603,8

149783

258452

20%

1649,6

4354,9

8791,71

16068

28001,1

47571,4

79666,8

132303

218627

360197

30%

2474,4

6334,5

12356,2

21750

36404,4

59265,3

94928,3

150563

237352

372743

40%

3299,2

8182

15408,6

26103,9

41933

65360

100032

151347

227292

339692

50%

4124

9897,6

17980,6

29296,9

45139,7

67319,5

98371,3

141844

202705

287912

60%

4948,8

11481

20104

31486,1

46510,4

66342,6

92521

127077

172690

232899

70%

5773,6

12933

21810,4

32818,4

46468,5

63394,5

84382,8

110408

142680

182697

Вывод: За период 10 лет с начальным капиталом 10310 млн. руб. наибольшие отчисления в бюджет составляют 372743 млн. руб. при налоговой ставке 30%.

Двухфакторный имитационный анализ.

Зависимость поступлений в бюджет от ставки налога и величины начального капитала за период 10 лет.

Начальный капитал

7010

8010

9010

10010

10210

10310

Ставка налога

Сумма

Ставка налога 10%

175727

200795

225863

250932

255945

258452

Ставка налога 20%

244906

279843

314780

349716

356704

360197

Ставка налога 30%

253437

289590

325744

361897

369128

372743

Ставка налога 40%

230964

263912

296859

329807

336397

339692

Ставка налога 50%

195758

223683

251608

279534

285119

287912

Ставка налога 60%

158353

180943

203533

226122

230640

232899

Ставка налога 70%

124219

141940

159660

177380

180925

182697

Решение в Excel:

Таблица оптимальных ставок налога:

Начальный капитал

Оптимальная ставка налога

Начальный капитал 7010

30%

Начальный капитал 8010

30%

Начальный капитал 9010

30%

Начальный капитал 10010

30%

Начальный капитал 10210

30%

Начальный капитал 10310

30%

Решение в Mathcad:

Cn – ставка налога;

Kn7010 – начальный капитал, равный 7010 млн. руб.;

Kn8010 – начальный капитал, равный 8010 млн. руб.;

Kn9010 – начальный капитал, равный 9010 млн. руб.;

Kn10010 – начальный капитал, равный 100010 млн. руб.;

Kn10210 – начальный капитал, равный 10210 млн. руб.;

Kn10310 – начальный капитал, равный 10310 млн. руб.;

Таблица оптимальных ставок налога:

Начальный капитал

Оптимальная ставка налога

Начальный капитал 7010

30%

Начальный капитал 8010

30%

Начальный капитал 9010

30%

Начальный капитал 10010

30%

Начальный капитал 10210

30%

Начальный капитал 10310

30%

Анализ и вывод результатов.

При изменении начального капитала фирмы ставка налога остается неизменной, равной 30%. Чем больше начальный капитал фирмы, тем больше отчисления в бюджет. Следовательно, государству выгоднее облагать более высокими налогами.

Задача №2 (билет № 47 II).

Производственная задача.

При управлении экономикой и разработке бизнес-планов фирм менеджеры всегда стремятся к наилучшим (оптимальным) решениям. Т.к. данная работа по информатике и компьютерным расчетам, то детально рассматривается технология разработки модели и решения задачи с помощью различных программ. Экономические проблемы подобных задач рассматриваются в специальных дисциплинах.

Цель работы.

Научиться составлять наилучший (оптимальный) план производства продукции с учетом ограниченного обеспечения материальными ресурсами. Все необходимые расчеты выполнять на ЭВМ, используя общеизвестные программы.

Выделение проблемной системы.

План производства продукции обычно представляется в виде таблицы, включающей перечень продукции и плановые объемы производства в натуральном выражении (штуки, тонны, литры, и т.д.) При разработке плана уточняется цель производства: максимизация прибыли, максимизация реализации, снижение затрат и пр.

Возможные объемы производства зависят от обеспеченности тремя видами ресурсов: труд, машины и оборудование, материалы и комплектующие.

В данной задаче выбираем проблемную систему, включающую номенклатуру производства с искомыми объемами. Критерием производства принимаем максимизацию прибыли. Из ресурсов будем учитывать лишь ограничения по комплектующим узлам и деталям.

Постановка задачи.

Туристическая фирма в летний сезон обслуживает в среднем 10000 туристов и располагает флотилией из двух типов судов. В месяц выделяются 9000 тонн горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 1000 человек.

Задача сводится к определению количества каждого вида изделий для получения наибольшей прибыли, т.е. оптимальное соотношение объемов выпуска разных типов изделий в плане выпуска продукции. (Определить: количество судов первого и второго типа, чтобы обеспечить максимальный доход, при условии, что судов первого типа должно быть в два раза больше чем судов второго типа).

Дано:

Количество показателей на месяц:

пассажировместимость – 10000 человек, горючее – 9000 тонн, экипаж – 1000 человек.

Прибыль от эксплуатации судна:

первого типа – 20000000 рублей,

второго типа – 30000000 рублей.

Показатели по каждому типу судов:

Показатели

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Пассажировместимость, чел.

2000

1000

Горючее, тонны

700

800

Экипаж

100

100

Найти максимальную прибыль.

Ручной поиск оптимального плана.

Цель: составить оптимальный план вручную

Используя стандартный программный пакет Excel, необходимо интуитивно задать пять возможных вариантов выпуска количества судов. Но по данным этой задачи это невозможно. Я нашла один наилучший интуитивный вариант выпуска количества продукции для получения максимальной прибыли.

Судно 1 типа

2

Судно 2 типа

1

Расход на 1 продукцию

Расход по плану

Показатели

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Расход показателей по плану

Количество показателей

Пассажировместимость

2000

1000

4000

1000

5000

10000

Горючее

700

800

1400

800

2200

9000

Экипаж

100

100

200

100

300

1000

Прибыль, руб.

20000000

30000000

40000000

30000000

70000000

Вывод:

Данный план является наилучшим планом с помощью программы Excel.

Программный поиск оптимального решения.

1. Нахождение оптимального решения с помощью программы оптимизации в Excel:

Судно 1 типа

4

Судно 2 типа

2

Расход на 1 продукцию

Расход по плану

Показатели

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Судно 1 типа

Судно 2 типа

Расход показателей по плану

Количество показателей

Пассажировместимость

2000

1000

8000

2000

10000

10000

Горючее

700

800

2800

1600

4400

9000

Экипаж

100

100

400

200

600

1000

Прибыль, руб.

20000000

30000000

80000000

60000000

140000000

Excel получил результат:

Судов первого типа 4 штуки, судов второго типа 2 штуки.

Прибыль составляет 140000000 руб.

Отчет:

Целевая ячейка (Максимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$F$9

Прибыль, руб. Расход показателей по плану

0

140000000

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$B$2

Судно 1 типа

0

4

$B$3

Судно 2 типа

0

2

Ограничения

Ячейка

Имя

Значение

Формула

Статус

Разница

$B$2

Судно 1 типа

4

$B$2=$B$3*2

не связан.

0

$F$6

Пассажировместимость Расход показателей по плану

10000

$F$6<=$G$6

связанное

0

$F$7

Горючее Расход показателей по плану

4400

$F$7<=$G$7

не связан.

4600

$F$8

Экипаж Расход показателей по плану

600

$F$8<=$G$8

не связан.

400

$B$2

Судно 1 типа

4

$B$2>=0

не связан.

4

$B$3

Судно 2 типа

2

$B$3>=0

не связан.

2

2. Нахождение оптимального решения в системе Mathcad.

Введем обозначения:

Суда первого типа – s.

Суда второго типа – n.

Прибыль от реализации всей продукции – P.

Mathcad получил результат:

Судов первого типа – 4 штуки, судов второго типа – 2 штуки.

Прибыль составляет 140000000 руб. Совпадает с результатом решения оптимизатора Excel.

Построение таблицы полученных решений.

№

План найденный вручную

План, найденный программным путем

1

Excel

Mathcad

Прибыль, руб.

70000000

140000000

140000000

Вывод:

Наибольшая прибыль от реализации продукции получается при решении с помощью программы оптимизатора в Excel и в системе Mathcad.

Анализ оптимального плана и решение менеджера.

Оптимальными планами являются решения, полученные с помощью программ Excel и Mathcad, которые получили одинаковый результат:

Судна первого типа – 4 штуки, судов второго типа – 2 штуки. Прибыль будет составлять 140000000 руб.

При нахождении оптимального плана пассажировместимость остается прежней, равной 10000 человек. Для дальнейшего увеличения прибыли целесообразно увеличить пассажировместимость. Также остается неиспользованными 4600 тонн горючего и не задействованными 400 человек экипажа. В результате заморожены оборотные средства, оборотный капитал, увеличиваются расходы по хранению горючего на складе и не занятости экипажа, теряется прибыль. Завоз горючего можно сократить, а незанятое количество экипажа уволить.

Задача №3 (билет №59 ТВ).

Транспортная задача.

Определение проблемы: В современных условиях большие транспортные расходы связаны:

- с простоями в ожидании погрузочно-разгрузочных работ;

- с нерациональными перевозками;

- с затратами на бензин;

- с порожними пробегами и т. д.

В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения.

Оптимизировать план перевозок груза можно по какому-либо экономическому показателю:

- финансовые затраты на перевозку грузов;

- время, затрачиваемое на перевозку.

Для решения таких задач в линейном программировании разработаны следующие методы:

- Симплекс-метод;

- Метод потенциалов;

- Венгерский метод.

Постановка транспортной задачи: В общем случае заключается в том, что нужно доставить необходимое количество ресурсов от разных поставщиков к разным потребителям. При этом:

- затраты на транспортировку ресурсов должны быть минимальными;

- возможности поставщиков ограничены;

- нужно полностью выполнить заявки каждого потребителя.

Построение экономико-математической модели задачи:

1. Имеются m пунктов отправления (поставщиков грузов),

А>1>, А>2>, А>3> …А>i>, …А>m>

на которых сосредоточены запасы како-либо груза в объемах соответственно:

а>1>, а>2>, а>3> …а>i>, …а>m>

где величина а>i> – максимально возможное количество груза в i пункте отправления. Тогда суммарный запас груза у всех поставщиков составляет:

2. Имеются n пунктов назначения,

B>1>, B>2>, B>3> …B>j>, …B>n>

которые подали заявки на поставку грузов в объемах соответственно:

b>1>, b>2>, b>3>, …b>j>, …b>n>

тогда суммарная величина заявок составляет:

3. Стоимость перевозки 1 единицы груза от поставщика А>i> к потребителю B>j> обозначим c>i>>,>>j> (транспортный тариф).

Общая стоимость перевозок составляет матрицу транспортных издержек С.

Критерием оптимальности выберем суммарные затраты (издержки по перевозки груза).

Все исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы (транспортной), в которой x>i>>,>>j> – значение объема перевозки грузов от поставщика А>i> к потребителю B>j>.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы а>i>

В>1>

В>2>

…В>j>> >...

В>n>

А>1>

c>11>

x>11>

c>1>>2>

x>12>

c>1>>j>

x>1j>

c>1>>n>

x>1n>

а>1>

А>2>

c>2>>1>

x>21>

c>22>

x>22>

c>2j>

x>2j>

c>2n>

x>2n>

а>2>

…А>i>…

c>i1>

x>i1>

c>i2>

x>i2>

c>ij>

x>ij>

c>in>

x>in>

а>i>

А>m>

c>m1>

x>m1>

c>m2>

x>m2>

c>mj>

x>mj>

c>mn>

X>mn>

а>m>

Заявки b>j>

b>1>

b>2>

b>j>

b>n>

Задача заключается в определении плана перевозок матрицы x, где

x (i = 1, m; j = 1, n ),

который удовлетворяет следующим условиям:

1. План перевозок от i поставщика всем потребителям (сумма по строке), ограничивается запасом на складе j поставщика.

2. План поставок j потребителю от всех поставщиков (сумма по столбцу) должен быть не меньше объема заявок j потребителя.

3. Из физического смысла задачи определяем, что объемы перевозок x>ij> не могут быть отрицательными.

x>ij>> >≥ b>j>; j = 1, n

4. Затраты на перевозку равны:

>m n>

P(X) = ∑∑ c>ij>* x>ij>

i=1 j=1

X – план перевозок, то есть матрица X.

Таким образом, экономико-математическая модель задачи можно записать в виде:

- Найти минимальное значение целевой функции:

>m>> >>n>

P(X) = ∑∑ c>ij>* x>ij>> >min

i=1 j=1

Данная экономико-математическая модель является одной из разновидностей транспортной задачи.

Условие: требуется минимизировать затраты на перевозку грузов от заводов поставщиков (А1, А2, А3) на торговые склады В1, В2, В3. Товары могут доставляться с любого завода на любой склад, при условии:

  1. Минимальное количество поставляемого груза с завода А1 и завода А2 к каждому потребителю составляет 160 тонн.

  2. С завода А2 на склад В1 нужно привезти не более 200 тонн груза, а с завода А3 на склад В1 – не менее 100 тонн.

Необходимо учесть:

- возможности поставщиков;

- максимально удовлетворить заявки склада.

Дано:

1. Потребности склада:

В1 – 500;

В2 – 600;

В3 – 400.

2. Мощность заводов:

А1 – 500;

А2 – 600;

А3 – 500.

3. Стоимость перевозки единицы груза:

Потребители

В1

В2

В3

Поставщики

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

Ручной поиск оптимального плана.

Цель: составить оптимальный план вручную

Используя стандартный программный пакет Excel, необходимо интуитивно задать пять возможных вариантов плана перевозки, я нашла наилучший интуитивный план перевозок продукции, при котором затраты на перевозку были минимальные.

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

180

160

160

500

500

А2

160

180

160

500

600

А3

160

260

80

500

500

Поставлено по складу

500

600

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

4980

5480

3360

13820

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

180

160

160

500

500

А2

180

160

160

500

600

А3

140

280

80

500

500

Поставлено по складу

500

600

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

4720

5320

3360

13400

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

180

160

160

500

500

А2

160

200

160

520

600

А3

160

140

80

380

500

Поставлено по складу

500

500

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

4980

4940

3360

13280

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

160

160

160

480

500

А2

160

160

160

480

600

А3

180

270

80

530

500

Поставлено по складу

500

590

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

5140

5250

3360

13750

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

170

170

160

500

500

А2

170

170

170

510

600

А3

160

260

70

490

500

Поставлено по складу

500

600

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

4930

5390

3430

13750

Вывод:

Наилучшим планом из составленных вручную с помощью программы Excel является план №3, т.к. при данном плане затраты на перевозку минимальные и составляют 13280 руб.

Программный поиск оптимального решения.

  1. Нахождение оптимального решения с помощью программы оптимизации в Excel.

Стоимость перевозки единицы груза от завода к складу.

Потребитель

Поставщик

В1

В2

В3

А1

9

6

2

А2

4

15

15

А3

17

7

8

План перевозок от завода к складу

Потребитель

План поставок

Мощность завода

Поставщик

В1

В2

В3

А1

180

160

160

500

500

А2

200

160

160

520

600

А3

120

280

80

480

500

Поставлено по складу

500

600

400

Потребность складов

500

600

400

Стоимость перевозок по каждому складу

Трансп. расходы

4460

5320

3360

13140

Excel получил результат:

С завода А1 в склад В1 необходимо поставить 180 тонн груза, на В2 – 160 тонн, на В3 – 160 тонн. С завода А2 в склад В1 – 200 тонн, в В2 – 160 тонн, в В3 – 160 тонн. С завода А3 в склад В1 – 120 тонн, в В2 – 280 тонн, в В3 – 80 тонн.

Затраты на перевозку составляют 13140 руб.

Отчет.

Целевая ячейка (Минимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$E$16

Трансп. расходы

0

13140

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$B$10

А1 В1

0

180

$C$10

А1 В2

0

160

$D$10

А1 В3

0

160

$B$11

А2 В1

0

200

$C$11

А2 В2

0

160

$D$11

А2 В3

0

160

$B$12

А3 В1

0

120

$C$12

А3 В2

0

280

$D$12

А3 В3

0

80

Ограничения

Ячейка

Имя

Значение

Формула

Статус

Разница

$E$10

А1 План поставок

500

$E$10<=$F$10

связанное

0

$E$11

А2 План поставок

520

$E$11<=$F$11

не связан.

80

$E$12

А3 План поставок

480

$E$12<=$F$12

не связан.

20

$B$13

Поставлено по складу В1

500

$B$13=$B$14

не связан.

0

$C$13

Поставлено по складу В2

600

$C$13=$C$14

не связан.

0

$D$13

Поставлено по складу В3

400

$D$13=$D$14

не связан.

0

$B$10

А1 В1

180

$B$10>=0

не связан.

180

$C$10

А1 В2

160

$C$10>=0

не связан.

160

$D$10

А1 В3

160

$D$10>=0

не связан.

160

$B$11

А2 В1

200

$B$11>=0

не связан.

200

$C$11

А2 В2

160

$C$11>=0

не связан.

160

$D$11

А2 В3

160

$D$11>=0

не связан.

160

$B$12

А3 В1

120

$B$12>=0

не связан.

120

$C$12

А3 В2

280

$C$12>=0

не связан.

280

$D$12

А3 В3

80

$D$12>=0

не связан.

80

$B$11

А2 В1

200

$B$11<=200

связанное

0

$B$12

А3 В1

120

$B$12>=100

не связан.

20

$B$10

А1 В1

180

$B$10>=160

не связан.

20

$C$10

А1 В2

160

$C$10>=160

связанное

0

$D$10

А1 В3

160

$D$10>=160

связанное

0

$B$11

А2 В1

200

$B$11>=160

не связан.

40

$C$11

А2 В2

160

$C$11>=160

связанное

0

$D$11

А2 В3

160

$D$11>=160

связанное

0

2. Нахождение оптимального решения в системе Mathcad.

Mathcad получил результат:

С завода А1 в склад В1 необходимо поставить 180 тонн груза, на В2 – 160 тонн, на В3 – 160 тонн. С завода А2 в склад В1 – 200 тонн, в В2 – 160 тонн, в В3 – 160 тонн. С завода А3 в склад В1 – 120 тонн, в В2 – 280 тонн, в В3 – 80 тонн.

Затраты на перевозку составляют 13140 руб.

Построение таблицы полученных решений.

План, найденный вручную

План, найденный программным путем

№

1

2

3

4

5

Excel

Mathcad

Трансп. расходы

13820

13400

13280

13750

13750

13140

13140

Вывод:

Наименьшие затраты на перевозку грузов получается при решении с помощью программы оптимизатора в Excel и в системе Mathcad.

Анализ результатов.

Из графика видно, что наилучшим планом, составленным вручную является план №4 с транспортными расходами 13280 руб. Оптимальным планом является план полученный с помощью оптимизаторов в Excel и Mathcad. При этом транспортные расходы составляют 13140 руб.

По оптимальному плану мощность завода А1 задействована не полностью, а мощности заводов А2 и А3 полностью.

При долгосрочных планах можно предложить на будущее увеличить мощности заводов А1, а уменьшить мощность в заводах А2 и А3.