Построение и использование имитационных моделей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Кафедра компьютерных образовательных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Построение и использование имитационных моделей

Работу выполнил студент

Машков Андрей Сергеевич

Техническое задание

1. Наименование темы: Построение и исследование имитационных моделей

2. Срок сдачи студентом законченной работы 05.06.07

3. Техническое задание и исходные данные к работе Разработать программу для имитационного моделирования системы массового обслуживания с 2 устройствами. В системе интервалы времени между поступлением требований являются независимыми случайными величинами со средним временем поступления требований =10 (с). Когда требование поступает, а устройство свободно, обслуживание начинается немедленно. Время обслуживания является случайной величиной некоррелированной с интервалами поступления требований. Среднее значение времени обслуживания требований =10 (c). Если при поступлении требования устройства заняты, требование становится в очередь.

Дисциплина обслуживания: циклическая с квантом q=1c.

Оценке подлежат следующие параметры:

    коэффициент использования системы ;

    средняя задержка в очереди ;

    среднее время ожидания ;

    среднее по времени число требований в очереди ;

    среднее по времени число требований в системе .

4. Содержание курсовой работы (перечень подлежащих разработке вопросов):

    Анализ задачи и обзор аналогов;

    Выбор входных распределений;

    Логика работы программы;

    Построение генераторов случайных чисел;

    Статистический анализ выходных данных моделирования;

    Рекомендации по использованию результатов моделирования.

5. Перечень графического материала (с указанием обязательного материала):

    Графики функций распределения вероятностей;

    Графики функций плотности распределения вероятностей;

    График по времени числа требований в очереди;

    График по времени числа требований в системе;

    График по времени коэффициента использования системы;

    Блок-схемы алгоритмов.

6. Исходные материалы и пособия

1. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-ие изд. – СПб.:Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 c.

Содержание

Введение

1. Анализ задачи и обзор аналогов

2. Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных чисел

3. Оценка входных параметров

3.1 Оценки средних значений

3.2 Интервальные оценки

3.3 Проверка статистических гипотез

3.4 Метод гистограмм

4. Логика работы программы

4.1 Блок-схема алгоритма программы

4.2 Интерфейс

5. Планирование эксперимента

5.1 Статический анализ выходных данных моделирования

5.2 Построение факторного плана

5.3 Эффекты взаимодействия и уравнения регрессии

6. Рекомендации по использованию результатов моделирования

Заключение

Приложение А

Приложение Б

Список литературы

Введение

На производстве, в быту, военном деле, науке и т. д. часто встречаются процессы, которые, не вдаваясь в детали, можно описать следующим образом: с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой — происходит постоянное удовлетворение этих запросов. Та часть процесса, в которой возникают запросы, называется обслуживаемой системой, а та, которая принимает запросы и удовлетворяет их,— обслуживающей. Совокупность обслуживающей и обслуживаемой систем составляет систему массового обслуживания. Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного облуживания случайного потока требований при ограниченных ресурсах системы.

Модели системы массового обслуживания являются наиболее часто используемым классом моделей со случайными факторами, что определяется повсеместным распространением систем такого типа.

К настоящему времени разработано много моделей систем массового обслуживания, имеющих аналитическое решение. Но они далеко не исчерпывают все способы функционирования реальных обслуживающих систем. Кроме того, на практике не всегда выполняются предпосылки, лежащие в основе имеющихся аналитических моделей.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

Эффективным методом решения задач теории массового обслуживания, как и многих других, не имеющих аналитического решения, является метод статистического моделирования, предусматривающий, имитацию на ЭВМ процессов, протекающих в исследуемой системе. Математическое описание процесса в этом случае задается алгоритмически. Моделирующий алгоритм многократно воспроизводит изучаемый случайный процесс, накапливает сведения о его протекании, и после обработки выдает оценки показателей работы системы. Целью любого компьютерного эксперимента является сбор информации о значениях переменных модели, наблюдаемых в процессе проведения эксперимента, и состояниях очередей, возникающих в процессе моделирования.

Построение программы имитации поведения СМО основано на программировании цепочки событий, начиная от входных требований, поступающих в случайные моменты времени, занятия и освобождения серверов в соответствии со случайным характером длительности обработки каждого требования. Итогом работы программы является получение статистических отчетов о процессах в системе.

В данной курсовой работе требуется разработать программу для имитационного моделирования системы массового обслуживания с двумя устройствами. В системе интервалы времени между поступлениями требований являются независимыми случайными величинами со средним временем Ā = 10 секунд. Когда требование поступает, а устройство свободно, обслуживание начинается немедленно. Время обслуживания является случайной величиной, некоррелированной с интервалами поступления требований. Среднее значение обслуживания требований – Ŝ = 10 секунд. Если при поступлении требования устройства заняты, то требование становится в очередь. Дисциплина обслуживания циклическая с квантом q=1c.

Оценке подлежат следующие параметры:

    коэффициент использования системы;

    средняя задержка в очереди;

    среднее время ожидания;

    среднее по времени число требований в очереди;

    среднее по времени число требований в системе.

1. Анализ задачи и обзор аналогов

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований. Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В данной работе СМО предназначена для обслуживания какого-то потока требований, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Так как система циклично содержит квант q, то по истечению этого цикла если требование успело обслужиться, то оно покидает систему, в противном случае требование поступает в конец очереди. Далее время обработки этого требования уменьшается на квант q.

Задача данной СМО – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных требований и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока требований и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают, способна ли данная система справляться с потоком требований.

Модель такой системы представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Модель циклическая с квантом q

В действительности, многие системы работают по такому принципу:

    Задача продавца газет. Партии товара Q поступают регулярно через Т, через этот промежуток продается случайное количество товара R, к моменту поставки новой партии старый товар теряет свои потребительские свойства.

2. Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных чисел

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

    Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

    Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

    Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

Таким образом, при моделировании мы генерируем две экспоненциально распределенные псевдослучайные последовательности с заданными средними значениями , .

Чтобы смоделировать экспоненциально распределенную случайную величину сначала генерируется стандартно равномерно распределенная случайная величина U, которая затем преобразуется в величину с экспоненциальным законом распределения согласно формуле:

X = – ln(U),(2.1)

где  - математическое ожидание.

Для генерации стандартно равномерно распределенной случайной величины U используется мультипликативный генератор:

, (2.2)

где: a = 630360016, m = 2147483647.

Рассмотрим вид входных распределений на основе последовательностей из 1000 элементов с входными параметрами генераторов (– случайная величина поступления требований (среднее значение 10), – случайная величина обработки требований (среднее значение 10)):

() =46382 , () = 94215.

3. Оценка входных параметров

3.1 Оценки средних значений

Оценка математического ожидания случайных величин X вычисляется по формуле:


(3.1)

где n – количество элементов.

Для случайных величин и она равна:

Оценка дисперсии случайных величин вычисляется по формуле:

. (3.2)

Для случайных величин и она равна:

Оценка корреляции случайных величин вычисляется по формулам:

, (3.3)

где j = 1,…,n.

Графики корреляции показаны на рисунках 3.1. и 3.2.

Рисунок 3.1 – Корреляция величины

Рисунок 3.2 – Корреляция величины S

Графики зависимости последующего значения от предыдущего представлены на рисунках 3.3 и 3.4.

Рисунок 3.3 – Зависимость от

Рисунок 3.4 – Зависимость от

3.2 Интервальные оценки

Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины определяется формулой:

, (3.4)

где  = 0.95 – доверительная вероятность, - квантиль порядка , = - оценка дисперсии. = 1.96 для доверительной вероятности 0.95.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайных величин и равны:

(9.5886; 10.8315), – попадает в полученный доверительный интервал;

(9.5627; 10.7928), – попадает в полученный доверительный интервал.

3.3 Проверка статистических гипотез

Проверка гипотез об экспоненциальном распределении величин A и S осуществляется с помощью метода 2.

Выдвигаем гипотезу о том, что случайные величины A и S распределены экспоненциально.

Статистическая функция вычисляется по формуле:

, (3.5)

где - это частота попадания в k –й интервал, p>i> - вероятность попадания, которая вычисляется следующим образом

, (3.6)

Расчет проводился на k = 20. Если , то гипотеза принимается, если , гипотеза отвергается. По данным таблицы для k=20 и =0.05, критерий 2 = 31.4.

В результате были получены следующие значения и

Таким образом, обе гипотезы принимаются.

Интервалы: [0 0,4879), [0.4879 1.0008), [1.0008 1.5415), [1.5415 2.1131), [2.1131 2.7193), [2.7193 3.3647), [3.3647 4.0547), [4.0547 4.7957), [4.7957 5.5962), [5.5962 6.4663), [6.4663 7.4194), [7.4194 8.4730), [8.4730 9.6508), [9.6508 10.9861), [10.9861 12.5276), [12.5276 14.3508), [14.3508 16.5823), [16.5823 19.4591), [19.4591 23.5138) .

3.4 Метод гистограмм

На рисунках 3.5 и 3.6 изображены гистограммы с функциями плотностей распределения вероятностей для A и S.

Рисунок 3.5 –Гистограмма величины A

Эта гистограмма показывает, что смоделированная случайная величина A распределена по экспоненциальному закону. Математическое ожидание случайной величины А равно 10.

Рисунок 3.6 –Гистограмма величины S

На гистограмме видно, что смоделированная случайная величина S распределена по экспоненциальному закону. Математическое ожидание случайной величины S равно 10.

На рисунках 3.7 и 3.8 изображены графики функций распределения вероятностей для A и S.

Рисунок 3.7 – Функция распределения величины A

Рисунок 3.8 – Функция распределения величины S

4 Логика работы программы

4.1 Блок-схема алгоритма программы

На рисунке 4.1 представлена логика работы системы массового обслуживания с дисциплиной – циклическая с квантом q.



Генерация входных параметров



Инициализация




Нет




Поступление требования в очередь


Да

Блок поступления требования в устройство



Блок ухода требования и дополнительной обработки



Рисунок 4.1- Блок-схема алгоритма программы

На рисунке 4.2 представлена блок-схема блока поступления требования в устройство.



Планирование времени поступления требования




Нет Да

Функция, обеспечивающая обработку требования

Увеличиваем число требований в очереди на единицу





Рисунок 4.2 – Блок-схема поступления требования

На рисунке 4.3 представлена блок-схема функции, обеспечивающей обработку требования, где q - максимальное время обслуживание требования.

На рисунке 4.4 представлена блок-схема блока ухода требования и дополнительной обработки.



Уменьшение числа требований в очереди на единицу

и вычисление времени обслуживания этого требования



Уменьшение на q оставшегося времени обслуживание для этого требования



Занесение требования в устройство



Планирование события завершения обслуживания для прохождения этого требования




Рисунок 4.3 – Блок-схема функции обработки требования



Удаление требование с обслуживания





Да Нет

Увеличение числа требований на единицу

Прибавляем единицы к числу обработанных требования




Рисунок 4.4- Блок-схема дополнительной обработки или ухода требования

4.2 Интерфейс

К графическому интерфейсу относится управление параметрами системы, такими как изменение входных параметров.

На рисунке 4.5 представлено основное диалоговое окно графического интерфейса.

Рисунок 4.5 - Основное диалоговое окно графического интерфейса

Здесь имеются поля для ввода входных параметров, кнопки управления происходящим процессом.

При нажатии на клавишу «Запуск» мы видим диалоговое окно, представленное на рисунке 4.6. Здесь можно заметить, что поля ввода входных параметров неактивны для изменения. Так же в графе «Выходные параметры системы» результаты показываются только по двум пунктам: системное время и время поступления следующей заявки. Кнопка «Графики» неактивна. Соответственно происходит выполнение работы программы.

Рисунок 4.5 – Диалоговое окно при нажатии на кнопку «Запуск»

При нажатии на кнопку «Стоп» происходит активация полей ввода «Параметры моделируемой системы». Так же выводится информация о промежуточных подсчётах. Можно посмотреть полученные графики. Это можно посмотреть на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6 - Диалоговое окно при нажатии на кнопку «Стоп»

После окончательного прогона моделирования системы массового обслуживания и нажатия на кнопку «Графики» мы увидим:

    график изменения коэффициента использования системы во времени на рисунке 4.7;

    график текущего по времени числа заявок в очереди на рисунке 4.8;

    график текущего по времени числа заявок в системе на рисунке 4.9;

    график среднего по времени числа заявок в очереди и системе на рисунке 4.10.

Рисунок 4.7 - Изменения коэффициента использования системы во времени

Рисунок 4.8 - Текущее по времени число заявок в очереди

Рисунок 4.9 - Текущее по времени число заявок в системе

Рисунок 4.10 - Среднего по времени числа заявок в очереди и системе

5 Планирование эксперимента

5.1 Статический анализ выходных данных моделирования

Для анализа выходных параметров моделирования необходимо рассчитать количество экспериментов для построения факторного плана. Расчет количества экспериментов производится по формуле:

, (5.1)

где - дисперсия, - 5% от математического ожидания на 10 значениях каждого выходного параметра, =1.96 – квантиль порядка .

Результаты расчетов необходимого количества экспериментов приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Количество экспериментов

A1

S1

p

d

w

Q

L

1

254789

251463

0,425622

9,23302

19,0935

0,564

2,2317

2

62315

56514

0,42811

10,1712

20,7671

0,609816

2,24761

3

54789623

1263532

0,500968

10,0617

20,1693

0,757584

2,54167

4

658765

459877

0,480135

8,99325

18,8155

0,549471

2,24218

5

678678

967567

0,421836

8,863665

18,111

0,477824

2,04563

6

872343

976723

0,490978

8,75354

18,384

0,53815

2,24663

7

98745

874509

0,476293

9,028

18,873

0,552332

2,27674

8

2148963

1247896

0,482266

9,24245

19,2856

0,534981

2,21667

9

2652567

4589642

0,411253

8,32548

17,9225

0,432992

2,0688

10

829192

873292

0,472514

9,23085

19,0708

0,622302

2,36714

n

8,090238

5,737406

3,266298

37,26833

5,93063

В таблице 5.1 приняты следующие обозначения: A1 – начальное значение величины A (поступления требования); S1 - начальное значение величины S (обработки требования); p, d, w, Q, L – выходные параметры, соответственно коэффициент использования, системы, средняя задержка в очереди, среднее время ожидания, среднее по времени число требований в очереди, среднее по времени число требований в системе; n – необходимое количество экспериментов вычисленное по формуле 5.1.

Было определено максимальное значение n равное 37.

5.2 Построение факторного плана

В данной СМО входными переменными модели, т.е. факторами являются:

    количество устройств;

    среднее время поступления требований;

    среднее время обработки требований.

Выходными показателями работы СМО, т.е. откликами являются:

    коэффициент использования системы;

    средняя задержка в очереди;

    среднее время ожидания;

    среднее по времени число требований в очереди;

    среднее по времени число требований в системе.

В таблице 5.2 приведены уровни факторов и их значения.

Таблица 5.2 – Значения уровней и факторов

Фактор

-

+

Количество устройств (m)

1

2

Среднее значение

11

12

Среднее значение

8

9

Значения факторов были подобраны эмпирически, основываясь на том, что нужно увеличить загруженность системы (повысить коэффициент использования системы), но при этом не должно создаваться ситуации, когда очередь постоянно возрастает. Т.е. значения двух факторов должны быть ограничены.

Для планирования экспериментов был построен факторный план значения которого приведены в таблице 5.3 .В Приложении А приведены графики контрольных прогонов для каждого эксперимента факторного плана.

Таблица 5.3 – Факторный план

N

M

ρ

d

W

Q

L

1

-

-

-

0,615924

24,9953

32,8826

1,74527

2,52777

2

+

-

-

0,364636

7,10077

15,1911

0,271809

1,48011

3

-

+

-

0,641983

19,9019

27,7597

1,13215

1,84383

4

+

+

-

0,282609

6,37251

13,9526

0,1287

1,08477

5

-

-

+

0,799233

31,835

40,4347

2,48326

3,37997

6

+

-

+

0,395812

7,81768

16,8574

0,265331

1,56789

7

-

+

+

0,619495

25,401

33,9974

1,56838

2,34359

8

+

+

+

0,356732

7,57915

16,4351

0,237693

1,45666

Полный факторный план

Таблица А.1 - Результаты работы системы 1/11/8

№

A

S

ρ

d

w

Q

L

1

25698

25745

0,6755528

20,4441

28,3593

1,27841

2,05395

2

35861

91752

0,680536

21,3554

29,1991

1,37816

2,14923

3

11867

378922

0,639325

19,8888

27,7547

1,21289

1,97175

4

26598

524568

0,657458

22,4653

30,3462

1,51871

2,31604

5

258569

256985

0,667673

20,8268

28,4641

1,35581

2,11021

6

585458

112362

0,596395

17,0318

24,4552

0,975926

1,69182

7

554265

556963

0,692

20,7156

28,8005

1,29098

2,08363

8

659123

456321

0,640571

22,6587

30,8684

1,38142

2,13753

9

542369

758963

0,713228

24,5171

32,0071

1,82475

2,60021

10

369258

741258

0,753513

30,4055

38,7389

2,30473

3,15114

11

456321

321456

0,639594

17,5491

25,3863

0,973815

1,71901

12

258321

123698

0,72446

29,3316

37,4017

2,24594

3,07944

13

546132

963659

0,734653

27,3305

35,6129

1,91317

2,72048

14

658741

336559

0,695646

23,1381

31,4143

1,4804

2,27275

15

439157

496326

0,711085

22,194

30,3506

1,39806

2,1861

16

486248

684268

0,694425

26,9778

35,1111

1,89538

2,68753

17

139852

369562

0,633895

20,6619

28,2276

1,33358

2,07694

18

341254

851147

0,705575

29,6748

37,9012

2,14604

2,94536

19

112354

774584

0,644321

17,6122

25,5628

0,961498

1,70932

20

546378

796541

0,761192

28,0322

36,2059

2,11432

2,95728

21

595985

747856

0,695619

23,7853

32,0953

1,52594

2,31901

22

446623

332256

0,781548

25,304

33,4814

1,77277

2,58992

23

882654

996548

0,743595

26,5645

34,6843

1,92301

2,74851

24

654845

695658

0,574422

17,751

25,1839

1,03218

1,74265

25

502508

360268

0,645467

23,8161

31,7211

1,65099

2,44626

26

459543

302369

0,591592

22,7245

30,5422

1,4158

2,13354

27

201301

800961

0,629991

27,2424

35,1988

1,92285

2,69709

28

548545

965236

0,727015

25,9111

33,9255

1,91621

2,74568

29

502401

658025

0,68132

23,6408

31,7551

1,57362

2,36523

30

990065

365852

0,673105

21,8759

29,6414

1,51489

2,31478

31

326587

562389

0,662329

21,9148

29,5617

1,47498

2,23395

32

743652

780954

0,723818

28,8251

36,8655

2,1632

2,98105

33

559658

412365

0,634386

31,1898

39,2282

2,42949

3,2553

34

678151

511247

0,666739

25,5455

33,4027

1,78458

2,5574

35

548545

965236

0,727015

25,9111

33,9255

1,91621

2,74568

36

502401

658025

0,68132

23,6408

31,7551

1,57362

2,36523

37

654845

695658

0,574422

17,751

25,1839

1,03218

1,74265

38

585458

112362

0,596395

17,0318

24,4552

0,975926

1,69182

Таблица А.2 - Результаты работы системы 2/11/8

№

A

S

ρ

d

w

Q

L

1

543550

543550

0,338698

6,63765

14,8306

0,0359895

1,07935

2

546328

925328

0,325319

6,78376

14,7786

0,182953

1,322

3

512657

14751

0,314471

6,63436

14,1134

0,218668

1,28283

4

65412

365984

0,32293

6,79088

14,8843

0,155927

1,24995

5

541025

850257

0,312803

6,04349

13,5354

0,100849

1,11726

6

132052

956201

0.362961

6.90582

14.8984

0.227443

1.41849

7

548561

523659

0.319346

6.95141

14.6858

0.238178

1.32071

8

745695

652354

0.325195

6.68655

14.9192

0.147331

1.3253

9

569852

258741

0.357333

7.1276

15.5344

0.205545

1.43516

10

789632

123698

0.342605

6.81135

14.9676

0.192304

1.39074

11

120325

669520

0.316259

6.58486

14.6634

0.125711

1.21964

12

885695

336511

0.329522

6.72872

14.6084

0.167234

1.24897

13

125496

695124

0.308968

6.95665

14.969

0.175414

1.23178

14

23584

255963

0.316783

6.70453

14.7566

0.148303

1.22348

15

352147

357159

0.336722

7.22136

15.7185

0.193198

1.37311

16

645123

973451

0.338016

6.27922

13.9954

0.105584

1.19676

17

645121

782223

0.326981

6.54399

14.4811

0.106791

1.17305

18

203265

213025

0.372122

6.76579

14.807

0.192739

1.38204

19

112354

565239

0.319334

6.73003

14.6728

0.162247

1.23175

20

459548

365824

0.361309

6.80957

14.9258

0.15476

1.28074

21

659369

147524

0.318654

6.87234

15.0754

0.140456

1.2272

22

584215

753268

0.365926

6.56857

14.3551

0.163679

1.25831

23

787789

989989

0.366771

6.52882

14.4654

0.187632

1.4107

24

123235

654546

0.384813

7.60551

16.1285

0.2599

1.42453

25

636963

147414

0.344725

6.57443

14.6367

0.135911

1.2607

26

459543

302369

0.295819

6.812

14.6297

0.17923

1.2025

27

645123

973451

0.338016

6.27922

13.9954

0.105584

1.19676

28

645121

782223

0.326981

6.54399

14.4811

0.106791

1.17305

29

915475

984123

0.358508

6.68446

14.6201

0.188477

1.37552

30

990065

365852

0.336152

6.43067

14.1962

0.149999

1.29115

31

745695

652354

0.325195

6.68655

14.9192

0.147331

1.3253

32

569852

258741

0.357333

7.1276

15.5344

0.205545

1.43516

33

659369

147524

0.318654

6.87234

15.0754

0.140456

1.2272

34

65412

365984

0,32293

6,79088

14,8843

0,155927

1,24995

35

541025

850257

0,312803

6,04349

13,5354

0,100849

1,11726

36

512657

14751

0,314471

6,63436

14,1134

0,218668

1,28283

37

546328

925328

0,325319

6,78376

14,7786

0,182953

1,322

38

512657

14751

0,314471

6,63436

14,1134

0,218668

1,28283

Таблица А.3 - Результаты работы системы 1/12/8

№

A

S

ρ

d

w

Q

L

1

990065

365852

0,61843

18,8208

26,5865

1,09074

1,82072

2

256585

6523

0,638141

20,3544

28,4439

1,14575

1,87597

3

555368

333652

0,603842

24,9082

33,3464

1,52609

2,28326

4

352648

333652

0,558157

21,6328

30,0966

1,17218

1,89695

5

666666

335225

0,54776

18,0408

25,6844

0,975644

1,66246

6

132052

568112

0,727417

24,3047

32,7124

1,53687

2,32258

7

223311

996633

0,603162

23,24

31,0355

1,43715

2,14018

8

562551

336221

0,57625

16,0752

23,782

0,781477

1,46213

9

448444

112110

0,629062

19,5658

27,5804

1,10843

1,84356

10

541523

236523

0,652206

24,5259

32,6706

1,54672

2,2922

11

120325

339911

0,584455

19,407

27,2744

1,04603

1,72192

12

885225

335221

0,571277

18,5817

26,3752

1,05846

1,7859

13

654485

225650

0,577097

18,1954

26,37

0,883966

1,57177

14

541263

325852

0,564309

16,6183

24,3225

0,807201

1,47055

15

116633

111856

0,599607

22,5597

30,7084

1,29238

2,00157

16

774123

336214

0,629704

20,499

28,2943

1,21975

1,9422

17

555236

502899

0,584854

20,4274

28,3354

1,12509

1,8123

18

203265

213025

0.372122

6.76579

14.807

0.192739

1.38204

19

112354

565239

0.319334

6.73003

14.6728

0.162247

1.23175

20

459548

365824

0.361309

6.80957

14.9258

0.15476

1.28074

21

659369

147524

0.318654

6.87234

15.0754

0.140456

1.2272

22

584215

753268

0.365926

6.56857

14.3551

0.163679

1.25831

23

787789

989989

0.366771

6.52882

14.4654

0.187632

1.4107

24

123235

654546

0.384813

7.60551

16.1285

0.2599

1.42453

25

636963

147414

0.344725

6.57443

14.6367

0.135911

1.2607

26

459543

302369

0.295819

6.812

14.6297

0.17923

1.2025

27

645123

973451

0.338016

6.27922

13.9954

0.105584

1.19676

28

645121

782223

0.326981

6.54399

14.4811

0.106791

1.17305

29

915475

984123

0.358508

6.68446

14.6201

0.188477

1.37552

30

990065

365852

0.336152

6.43067

14.1962

0.149999

1.29115

31

745695

652354

0.325195

6.68655

14.9192

0.147331

1.3253

32

569852

258741

0.357333

7.1276

15.5344

0.205545

1.43516

33

659369

147524

0.318654

6.87234

15.0754

0.140456

1.2272

34

65412

365984

0,32293

6,79088

14,8843

0,155927

1,24995

35

990065

365852

0,61843

18,8208

26,5865

1,09074

1,82072

36

256585

6523

0,638141

20,3544

28,4439

1,14575

1,87597

37

555368

333652

0,603842

24,9082

33,3464

1,52609

2,28326

38

352648

333652

0,558157

21,6328

30,0966

1,17218

1,89695

5.3 Эффекты взаимодействия и уравнения регрессии

Главные эффекты первого, второго и третьего факторов вычисляются по следующим формулам:

,

, (5.2)

,

где > >– отклики системы.

Эффекты взаимодействия первого и второго, первого и третьего, второго и третьего, первого и второго и третьего факторов вычисляются по следующим формулам:

,

, (5.3)

,

,

где > >– отклики системы.

Значения эффектов для каждого выходного параметра представлены в таблице 5.4.

Таблица 5.4 – Значения эффектов

Параметр

e>1>

e>2>

e>3>

e>12>

e>13>

e>23>

e>123>

p

-0,3192115

-0,0686965

0,06653

-0,6994355

-0,642834

-0,0686965

0,062186

d

-18,315773

-3,1235475

3,5655875

-25,774998

-25,052413

-3,1235475

0,4575825

w

-18,15955

-3,30525

4,48465

-34,1838

-32,7314

-3,30525

0,5327

Q

-1,5063818

-0,424687

0,3191838

-1,7749518

-1,7066363

-0,4246868

0,10430775

L

-1,1264325

-0,556723

0,4529075

-2,6504325

-2,4088725

-0,5567225

0,1591375

Общий вид уравнения регрессии представлен ниже:

, (5.4)

где - коэффициенты уравнения регрессии.

Значения коэффициентов уравнения регрессии представлены в таблице 5.5. Пример вычисления коэффициентов представлен в приложении Б.

Значения коэффициентов уравнения регрессии представлены в таблице 5.5.

Таблица 5.5 – Значения коэффициентов уравнения регрессии

Ρ

d

W

Q

L

-43,2915

-235,808

-45,0088

-59,9977

-85,6907

24,04419

144,1403

66,1593

36,02849

57,9095

3,770473

15,9089

0,5527

4,668797

6,93938

5,335393

47,84272

27,3329

9,391359

12,49551

-2,09804

-10,2775

-4,1604

-2,86784

-4,8038

-0,45454

-3,17093

-1,445

-0,71899

-0,98899

-2,88832

-26,2564

-17,3224

-5,33401

-7,76647

0,248744

1,83033

1,1306

0,417231

0,63655

Уравнения регрессии для каждого из откликов:

ρ = - 43.2915 + 24.04419m + 3.770473 + 5.335393 - 2.09804 - 0.45454 - 2.88832m + 0.248744m;

d = - 235.808 + 144.1403m + 15.9089 + 47.84272 - 10,2775m - 3.17093 - 26.2564m + 1.83033m;

w = - 45.0088+ 66.1593m + 0.5527 + 273329- 4.1604m - 1.445 - 17.3224m + 1.1306m;

Q= - 59.9977 + 36.02849m + 4.668797 + 9.391359 - 2.86784m - 0.71899 - 5.33401m + 0.417231m;

l = -85.6907 + 57.9095m + 6.93938 + 12.49551 - 4.8038m - 0.98889 - 7.76647m + 0.63655m.

По уравнениям регрессии для значения для входных параметров m=2, =10, =10 получаем:

ρ = 0.4231; d =8.2874; w = 18.1298; Q = 0.1710; l =1.4828.

Для проверки адекватности уравнений регрессии используем метод малых приращений. Так, для значений m, , значения были получены выше. В таблице 5.6 представлены результаты при малом приращении с (dm = 0,04), (d = 0,2),(d =0,2):

Таблица 5.6 – Метод малых приращений

N

Dm

d

d

Ρ

d

w

Q

L

1

0

0

0

0.4231

8.2874

18.1298

0.1710

1.4828

2

-0,04

0

0

0.4609

9.8100

19.5541

0.3417

1.6483

3

0,04

0

0

0.3853

6.7568

16.7055

0.0003

1.3173

4

0

-0,2

0

0.4223

8.2331

18.0510

0.1535

1.4482

5

0

0,2

0

0.4239

8.3336

18.2086

0.1886

1.5174

6

0

0

-0,2

0.4255

8.2380

17.9598

0.1954

1.5221

7

0

0

0,2

0.4208

8.3288

18.2998

0.1466

1.4435

6. Рекомендации по использованию результатов моделирования

После исследования данной имитационной модели массового обслуживания и ее анализа, были получены следующие данные, о том что коэффициент использования системы с тремя заданными параметрами равен 46%, среднее время ожидания 19 секунды, средняя задержка в очереди 9,2 секунды, среднее по времени количество требований в очереди 0,56, среднее по времени количество требований в системе 2,24.

Полученные выходные параметры, свидетельствует о том, что смоделированная нами система массового обслуживания является недогруженной и не достаточно эффективной.

Опираясь на анализ выходных данных моделирования можно сделать следующий вывод: система массового обслуживания будет достаточно эффективной при коэффициенте использования системы 79,9%, который достигается при минимальном количестве устройств равном 1, минимальном времени поступления требования равным 11 секунд и максимальном времени обработки требования равным 9 секунд. При таких входных параметрах системы мы получим среднее время ожидания равное 40 секундам, среднюю задержку в очереди 31,8, среднее по времени количество требований в очереди 2,5, среднее по времени количество требований в системе 3,4.

Следует отметить, что увеличение показателей среднего времени ожидания, средней задержки в очереди, среднего по времени количества требований в очереди и среднего по времени количества требований в системе являются допустимыми для достижения оптимального коэффициента использования системы.

Графики рекомендуемых параметров (коэффициент использования системы, по времени числа требований в очереди и системе) представлены в приложении A на рисунках А.9 и А.10.

Заключение

В процессе роботы над курсовым проектом «Построение и использование имитационных моделей» была разработана и создана программа имитационной модели системы массового обслуживания с циклической дисциплиной с квантом q, тремя входными факторами и пятью выходными параметрами. Задачи, поставленные в ходе курсового проекта, считаются выполненными. На основе статистического анализа выходных данных были даны рекомендации по выбору оптимальных параметров системы.

Список литературы

    Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-ие изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2008.

    Советов Б.Я.Моделирование систем: Учебник для вузов 3-е изд., стер. - М.: Высшая школа.,2009.-295с.

    Крылов Н.П., Самосвалов И.Т. Учебник по имитационному моделированию экономических процессов. 3-е изд, - Москва 2009- 458с.

    Труб И.И. Объектно-ориентированное моделирование на C++, издательство СПб.: Питер; 2008- 346с.

Приложение А

На рисунках А.1, А.2, А.3, А.4, А.5, А.6, А.7, А.8 приведены графики контрольных прогонов для каждого эксперимента факторного плана представлены

Рисунок А.1 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =11, =8

Рисунок А.2 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =11, =8

Рисунок А.3 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =12, =8

Рисунок А.4 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =12, =8

Рисунок А.5 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=21, =11, =9

Рисунок А.6 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=1, =12, =9

Рисунок А.7 – Среднее число требований в очереди и системе для факторов m=2, =12, =9

Так же рекомендуемыми параметрами использования системы являются параметры, указанные на графике А.9

Рисунок А.9 – Рекомендуемые параметры использования системы m=1, =11, =9

Рисунок А.9 – Рекомендуемый параметр коэффициента использования системы

Приложение Б

Расчет коэффициентов уравнения регрессии для коэффициента использования системы представлены ниже.

где

Для всех остальных выходных параметров коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются аналогично.