Пособие MathCAD

1. Рабочее окно MathCAD

      Панель Математика (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель:

Панель калькулятора

Панель исчислений

Панель графики

Булевая панель

Панель векторов и матриц

Панель греческих символов

Панель оценки

Панель программирования

2. Элементы языка MathCAD

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.

2.1 Операторы

Операторы — элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т.д.

Оператор определяет:

а) действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

б) сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд — число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 — операнды оператора «+» (плюс), а число 5 — операнд факториала (!).

Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами:

      нажав клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре;

      используя математическую панель.

Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:

— знак присвоения (вводится нажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панели Калькулятор);

Такое присвоение называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

— глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

— оператор приближенного равенства (x1). Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; на клавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели.

= — оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы или переменной.

Простейшие вычисления

Процесс вычисления осуществляется при помощи:

Панели Калькулятора, Панели Исчислений и Панели Оценки.

Внимание. Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки.

2.2 Константы

Константы — поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

Например,  = 3.14.

Размерные константы — это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т.д.

Чтобы записать размерную константу, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставка подпункт Юнит. В измерениях наиболее известные вам категории: Length — длина (м, км, см); Mass — вес (гр, кг, т); Time — время (мин, сек, час).

2.3 Переменные

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание. MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL [0.001]- погрешность числовых расчетов, ORIGIN [0] — нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Name =N>begin>,(N>begin>+Step)..N>end>,

где Name — имя переменной;

N>begin> — начальное значение;

Step — заданный шаг изменения переменной;

N>end> — конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f(x) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x — для этого она должна быть ранжированной переменной.

>Внимание. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет его равным 1.>

Пример. Переменная x изменяется в диапазоне от –16 до +16 с шагом 0.1

Чтобы записать ранжированную переменную, нужно ввести:

- имя переменной (x);

- знак присвоения (:=)

- первое значение диапазона (–16);

- запятую;

- второе значение диапазона, которое является суммой первого значения и шага (–16+0.1);

- многоточие (..) — изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры);

- последнее значение диапазона (16).

В результате у вас получится: x := –16,–16+0.1..16>.>

>Таблицы вывода>

>Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.>

>В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их.>

>Переменная с индексом>

>Переменная с индексом — это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).>

>Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки xn на панели Калькулятор.>

>В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.>

>Пример.>> Ввод индексных переменных.>

>i>>:= 0..2 — индекс изменяется от 0 до 2 (индексная переменная будет содержать 3 элемента).>

— ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;

— вывод значения первого элемента вектора S;

— вывод значения нулевого элемента вектора S.

2.4 Массивы

Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса.

В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

    одномерные (векторы);

    двухмерные (матрицы).

Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов:

    выбрать пункт меню Вставка - Матрица;

    нажать комбинацию клавиш Ctrl + M;

    нажать кнопку на Панели векторов и матриц.

В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:


Rows — число строк

Columns — число столбцов

Если матрице (вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем — оператор присвоения и после — шаблон матрицы.

Н

Шаблон матрицы

апример:

Оператор присвоения

Имя


Матрица — двухмерный массив с именем М>n>>,>>m>, состоящий из n строк и m столбцов.

С матрицами можно выполнять различные математические операции.

2.5 Функции

Функция — выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Примеры функций: sin(x), tan(x) и др.

Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:

    Выбрать пункт меню Вставка – Функция.

    Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

    Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.

    Набрать имя функции на клавиатуре.

Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:

    ввести имя функции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f(x);

    ввести оператор присвоения (:=);

    ввести вычисляемое выражение.

Пример. f(z) := sin(2z2)

3. Форматирование чисел

В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format (Формат чисел) со следующими форматами:

      General (Основной) — принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком (например, 1.22105). Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places.

      Decimal (Десятичный) — десятичное представление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).

      Scientific (Научный) — числа отображаются только с порядком.

      Engineering (Инженерный) — числа отображаются только с порядком, кратным трем (например, 1.22106).

Внимание. Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок, формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа.

Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование – Результат и во вкладке Tolerance, в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога.

4. Работа с текстом

>Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т.д. Они вставляются при помощи пункта меню >>Вставка>> >>–>> >>Текстовый регион>>.>

>Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер, начертание, выравнивание и т.д. Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню >>Форматирование>> >>–>> >>Текст>>.>

5. Работа с графикой

При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке.

В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков, поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиков векторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них.

>5.1>> Построение двухмерных графиков>

Для построения двухмерного графика функции необходимо:

    задать диапазон значений аргумента;

    задать функцию;

    установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку X-Y Plot (двухмерный график);

    в появившемся шаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник с метками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на месте центральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);\

Имя переменной

Имя функции

Рис. 2.1. Шаблон двухмерного графика

щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен.

Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.

Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:

t:= –2, –1.8 .. 2,

где: –2 — начальное значение диапазона;

–1.8 (–2 + 0.2) — второе значение диапазона (начальное значение плюс шаг);

2 — конечное значение диапазона.

!Внимание. Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры.

Пример. Построение графика функции y = x2 на интервале [–5,5] с шагом 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Построение графика функции y = x2

При построении графиков необходимо учитывать следующее:

      Если диапазон значений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [–10,10].

      Если в одном шаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываются через запятую.

      Если две функции имеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на оси ординат (Y) через запятую указываются имена функций, а по оси абсцисс (X) — имена обеих переменных тоже через запятую.

      Крайние метки данных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.

Примечание. Если после построения график не принимает нужный вид, можно:

      уменьшить шаг.

      изменить интервал построения графика.

      уменьшить на графике предельные значения абсцисс и ординат.

Пример. Построение окружности с центром в точке (2,3) и радиусом R = 6.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами (x>0>,y>0>) и радиусом R записывается в виде:

Выразим из этого уравнения y:

Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности. Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:

      начальное значение диапазона = x>0> – R;

      конечное значение диапазона = x>0> + R;

      шаг лучше взять равным 0.1 (рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Построение окружности

Параметрический график функции

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y, рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра): x(t) и y(t). При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента.

Пример. Построение окружности с центром в точке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнение окружности

x = x>0 >+ Rcos(t) y = y>0 >+ Rsin(t) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Построение окружности

Форматирование графиков

Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:

        X-Y Axes — форматирование осей координат. Установив нужные флажки можно:

          Log Scale — представить численные значения на осях в логарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейном масштабе)

          Grid Lines — нанести сетку линий;

          Numbered — расставить числа по координатным осям;

          Auto Scale — автоматический выбор предельных численных значений на осях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленные значения);

          Show Marker — нанесение меток на график в виде горизонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанному значению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводить ничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);

          Auto Grid — автоматический выбор числа линий сетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);

          Crossed — ось абсцисс проходит через нуль ординаты;

          Boxed — ось абсцисс проходит по нижнему краю графика.

        Trace — форматирование линии графиков функций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:

          символ (Symbol) на графике для узловых точек (кружок, крестик, прямоугольник, ромб);

          вид линии (Solid — сплошная, Dot — пунктир, Dash — штрихи, Dadot — штрих-пунктир);

          цвет линии (Color);

          тип (Туре) графика (Lines — линия, Points — точки, Ваr или Solidbar — столбики, Step — ступенчатый график и т.д.);

          толщину линии (Weight).

        Label — заголовок в области графика. В поле Title (Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение — вверху или внизу графика (Above — вверху, Below — внизу). Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции (Axis Labels).

        Defaults — с помощью этой вкладки можно вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вами изменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for Defaults).

5.2 Построение полярных графиков

Для построения полярного графика функции необходимо:

    задать диапазон значений аргумента;

    задать функцию;

    установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку Polar Plot (полярный график);

    в местах ввода появившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имя функции (слева).

Пример. Построение лемнискаты Бернулли: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Пример построения полярного графика

5.3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики)

При построении трехмерных графиков используется панель Graph (График) математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика.

Быстрое построение графика

Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо:

    задать функцию;

    установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (График) и в открывшейся панели кнопку (Поверхностный график);

    в единственное место шаблона введите имя функции (не указывая переменные);

    щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен.

Пример. Построение графика функции z(x,y) = x2 + y2 – 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример быстрого построения поверхностного графика

Построенным графиком можно управлять:

      вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;

      масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);

      анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.

Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.

При быстром построении графика по умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от –5 до +5 и число контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:

    дважды щелкнуть по графику;

    в открывшемся окне выбрать вкладку Quick Plot Data;

    ввести новые значения в области окна Range1 — для первого аргумента и Range2 — для второго аргумента (start — начальное значение, end — конечное значение);

    в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;

    щелкнуть на кнопке Ок.

Пример. Построение графика функции z(x,y) = –sin(x2 + y2) (рис. 2.9).

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от –2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z(x,y) = –sin(x2 + y2)

Форматирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения — появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше.

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option — параметры линий, Point Options — параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x) = 0. Решить уравнение аналитически — значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6.1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F(x) = 0 существует специальная функция

root(f(x),x),

где f(x) — выражение, равное нулю;

х — аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f(x) равно 0.

!Внимание. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

!Внимание. Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6.2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots(v)

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots(v), где v — вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция Polyroots не требует начального приближения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6.3 Решение уравнений с помощью функции Find(x)

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Если задано уравнение f(x) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given – Find:

– задать начальное приближение

x:= х0

– ввести служебное слово

Given

– записать уравнение, используя знак жирное равно

– написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

find(x)=

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

      указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

      дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика — points, толщину линии — 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace2 изменены: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить матричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve(A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr.

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve(A,B)

Lsolve(A,B) — это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример. Дана система уравнений:

.

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given – Find, необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given – Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

Общие рекомендации по решению уравнений и систем уравнений

Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение.

    Можно подобрать другое начальное приближение.

    Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math ► Options (Математика – Опции), вкладка Built-In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

Внимание. При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х1,> >х2, х3, х4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given – Find.

Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given – Find необходимо:

    задать начальные приближения для всех переменных;

    ввести служебное слово Given;

    записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

    написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание. Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Дана система уравнений

.

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат

Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений

Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х) и по оси Оу (значения у) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace3 и trace4 изменим: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8. Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8.1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения .

Если построен график функции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в данной точке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й способ. Сравнение знаков производной. Определяют знак производной в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «–», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «–» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й способ. Вычисление второй производной. В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.

>Пример. >>Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции > >.>

>Сначала построим график функции (рис. 6.1).>

Рис. 6.1. Построение графика функции

Определим по графику начальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функции f(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение . Для решения используем блок Given – Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов

Определим вид экстремумов первым способом, исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение вида экстремума

Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.

>Определим вид экстремумов >>вторым способом>>, вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).>

Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной

Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит, точка х2 соответствует минимуму функции.

8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

>Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции >>f>>(>>x>>)>>, отрезком [>>a>>,>>b>>] на оси >>Ox>> и двумя вертикалями >>х>> = >>а>> и >>х>> = >>b>>, >>a>> >>< >>b>>, определяется по формуле: > >.>

>Пример>>. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями >>f>>(>>x>>) = 1 – >>x>2> и>> >>y>> = 0.>

>Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями >>f>>(>>x>>) = 1 – >>x>2> и >>y>> = 0>

>Площадь фигуры, заключенной между графиками функций >>f>>1(>>x>>)>> и >>f>>2(>>x>>)>>и прямыми >>х>> = >>а>> и >>х>> = >>b>>, вычисляется по формуле:>

!

>Внимание.>> Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.>

Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и . Решение представлено на рисунке 6.6.

    >Строим график функций.>

    >Находим точки пересечения функций с помощью функции >>root>>. Начальные приближения определим по графику.>

    >Найденные значения >>x>> подставляем в формулу > > как пределы интегрирования.>

8.3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:

    Прямая задается уравнением y = ax + b,

где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

    Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы, проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:

    Парабола задается уравнением

y = ax2 + bх + с, где

а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

.

    Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.

    Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

    Окружность задается уравнением

,

где x0,y0 — координаты центра окружности;

R — радиус окружности.

    Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

.

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.

>Пример>>. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).>

>Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:>

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Построение окружности