Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
2.2 Недостатки метода
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4. Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
ВВЕДЕНИЕ
Метод Ньютона (также известный как метод касательных)— это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность.
Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат.Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x>n>, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.
Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат.Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x>n> вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.
В 1879 году Артур Кэли в работе The Newton-Fourier imaginary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.
Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом Ньютона.
1. Постановка задачи
Дано уравнение:
.
Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна и дифференцируема на отрезке [A;B].
Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X>0>, от которого алгоритм начинает идти.
Пусть уже вычислено X>i>, вычислим X>i+1> следующим образом. Проведём касательную к графику функции F(X) в точке X = X>i>, и найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. X>i+1> положим равным найденной точке, и повторим весь процесс с начала.
Нетрудно получить следующее выражение:
X>i>>+1> = X>i> - F(X>i>) / F'(X>i>)
Интуитивно ясно, что если функция F(X) достаточно "хорошая", а X>i> находится достаточно близко от корня, то X>i+1> будет находиться ещё ближе к искомому корню.
Пример 1.
Требуется найти корень уравнения
,
с точностью
.
Производная функции
равна
.
Возьмем за начальную точку
,
тогда
-9.716215;
5.74015;
3.401863;
-2.277028;
1.085197;
0.766033;
0.739241.
Таким образом, корень уравнения
равен 0.739241.
Пример 2.
Найдем корень уравнения функции методом Ньютона
cosx = x3.
Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции
f(x) = cosx − x3.
Имеем выражение для производной
.
Так как
для всех x и x3
> 1 для x > 1,
очевидно, что решение лежит между 0 и 1.
Возьмём в качестве начального приближения
значение x>0>=
0.5, тогда:
1.112141;
0.90967;
0.867263;
0.865477;
0.865474033111;
0.865474033102.
Таким образом, корень уравнения функции
cosx = x3 равен 0.86547403.
Пример 3.
Требуется найти корень уравнения
,
с точностью
.
Производная функции
равна
.
Возьмем за начальную точку
,
тогда
-2.3;
-2.034615;
-2.000579;
-2.0.
Таким образом, корень уравнения
равен -2.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
Пусть корень x
уравнения
отделен
на отрезке [a,
b],
причем
и
непрерывны и сохраняют
определенные знаки при
.
Если на некотором произвольном шаге n
найдено приближенное значение корня
,
то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим
, (1)
где
считаем малой величиной. Применяя
формулу Тейлора, получим:
.
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня
. (2)
Геометрически метод Ньютона
эквивалентен замене дуги кривой
касательной,
проведенной в некоторой точке кривой.
В самом деле, положим для определенности,
что
при
и
(рисунок 1).
Выберем, например,
,
для которого
.
Проведем касательную к кривой
в точке B>0>
с координатами
.
Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона
В качестве первого приближения
корня x
возьмем абсциссу точки пересечения
касательной с осью Ox.
Через точку
снова проведем касательную, абсцисса
точки пересечения которой даст второе
приближение
корня
x и
т.д.
Формулу для уточнения корня
можно получить из прямоугольного
треугольника
,
образованного касательной, проведенной
в точке B>0>,
осью абсцисс и перпендикуляром,
восстановленным из точки
.
Имеем
.
Так как угол образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.
.
Тогда
или для любого шага n
.
В качестве начальной точки
можно принять либо один из
концов отрезка [a,
b],
либо точку внутри этого интервала. В
первом случае рекомендуется выбирать
ту границу, где выполняется условие
,
т.е. функция и ее вторая производная
в точке
должны быть одного знака.
В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия
.
Как следует из последнего
неравенства, требуется при расчете
запоминать три значения аргумента
.
В практических инженерных расчетах
часто применяют сравнение аргументов
на текущей и предыдущей итерациях:
.
При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня . Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций.
2.2 Недостатки метода
Пусть
.
Тогда
.
Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится, и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.
Рисунок 2. Иллюстрация расхождения
метода Ньютона, примененного к функции
с начальным приближением в точке
Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.
Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.
Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.
Пусть
.
Тогда
и следовательно
.
Таким образом сходимость метода не
квадратичная, а линейная, хотя функция
всюду бесконечно дифференцируема.
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4.
Условные обозначения:
FUNCTN, FX – функция;
DFUNCTN, DFDX – производная функции;
A – рабочая переменная;
START, X0 – начальное значение;
PRES, E –точность вычисления.
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для поиска корня уравнения методом Ньютона
Рисунок 4 – Блок-схема решения задачи для функции NEWTOM
4. Программная реализация решения задачи
Файл FUNCTION.txt (Пример 1)
;ФУНКЦИЯ COSX - X3
(DEFUN F(X)
(- (COS X) (* X X X))
)
;ПРОИЗВОДНАЯ -sinx-3x2
(DEFUN DFDX (X)
(- (* -1 (SIN X)) (* 3 X X))
)
(SETQ X0 0.5)
(SETQ E 0.0001)
Файл FUNCTION.txt (Пример 2)
;ФУНКЦИЯ x-cosx
(DEFUN F(X)
(- X (COS X))
)
;ПРОИЗВОДНАЯ 1+sinx
(DEFUN DFDX (X)
(+ 1 (SIN X))
)
(SETQ X0 -1)
(SETQ E 0.0001)
Файл FUNCTION.txt (Пример 3)
;ФУНКЦИЯ X2+2X
(DEFUN F(X)
(+ (* X X) (* 2 X))
)
;ПРОИЗВОДНАЯ 2X+2
(DEFUN DFDX (X)
(+ 2 (* 2 X))
)
(SETQ X0 -2.3)
(SETQ E 0.0001)
Файл NEWTON.txt
;ПОДГРУЖАЕМ ФУНКЦИЮ
(LOAD "D:\\FUNCTION.TXT" )
;РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА
(DEFUN NEWTOM (START PRES FUNCTN DFUNCTN)
;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE (SPECIAL X))
(DECLARE (SPECIAL A))
;ЗАДАЕМ НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
(SETQ X START)
(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))
(LOOP
(SETQ X (- X A))
(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))
;ЕСЛИ ДОСТИГЛИ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВЫХОДИМ ИЗ ЦИКЛА
(IF (<= (ABS A) PRES) (RETURN X))
)
)
;ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ
(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\KOREN.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))
;ВЫЗЫВАЕМ МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РАСЧЕТА КОРНЯ
(SETQ KOREN (NEWTOM X0 E (FUNCTION F) (FUNCTION DFDX)))
;ВЫВОДИМ КОРЕНЬ В ФАЙЛ
(PRINT 'KOREN OUTPUT_STREAM)
(PRINT KOREN OUTPUT_STREAM)
;ЗАКРЫВАЕМ ФАЙЛ
(TERPRI OUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
5. Пример выполнения программы
Пример 1.
Рисунок 5 – Входные данные.
Рисунок 6 – Выходные данные.
Пример 2.
Рисунок 7 – Входные данные.
Рисунок 8 – Выходные данные.
Пример 3.
Рисунок 9 – Входные данные.
Рисунок 10 – Выходные данные.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методом Ньютона. Данная модель может быть использована для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы
Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.
Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.
Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.
Метод Ньютона – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Ньютона
Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.
Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.
Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.
Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.