Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения
Министерство Образования Республики Таджикистан
Таджикский Технический Университет
имени М.С. Осими
Кафедра «АСОИиУ»
Лабораторная работа №1
На тему: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения
Выполнила:
ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2
Принял: преподаватель кафедры
Ли И.Р.
Душанбе-2010
Лабораторная работа № 2
Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения
I Цель работы
Целью работы является:
Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения
Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения
Проверка адекватности полученного датчика
II Теоретические сведения
1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения
При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x1,x2….xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).
Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность y1,y2,..yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:
F(y)=
P(ksi
y)
(1)
или плотностью вероятности
f(y)=F’(y) (2)
Функции f(y) и F(y) могут быть заданы графически или аналитически.
Для получения случайной величины η с функцией распределения F(y) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1], используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:
- метод обратной функции
- метод отбора или исключения
- метод композиции.
2. Метод обратной функции
Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:
η=F-1 (ζ) (3)
Где F-1 (ζ) - обратная функция по отношению к функции распределения F(ζ)
F(y)
1
ζ
0 η y
Рис 1 Функция распределения F(ζ)
Действительно, при таком определении случайной величины η имеем:
P(ηy)=P{F-1(ζ)y}=P{
ζ
F(y)
}= F(y)
(4)
В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3), второе из неубывающего характера функций F(ζ) и F-1 (ζ) и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ.
Таким образом, если задана функция распределения F(y), то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.
Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический.
3.Метод отбора или исключения
Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f(y). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности f(y) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η* и ζ* можно ограничить ступенчатой кривой:
0, если
y<a
g(y)= fmax, если
a
y
b
(25)
0, если y>b
Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (RND(ζ)) два равномерно-распределенных числа ζ>1 и> ζ>2> , по которым определяются равномерные на интервале [a,b] независимые величины:
η ’=a + (b-a)*ζ>1>
ζ’=fmax* ζ>2> (26)
Где a,b – границы возможных значений случайной величины η,
fmax- максимальное значение функции f(y) (Рис.7)
f
(y) 
g(y)
fmax
f(y)
ζ
a
η ’
b
Рис.7 Заданная плотность вероятности
Если ζ’
f
(η ’)
, то η ’
принимается в качестве очередной
реализации случайной величины
>η>. В
противном случае η
’ отбрасывается
и берется следующая пара равномерно-
распределенных случайных чисел
ζ>1> и
ζ>2> .
Такая процедура повторяется до тех пор,
пока мы не получим требуемого количества
случайных чисел с заданной плотностью
вероятности.
4. Метод композиции
Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (x) по формуле полной вероятности:
fη
(x)=
(27)
Где H(z)=P(ζz)–
интегральная функция распределения
случайной величины ζ;
P(x/z )- условная плотность вероятности.
Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем
fη
(x)=
P>j>*f>j
>(x)
(28)
где
P>j>=1>
>(29)
f>j>> >(x) -условная плотность вероятности
Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой fη(x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей g>j> (i=1,k),с площадями P>j> (j=1,k), (Рис.8)
Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке
fη(x)
g>1>
(Р>1>)
g>2> (Р>2>) g>3> (Р>3>)
x
g>1> (Р>1>)
x
Рис. 9 Условные плотности
вероятности
g>2> (Р>2>)
x
g>3> (Р>3>)
x
Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)
Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.
5. Оценка закона распределения
Для полученной случайной последовательности y>1,> y>2,…>,y>n> с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y>1,> y>2,…>,y>n> строится статистическая функция распределения
F* (y) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F(y) для заданного закона распределения и производится сопоставление F*(y) и F(y). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова. Для этого вычисляется статистика:
Ди=max
F*(y)
- F(y)
(30)
Для конечных решений и распределения
статистики Ди получены пороговые
значения в форме таблиц (Таблица
1.). По этой таблице для
заданных объемов последовательности
и и значению
статистики Ди
определяется уровень значимости
.
Если гипотеза верна то статистика
Ди*
имеет в пределе при n
распределение Колмогорова
и квантили уровня P=
(1-2) близки к 1. Это значит,
что полученный генератор случайных
чисел вырабатывает последовательность
с заданным законом распределения. Если
значения статистики Ди
не попадают в пороговые значения, то
такой генератор не годится для пользования.
F(y)
F
(y)
1
F*(y)
0.5 D>n> {
y
y>1 >y>2 > y>3 >y>4 >…….y>n-1> y>n>
Рис.10Оценка распределения
III Содержание исследования
Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:
1.По двадцати числам (n=20) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F*(y)(рис.10) На этом же графике построить интегральную функцию распределения F(y) для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F*(y)и F(y), вычислить статистику Ди (30).
2. Составить блок- схему и программу для ПЭВМ, в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди по критерию Колмогорова.
3.По таблице пороговых значений статистики Ди произвести оценку распределения.
4. Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.
Блок- схема генератора
ζ =RND(ζ)
p1=p1/N
p2=p2/N
η=2
η=10 *ζ-5
p1=p1+1
p2=p2+1
Интерфейс
программы:
Листинг программы:
Private sub> Command1_Click()
Dim n As Integer
Dim p1, p2 As Integer
Dim Y() As Variant, X As Double
p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0
List1.Clear
Randomize
X = 0.5
n = Val(Text1.Text)
ReDim Y(n) As Variant
For i = 1 To n
X = Rnd(X)
List1.AddItem ("x(" + Str(i) + ")=" + Str(X))
If X < 0.7 Then
p1 = p1 + 1
Y(i) = 2
m = m + Y(i)
List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))
Else
p2 = p2 + 1
Y(i) = 10 * X - 5
m = m + Y(i)
List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))
End If
Next i
List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.7: p1=" + Str(p1))
List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.3: p2=" + Str(p2))
List1.AddItem ("ВЕРОЯТНОСТИ:")
List1.AddItem (" 0.4<=x<0.7 --- 0" + Str(p1 / n))
List1.AddItem (" 0.7<=x<=1 --- 0" + Str(p2 / n))
m = m / n
List1.AddItem ("мат ожидание = " + Str(m))
For i = 1 To n
d = d + (Y(i) - m) ^ 2
Next i
d = d / (n - 1)
b = Sqr(d)
List1.AddItem ("диссперсия = " + Str(d))
List1.AddItem ("сререднекв откл = " + Str(b))
'построение интегральной функции
Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2)
Picture1.Line (0, -2)-(0, 11)
Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0)
Picture1.PSet (-1, 11)
Picture1.Print ("f(x)")
Picture1.PSet (10.5, -0.3)
Picture1.Print ("x")
Picture1.PSet (-0.7, 4)
Picture1.Print ("0.4")
Picture1.PSet (-0.7, 7)
Picture1.Print ("0.7")
Picture1.PSet (-0.7, 10)
Picture1.Print ("1")
Picture1.PSet (2, -0.3)
Picture1.Print ("2")
Picture1.PSet (5, -0.3)
Picture1.Print ("5")
For i = 0 To 11 Step 0.001
If i < 2 Then
l = 4
Else
If i < 5 Then
l = (0.1 * i + 0.5) * 10
Else
l = 10
End If
End If
Picture1.PSet (i, l)
Next i
Picture1.Line (2, 4)-(2, 7)
'построение обратной функции
Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2)
Picture2.Line (0, -2)-(0, 11)
Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0)
Picture2.PSet (-1, 11)
Picture2.Print ("x")
Picture2.PSet (10.5, -0.3)
Picture2.Print ("f(x)")
Picture2.PSet (-0.7, 2)
Picture2.Print ("2")
Picture2.PSet (-0.7, 5)
Picture2.Print ("5")
Picture2.PSet (4, -0.3)
Picture2.Print ("0.4")
Picture2.PSet (7, -0.3)
Picture2.Print ("0.7")
Picture2.PSet (10, -0.3)
Picture2.Print ("1")
For i = 4 To 10 Step 0.001
If i < 7 Then
l = 2
Else
l = i - 5
End If
Picture2.PSet (i, l), vbRed
Next i
Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed
Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed
End sub>