Лисп-реализация алгоритма кодирования информации RSA
Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4. Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
Испокон веков не было ценности большей, чем информация. ХХ век – век информатики и информатизации. Технология дает возможность передавать и хранить все большие объемы информации. Это благо имеет и оборотную сторону. Информация становится все более уязвимой по разным причинам:
• возрастающие объемы хранимых и передаваемых данных;
• расширение круга пользователей, имеющих доступ к ресурсам ЭВМ, программам и данным;
• усложнение режимов эксплуатации вычислительных систем.
Поэтому все большую важность приобретает проблема защиты информации от несанкционированного доступа (НСД) при передаче и хранении. Сущность этой проблемы – постоянная борьба специалистов по защите информации со своими «оппонентами».
Для того чтобы ваша информация, пройдя шифрование, превратилась в «информационный мусор», бессмысленный набор символов для постороннего, используются специально разработанные методы – алгоритмы шифрования. Такие алгоритмы разрабатываются учеными математиками или целыми коллективами сотрудников компаний или научных центров.
Алгоритмы шифрования делятся на два больших класса: симметричные (AES, ГОСТ, Blowfish, CAST, DES) и асимметричные (RSA, El-Gamal). Симметричные алгоритмы шифрования используют один и тот же ключ для зашифровывания информации и для ее расшифровывания, а асимметричные алгоритмы используют два ключа – один для зашифровывания, другой для расшифровывания.
Если зашифрованную информацию необходимо передавать в другое место, то в этом надо передавать и ключ для расшифрования. Слабое место здесь – это канал передачи данных – если он не защищенный или его прослушивают, то ключ для расшифрования может попасть к злоумышленику. Системы на ассиметричных алгоритмах лишены этого недостатка. Поскольку каждый участник такой системы обладает парой ключей: Открытым и Секретным Ключом.
Алгоритм RSA стоит у истоков асимметричной криптографии. Он был предложен тремя исследователями – математиками Рональдом Ривестом (R. Rivest), Ади Шамиром (A. Shamir) и Леонардом Адльманом (L. Adleman) в 1977–78 годах.
1. Постановка задачи
Разработать и отладить программу на языке Лисп реализующую криптографический алгоритм кодирования информации с открытым ключом – RSA.
Шифрование:
Входные данные: M – сообщение, состоящее из целых чисел.
Выходные данные: T – Зашифрованное сообщение.
Дешифрование:
Входные данные: T – Результат шифрования.
Выходные данные: M – изначальное сообщение.
Пример 1.
Выбираем два простых числа: p = 3557, q = 2579.
Вычисляем их произведение: n = p · q = 3557 · 2579 = 9173503.
Вычисляем функцию Эйлера: φ(n) = (p-1) (q-1) = 9167368.
Выбираем открытый показатель: e = 3.
Вычисляем секретный показатель: d = 6111579.
Публикуем открытый ключ: (e, n) = (3, 9173503).
Сохраняем секретный ключ: (d, n) = (6111579, 9173503).
Выбираем открытый текст: M = 127.
Вычисляем шифротекст: P(M) = Me mod n = 10223mod 9173503 = 116.
Вычислить исходное сообщение: S(C) = Cd mod n = 1166111579mod 9173503 = 1022.
Пример 2.
Выбираем два простых числа: p = 79, q = 71.
Вычисляем их произведение: n = p · q = 79 · 71 = 5609.
Вычисляем функцию Эйлера: φ(n) = (p-1) (q-1) = 5460.
Выбираем открытый показатель: e = 5363.
Вычисляем секретный показатель: d = 2927.
Публикуем открытый ключ: (e, n) = (5363, 5609).
Сохраняем секретный ключ: (d, n) = (2927, 5609).
Выбираем открытый текст: M = 23.
Вычисляем шифротекст: P(M) = Me mod n = 235363mod 5609 = 5348.
Вычислить исходное сообщение: S(C) = Cd mod n = 53482927mod 5609 = 23.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
Первым этапом любого асимметричного алгоритма является создание пары ключей: открытого и закрытого и распространение открытого ключа «по всему миру». Для алгоритма RSA этап создания ключей состоит из следующих операций:
1). Выбираются два простых числа p и q
2). Вычисляется их произведение n (=p*q)
3). Выбирается произвольное число e (e<n), такое, что
НОД (e, (p-1) (q-1))=1,
то есть e должно быть взаимно простым с числом (p-1) (q-1).
4). Методом Евклида решается в целых числах уравнение
e*d+(p-1) (q-1)*y=1.
Здесь неизвестными являются переменные d и y – метод Евклида как раз и находит множество пар (d, y), каждая из которых является решением уравнения в целых числах.
5). Два числа (e, n) – публикуются как открытый ключ.
6). Число d хранится в строжайшем секрете – это и есть закрытый ключ, который позволит читать все послания, зашифрованные с помощью пары чисел (e, n).
Как же производится собственно шифрование с помощью этих чисел:
Отправитель разбивает свое сообщение на блоки, равные k=[log>2>(n)] бит, где квадратные скобки обозначают взятие целой части от дробного числа.
Подобный блок может быть интерпретирован как число из диапазона (0; 2k-1). Для каждого такого числа (назовем его m>i>) вычисляется выражение
c>i>=((m>i>)e) mod n.
Блоки c>i> и есть зашифрованное сообщение Их можно спокойно передавать по открытому каналу, поскольку операция возведения в степень по модулю простого числа, является необратимой математической задачей. Обратная ей задача носит название «логарифмирование в конечном поле» и является на несколько порядков более сложной задачей. То есть даже если злоумышленник знает числа e и n, то по c>i> прочесть исходные сообщения m>i> он не может никак, кроме как полным перебором m>i>.
А вот на приемной стороне процесс дешифрования все же возможен, и поможет нам в этом хранимое в секрете число d. Достаточно давно была доказана теорема Эйлера, частный случай которой утвержает, что если число n представимо в виде двух простых чисел p и q, то для любого x имеет место равенство
(x(p-1)(q-1)) mod n = 1.
Для дешифрования RSA-сообщений воспользуемся этой формулой. Возведем обе ее части в степень
(-y): (x(-y)(p-1)(q-1)) mod n = 1(-y) = 1.
Теперь умножим обе ее части на x:
(x(-y)(p-1)(q-1)+1) mod n = 1*x = x.
А теперь вспомним как мы создавали открытый и закрытый ключи. Мы подбирали с помощью алгоритма Евклида d такое, что
e*d+(p-1) (q-1)*y=1,
то есть
e*d=(-y) (p-1) (q-1)+1.
Следовательно, в последнем выражении предыдущего абзаца мы можем заменить показатель степени на число (e*d). Получаем
(xe*d) mod n = x.
То есть для того чтобы прочесть сообщение c>i>=((m>i>)e) mod n достаточно возвести его в степень d по модулю m:
((c>i>)d) mod n = ((m>i>)e*d) mod n = m>i>.
На самом деле операции возведения в степень больших чисел достаточно трудоемки для современных процессоров, даже если они производятся по оптимизированным по времени алгоритмам. Поэтому обычно весь текст сообщения кодируется обычным блочным шифром (намного более быстрым), но с использованием ключа сеанса, а вот сам ключ сеанса шифруется как раз асимметричным алгоритмом с помощью открытого ключа получателя и помещается в начало файла.
Скорость работы алгоритма RSA
Как при шифровании и расшифровке, так и при создании и проверке подписи алгоритм RSA по существу состоит из возведения в степень, которое выполняется как ряд умножений.
В практических приложениях для открытого (public) ключа обычно выбирается относительно небольшой показатель, а зачастую группы пользователей используют один и тот же открытый (public) показатель, но каждый с различным модулем. (Если открытый (public) показатель неизменен, вводятся некоторые ограничения на главные делители (факторы) модуля.) При этом шифрование данных идет быстрее чем расшифровка, а проверка подписи – быстрее чем подписание.
Если k – количество битов в модуле, то в обычно используемых для RSA алгоритмах количество шагов необходимых для выполнения операции с открытым (public) ключом пропорционально второй степени k, количество шагов для операций частного (private) ключа – третьей степени k, количество шагов для операции создания ключей – четвертой степени k.
Методы «быстрого умножения» – например, методы основанные на Быстром Преобразовании Фурье (FFT – Fast Fourier Transform) – выполняются меньшим количеством шагов; тем не менее они не получили широкого распространения из-за сложности программного обеспечения, а также потому, что с типичными размерами ключей они фактически работают медленнее. Однако производительность и эффективность приложений и оборудования реализующих алгоритм RSA быстро увеличиваются.
Алгоритм RSA намного медленнее чем DES и другие алгоритмы блокового шифрования. Программная реализация DES работает быстрее по крайней мере в 100 раз и от 1,000 до 10,000 – в аппаратной реализации (в зависимости от конкретного устройства). Благдаря ведущимся разработкам, работа алгоритма RSA, вероятно, ускорится, но аналогично ускорится и работа алгоритмов блокового шифрования.
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 6.
Условные обозначения:
P и Q – случайные простые числа;
N – произведение простых чисел P и Q;
PHI – значение функции Эйлера;
E – взаимно простое число с PHI;
PRIVATE_KEY – секретный ключ;
LST – список простых чисел;
NUM – число для шифрования / дешифрования;
I, IO, I1, J, JO, R, L – рабочие переменные.
Рисунок 1 – Функциональная модель решения задачи для функции SIMPLE_NUMBER
Рисунок 2 – Функциональная модель решения задачи для функции ENCRYPT
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции DECODING
Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции RSA
Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для функции DISTINCT_SIMPLE_NUM
Рисунок 6 – Блок-схема решения задачи для функции ALG_ EUCLID
4. Программная реализация решения задачи
; ПОИСК ВЗАИМНО ПРОСТОГО ЧИСЛА
(DEFUN DISTINCT_SIMPLE_NUM (NUM PH)
(DO
()
((< NUM PH) NUM)
; TRUNCATE – ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ
(SETQ NUM (TRUNCATE NUM 2))
)
(DO
()
; GCD – НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
((EQL (GCD NUM PH) 1) NUM)
; REM – ОСТАТОК ОТ ДЕЛЕНИЯ
(IF (EQL (REM NUM 2) 0) (SETQ NUM (+ NUM 1)))
(SETQ NUM (+ NUM 2))
)
)
; ГЕНЕРИРУЕМ СЛУЧАЙНОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО
(DEFUN SIMPLE_NUMBER ()
; ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
(DECLARE (SPECIAL LST))
; СПИСОК ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
(SETQ LST ' (2 3 5 7 11 13 17 19 23 31 37 41 43 47 53 61 67 71 73 79 83 89 97 101))
; ВЫБИРАЕМ СЛУЧАЙНОЕ ЧИСЛО ИЗ СПСКА
(NTH (RANDOM (– (LENGTH LST) 1)) LST)
)
; РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
(DEFUN ALG_EUCLID (X Y)
; – ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ–
(DECLARE (SPECIAL I))
(DECLARE (SPECIAL I0))
(DECLARE (SPECIAL I1))
(DECLARE (SPECIAL J0))
(DECLARE (SPECIAL J1))
(DECLARE (SPECIAL R))
(DECLARE (SPECIAL L))
;–
(IF (EQL X 1) (SETQ X (+ X Y))
; ИНАЧЕ
(PROGN
(SETQ I0 0)
(SETQ I1 1)
(SETQ L Y)
(SETQ R (REM L X))
(SETQ J0 (TRUNCATE L X))
(SETQ L X)
(SETQ X R)
(SETQ R (REM L X))
(SETQ J1 (TRUNCATE L X))
(SETQ L X)
(SETQ X R)
(DO
(())
((<= R 0) R)
(SETQ R (REM L X))
(SETQ I (– I0 (* I1 J0)))
(IF (< I 0) (SETQ I (- Y (REM (* -1 I) Y))) (SETQ I (REM I Y)))
(SETQ I0 I1)
(SETQ I1 I)
(SETQ J0 J1)
(SETQ J1 (TRUNCATE L X))
(SETQ L X)
(SETQ X R)
)
(SETQ I (– I0 (* I1 J0)))
(IF (< I 0) (SETQ I (FLOOR (- Y (REM (* -1 I) Y)))) (SETQ I (FLOOR (REM I Y))))
I
)
)
)
; РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА RSA
(DEFUN RSA ()
; – ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ–
(DECLARE (SPECIAL N))
(DECLARE (SPECIAL E))
(DECLARE (SPECIAL PHI))
(DECLARE (SPECIAL PRIVATE_KEY))
(DECLARE (SPECIAL P))
(DECLARE (SPECIAL Q))
;–
; ВЫБИРАЮТСЯ ДВА ПРОСТЫХ ЧИСЛА
(SETQ P (SIMPLE_NUMBER))
(SETQ Q (SIMPLE_NUMBER))
; ВЫЧИСЛЯЕМ ИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(SETQ N (* P Q))
; НАХОДИМ PHI = (P-1) (Q-1)
(SETQ PHI (* (- P 1) (- Q 1)))
; ВЫБИРАЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО
(SETQ E (RANDOM 10000000000000000))
; НАХОДИМ ВЗАИМНОЕ ПРОСТОЕ E С PHI
(SETQ E (DISTINCT_SIMPLE_NUM E PHI))
; НАХОДИМ ЗАКРЫТЫЙ КЛЮЧ PRIVATE_KEY
(SETQ PRIVATE_KEY (ALG_EUCLID E PHI))
(LIST E N PRIVATE_KEY)
)
; ПОЛУЧАЕМ КЛЮЧИ
(SETQ LIST_KEY (RSA))
(SETQ E (CAR LIST_KEY))
(SETQ N (CADR LIST_KEY))
(SETQ D (CADDR LIST_KEY))
; ШИФРОВАНИЕ ЧИСЛА
(DEFUN CODING (NUM)
(MOD (EXPT NUM E) N)
)
; ДЕШИФРОВАНИЕ ЧИСЛА
(DEFUN DECODING (NUM)
(MOD (EXPT NUM D) N)
)
; ПОЛУЧАЕМ СООБЩЕНИЕ
(SETQ TEXT 0)
(SETQ INPUT (OPEN «D:\MESSAGE.TXT»:DIRECTION:INPUT))
(SETQ TEXT (READ INPUT))
(CLOSE INPUT)
; ШИФРУЕМ СООБЩЕНИЕ
(SETQ OUTPUT (OPEN «D:\CODING.TXT»:DIRECTION:OUTPUT))
(SETQ CODING_TEXT (MAPCAR 'CODING TEXT))
(PRINT (LIST 'CODING_TEXT CODING_TEXT) OUTPUT)
(PRINT (LIST 'PUBLIC_KEY (LIST E N)) OUTPUT)
(TERPRI OUTPUT)
(CLOSE OUTPUT)
; ДЕШИФРУЕМ СООБЩЕНИЕ
(SETQ OUTPUT (OPEN «D:\DECODING.TXT»:DIRECTION:OUTPUT))
(SETQ DECODING_TEXT (MAPCAR 'DECODING CODING_TEXT))
(PRINT (LIST 'DECODING_TEXT DECODING_TEXT) OUTPUT)
(TERPRI OUTPUT)
(CLOSE OUTPUT)
5. Пример выполнения программы
Пример 1
Рисунок 7. Переданное сообщение
Рисунок 8. Зашифрованное сообщение
Рисунок 9. Расшифрованное сообщение
Пример 2
Рисунок 10. Переданное сообщение
Рисунок 11. Зашифрованное сообщение
Рисунок 12. Расшифрованное сообщение
Пример 3
Рисунок 13. Переданное сообщение
Рисунок 14. Зашифрованное сообщение
Рисунок 15. Расшифрованное сообщение
Заключение
Криптосистема RSA используется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. В настоящее время криптосистема RSA встраивается во многие коммерческие продукты, число которых постоянно увеличивается. Также ее используют операционные системы Microsoft, Apple, Sun и Novell. В аппаратном исполнении RSA алгоритм применяется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, широко используется в криптографическом оборудовании THALES (Racal). Кроме того, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Internet, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих учреждениях, например, в правительственных службах, в большинстве корпораций, в государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель алгоритма кодирования информации RSA. Данная модель применима к положительным целым числам.
Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
Список использованных источников и литературы
Венбо Мао. Современная криптография: теория и практика. [Электронный ресурс] / Венбо Мао. – М.: Вильямс, 2005. С. 768.
Кландер, Л. Hacker Prof: полное руководство по безопасности компьютера. [Электронный ресурс] / Л. Кландер – М.: Попурри, 2002. С. 642.
Фергюсон, Н. Практическая криптография. [Текст] / Н. Фергюсон, Б. Шнайер. – М.: Диалектика, 2004. С. 432.
Шнайер, Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы. [Текст] / Б. Шнайер. – М.: Триумф, 2002. С. 816