Моделирование систем управления (работа 2)
Моделирование систем управления
Задание на курсовое проектирование
1. Провести полный факторный эксперимент вида 3^3 с моделью BLACK BOX
2. Методом регрессионного анализа получить аналитическую зависимость y=f(x1,x2,t)
3. Составить модель полученного уравнения регрессии.
4. Провести оценку адекватности уравнения регрессии заданной модели по критерию Фишера для a=0,05 , рассчитать среднее абсолютное отклонение координат аналитической модели от заданной.
5. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента для a=0,05
6. Получить графики ошибки y>m>-y>r>=f(t)
y>m> - выходная координата модели BLACK BOX
y>r> - выходная координата созданной модели
Значения параметров:
x1= 0.6 ... -1.4
x2= 2.0 ... 0.6
t = 2 ... 10
b = 1.1
Экспериментальные данные.
Составим последовательность имитации эксперимента, исходя из данных курсового задания, и представим в матричной форме. Имитационная модель – это модель системы управления с введением случайной переменной погрешности b=1,1.
Необходимо найти аналитическое уравнение связи параметров системы и числовых знаковых коэффициентов. Уравнение регрессии имеет следующий вид:
Y=b>0>+Sb>i>x>i>+Sb>ij>x>i>x>j>+Sb>ii>x>i>2
b>i>x>i >– линейная регрессия,
b>ij>x>i>x>j>- неполная квадратичная регрессия,
b>ii>x>i>2- квадратичная регрессия.
Схема для проведения экспериментов (приложение №1 Vissim 32)
Матричная форма имитационного эксперимента.
|
x0 |
x1 |
x2 |
x3=t |
x1*x2 |
x1*x3 |
x2*x3 |
x1*x1 |
x2*x2 |
x3*x3 |
|
1 |
0,6 |
2 |
10 |
1,2 |
6 |
20 |
0,36 |
4 |
100 |
|
1 |
0,6 |
2 |
6 |
1,2 |
3,6 |
12 |
0,36 |
4 |
36 |
|
1 |
0,6 |
2 |
2 |
1,2 |
1,2 |
4 |
0,36 |
4 |
4 |
|
1 |
0,6 |
1,3 |
10 |
0,78 |
6 |
13 |
0,36 |
1,69 |
100 |
|
1 |
0,6 |
1,3 |
6 |
0,78 |
3,6 |
7,8 |
0,36 |
1,69 |
36 |
|
1 |
0,6 |
1,3 |
2 |
0,78 |
1,2 |
2,6 |
0,36 |
1,69 |
4 |
|
1 |
0,6 |
0,6 |
10 |
0,36 |
6 |
6 |
0,36 |
0,36 |
100 |
|
1 |
0,6 |
0,6 |
6 |
0,36 |
3,6 |
3,6 |
0,36 |
0,36 |
36 |
|
1 |
0,6 |
0,6 |
2 |
0,36 |
1,2 |
1,2 |
0,36 |
0,36 |
4 |
|
1 |
-0,4 |
2 |
10 |
-0,8 |
-4 |
20 |
0,16 |
4 |
100 |
|
1 |
-0,4 |
2 |
6 |
-0,8 |
-2,4 |
12 |
0,16 |
4 |
36 |
|
1 |
-0,4 |
2 |
2 |
-0,8 |
-0,8 |
4 |
0,16 |
4 |
4 |
|
1 |
-0,4 |
1,3 |
10 |
-0,52 |
-4 |
13 |
0,16 |
1,69 |
100 |
|
1 |
-0,4 |
1,3 |
6 |
-0,52 |
-2,4 |
7,8 |
0,16 |
1,69 |
36 |
|
1 |
-0,4 |
1,3 |
2 |
-0,52 |
-0,8 |
2,6 |
0,16 |
1,69 |
4 |
|
1 |
-0,4 |
0,6 |
10 |
-0,24 |
-4 |
6 |
0,16 |
0,36 |
100 |
|
1 |
-0,4 |
0,6 |
6 |
-0,24 |
-2,4 |
3,6 |
0,16 |
0,36 |
36 |
|
1 |
-0,4 |
0,6 |
2 |
-0,24 |
-0,8 |
1,2 |
0,16 |
0,36 |
4 |
|
1 |
-1,4 |
2 |
10 |
-2,8 |
-14 |
20 |
1,96 |
4 |
100 |
|
1 |
-1,4 |
2 |
6 |
-2,8 |
-8,4 |
12 |
1,96 |
4 |
36 |
|
1 |
-1,4 |
2 |
2 |
-2,8 |
-2,8 |
4 |
1,96 |
4 |
4 |
|
1 |
-1,4 |
1,3 |
10 |
-1,82 |
-14 |
13 |
1,96 |
1,69 |
100 |
|
1 |
-1,4 |
1,3 |
6 |
-1,82 |
-8,4 |
7,8 |
1,96 |
1,69 |
36 |
|
1 |
-1,4 |
1,3 |
2 |
-1,82 |
-2,8 |
2,6 |
1,96 |
1,69 |
4 |
|
1 |
-1,4 |
0,6 |
10 |
-0,84 |
-14 |
6 |
1,96 |
0,36 |
100 |
|
1 |
-1,4 |
0,6 |
6 |
-0,84 |
-8,4 |
3,6 |
1,96 |
0,36 |
36 |
|
1 |
-1,4 |
0,6 |
2 |
-0,84 |
-2,8 |
1,2 |
1,96 |
0,36 |
4 |
Матрица значений полученных в результате эксперимента.
|
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
Ysr |
|
235,09 |
235,41 |
235,727 |
234,95 |
236,37 |
235,51 |
|
134,71 |
136,34 |
136,881 |
135,22 |
135,76 |
135,78 |
|
67,067 |
68,544 |
67,82 |
68,197 |
68,574 |
68,04 |
|
140,38 |
140,7 |
141,017 |
140,24 |
141,66 |
140,8 |
|
60,996 |
62,634 |
63,171 |
61,508 |
62,046 |
62,071 |
|
14,357 |
15,834 |
15,11 |
15,487 |
15,864 |
15,33 |
|
64,287 |
64,606 |
64,926 |
64,146 |
65,565 |
64,706 |
|
5,906 |
7,544 |
8,081 |
6,418 |
6,956 |
6,981 |
|
-19,73 |
-18,26 |
-18,979 |
-18,6 |
-18,23 |
-18,759 |
|
100,25 |
100,57 |
100,887 |
100,11 |
101,53 |
100,67 |
|
65,866 |
67,504 |
68,041 |
66,378 |
66,916 |
66,941 |
|
64,227 |
65,704 |
64,98 |
65,357 |
65,734 |
65,2 |
|
-9,162 |
-8,843 |
-8,523 |
-9,303 |
-7,884 |
-8,743 |
|
-22,54 |
-20,91 |
-20,368 |
-22,03 |
-21,49 |
-21,468 |
|
-3,182 |
-1,705 |
-2,429 |
-2,052 |
-1,675 |
-2,2086 |
|
-99,95 |
-99,63 |
-99,313 |
-100,1 |
-98,67 |
-99,533 |
|
-92,33 |
-90,7 |
-90,158 |
-91,82 |
-91,28 |
-91,258 |
|
-51,97 |
-50,5 |
-51,219 |
-50,84 |
-50,47 |
-50,999 |
|
-53,19 |
-52,87 |
-52,553 |
-53,33 |
-51,91 |
-52,773 |
|
-21,57 |
-19,94 |
-19,398 |
-21,06 |
-20,52 |
-20,498 |
|
42,787 |
44,264 |
43,54 |
43,917 |
44,294 |
43,76 |
|
-177,3 |
-177 |
-178,663 |
-177,4 |
-176 |
-177,28 |
|
-124,7 |
-123 |
-122,509 |
-124,2 |
-123,6 |
-123,61 |
|
-39,32 |
-37,85 |
-38,569 |
-38,19 |
-37,82 |
-38,349 |
|
-282,8 |
-282,5 |
-282,153 |
-282,9 |
-281,5 |
-282,37 |
|
-209,2 |
-207,5 |
-206,999 |
-208,7 |
-208,1 |
-208,1 |
|
-102,8 |
-101,3 |
-102,059 |
-101,7 |
-101,3 |
-101,84 |
Вычислим коэффициенты B по формуле
B=(XTX)-1XTYsr
XT – транспонированная матрица
Ysr- средние экспериментальные значения
|
b0 |
-29,799251 |
|
b1 |
13,6541852 |
|
b2 |
9,96405181 |
|
b3 |
-15,946707 |
|
b4 |
-21,000048 |
|
b5 |
16,508325 |
|
b6 |
7,50010119 |
|
b7 |
-9,3224778 |
|
b8 |
19,0904535 |
|
b9 |
0,99813056 |
Вычисления производились в Microsoft Excel по следующей формуле
=МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП (Хматрица);Хматрица));ТРАНСП(Хматрица));Yматрица)
Полученные коэффициенты подставим в уравнение регрессии и построим схему для проведения эксперимента (приложение №2,3 Vissim 32) и проведем эксперимент без использования дельты или шума.
Внесем полученные данные в столбец (Yip) таблицы.
|
Ysr |
Si кв |
Yip |
(Yi-Yip)2 |
|
235,51 |
0,3219 |
234,7 |
0,61090 |
|
135,78 |
0,7492 |
135,5 |
0,06574 |
|
68,04 |
0,3897 |
68 |
0,00163 |
|
140,8 |
0,3219 |
140 |
0,68327 |
|
62,071 |
0,75 |
61,77 |
0,09060 |
|
15,33 |
0,3897 |
15,25 |
0,00646 |
|
64,706 |
0,3214 |
63,93 |
0,60218 |
|
6,981 |
0,75 |
6,73 |
0,06300 |
|
-18,759 |
0,3897 |
-18,78 |
0,00046 |
|
100,67 |
0,3219 |
99,93 |
0,54258 |
|
66,941 |
0,75 |
66,73 |
0,04452 |
|
65,2 |
0,3897 |
65,21 |
0,00009 |
|
-8,743 |
0,3214 |
-9,51 |
0,58829 |
|
-21,468 |
0,75 |
-21,71 |
0,05856 |
|
-2,2086 |
0,3897 |
-2,23 |
0,00046 |
|
-99,533 |
0,3216 |
-100,3 |
0,51380 |
|
-91,258 |
0,75 |
-91,45 |
0,03686 |
|
-50,999 |
0,3897 |
-50,97 |
0,00082 |
|
-52,773 |
0,3214 |
-53,48 |
0,49985 |
|
-20,498 |
0,75 |
-20,68 |
0,03312 |
|
43,76 |
0,3897 |
43,79 |
0,00088 |
|
-177,28 |
0,9015 |
-177,6 |
0,12013 |
|
-123,61 |
0,7492 |
-123,8 |
0,04902 |
|
-38,349 |
0,3897 |
-38,35 |
0,00000 |
|
-282,37 |
0,3219 |
-283,1 |
0,48525 |
|
-208,1 |
0,7492 |
-208,3 |
0,02938 |
|
-101,84 |
0,3892 |
-101,8 |
0,00240 |
|
SSi=13,73 |
S=5,13026 |
Так как результаты опытов обладают статической неопределенностью, поэтому опыты воспроизводим несколько раз при одних и тех же значениях факторов для повышения точности коэффициентов регрессии за счет эффекта понижения дисперсии.
n=27- экспериментов
m=10 – количество членов уравнения
S>i>2=1/g-1*S(Y>gi>-Y>i>)2 , g- количество экспериментов ( 5)
S>y>2=1/n*SS>i>2
S>0>= å(Y>i>-Y>ip>)2/n-m – среднеквадратичная ошибка на степень свободы
d=å|Y>i>-Y>ip>|/n – среднее обсолютное отклонение между расчетными значениями
Адекватность вида регрессии уравнения определяется по критерию Фишера, а значимость коэффициентов по критерию Стьюдента и доверительного интервала на его основе.
F>расч>= S>0>2/Sy2<F>табл>(a, n-m)
F>табл>=1,77 ,
a=0,05 – уровень значимости
1-a®р – вероятность с которой уравнение будет адекватно.
n-mÞ27-10=17 – число степеней свободы
S>D>>bj>2=S>y>2/n - дисперсия коэффициентов взаимодействия
Db>j>=±t>c>* Ö S>y>2/ Ö n
t>c>=2,12
|
Sy2 |
0,5085 |
F>расч>. |
1,08031201 |
|
|
S>o> |
0,5493 |
S>g>2 |
0,01883355 |
|
|
d |
0,4359 |
Db>j> |
0,29093901 |
|
|
p |
0,95 |
F>табл>=1,75> F>расч>.= 1,08, значит система адекватна.
Уравнение регрессии примет вид.
Y=-29,79+13,65x>1>+9,96x>2>-15,94x>3>-21x>1>x>2>+16,5x>1>x>3> +7,5x>2>x>3>-9,32x>1>2+19,09x>2>2+0,99x>3>2
График ошибки (см. приложение № 4).
Вывод.
Исходя из полученных значений сделаем вывод, что полученная система очень мало отличается от заданной.
Уравнения адекватны
Коэффициенты значимы
Приложение № 1
Приложение № 2
