Динамическое представление сигналов (работа 1)
Динамическое представление сигналов
Реферат выполнил: Зазимко С.А.
МОСКВА
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
рис. 1
При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
рис. 2
Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
ì 0, t < -x,
u(t) = í 0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)
î 1, t > x.
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :
ì 0,t < 0,
s(t) = í 0.5,t = 0, (2)
î 1, t > 0.
В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t - t0) = í 0.5,t = t0, (3)
î 1, t > t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).
k=1
Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0 s(t)
+ ô
s(t-t)
dt
(4)
õ dt
0
Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
1 é x x ù
u(t;x) = ----- ê s (t + ---- ) - s (t - ---- ) ÷ (5)
x ë 2 2 û
При любом выборе параметра x площадь этого импульса
равна единице :
¥
П = ò u dt = 1
- ¥
Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь устремим величину x к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака1 :
d(t) = lim u (t;x)
x®0
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 2 дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :
¥
S(t) = å h (t) (7)
k= - ¥ k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D .
Поскольку
1
lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S (t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.1
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - ¥ до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1 + bj2) = ¦,j1) + b(¦,j2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) 1. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.
Список литературы
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/
1 Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,
2 Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
1 Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
1 Обобщенные функции иногда называют также распределениями.