Теория автоматического управления (работа 1)
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Расчетно-графическая работа №1
По курсу “Теория автоматического управления”
Студент: Стариков Д.А.
Группа: АС-513
Преподаватель: кандидат технических наук, доцент
Кошкин Юрий Николаевич
К защите: 1 декабря 1997г
Оценка:_________________________
Подпись преподавателя: __________
Новосибирск, 1997 г.
В
ариант
25V
Вид воздействия: V(p)
В
иды
передаточных функций:
Параметры схемы:
Показатели качества управления:
1. Найти передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом состоянии по управляющему V(p) и возмущающему F(p) воздействиям, характеристическое уравнение и матрицы А,В и С.
Для записи характеристического уравнения приравняем знаменатель передаточной функции замкнутой системы к нулю.
П
ереходим
к записи дифференциального уравнения,
описывающему
поведение исследуемой системы в динамике
Используя переменные состояния в виде:
можно перейти к дифференциальным уравнениям состояния в форме Коши:
Из этого определяем матрицы А,В,С :
2. Определение устойчивости исследуемой системы двумя критериями.
2.1 Частотный критерий Найквиста в логарифмическом масштабе.
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
Данная система состоит из 3 типовых звеньев:
> >
> >
> >
> >
> >
>
>
Расчетная таблица для ЛАХ и ЛФХ:
Из графиков ЛАХ и ЛФК видно, что точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс лежит правее точки, где фазовый сдвиг достигает значения равного –180.
Значит система неустойчива.
2.2 Критерий Гурвица
П
риравниваем
знаменатель передаточной функции
замкнутой системы
к нулю и записываем характеристическое
уравнение:
Составляем определитель Гурвица:
Для того, чтобы
линейная динамическая система была
устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы все диагональные миноры определителя
Гурвица и сам определитель имели знаки,
одинаковые со знаком первого коэффициента
характеристического уравнения, т.е.
были положительными:
3. Определяем значение критического коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором САУ будет находиться на границе устойчивости, с помощью критерия Гурвица
Выпишем знаменатель ПФ в замкнутом состоянии и приравняем его к нулю, получим характеристическое уравнение:
Д
ля
определения критического коэффициента
приравняем к нулю
(n
- 1)
диагональный минор в определители
Гурвица для данного характеристического
уравнения и получим выражение:
4. Исследовать влияние одного из параметров системы на устойчивость системы (метод Д-разбиения).
Исследуем влияние параметра T>1> на устойчивость системы методом Д-разбиения.
Для получения кривой Д-разбиения решим характеристическое уравнение (знаменатель ПФ в замкнутом состоянии) относительно T>1>.
Задаваясь частотой – + строим кривую Д-разбиения и штрихуем левую сторону кривой при движении по ней с увеличением частоты от – до +.
В 1 области К правых корней
Из 1 во 3 (К+1) правых корней
Из 3 во 2 (К+2) правых корней
Из 2 в 3 (К+1) правых корней
Из 3 в 1 К правых корней
Из 1 в 4 (К-1) правых корней
Далее проводим анализ полученных полуплоскостей с точки зрения выделения полуплоскости, претендующей на устойчивость, т.е. такой, которая будет содержать наименьшее число правых корней.
Таким образом, полуплоскость 4 - полуплоскость претендент на устойчивость. Проверим по критерию Гурвица устойчивость для того значения параметра, который находиться внутри полуплоскости - претендента, т.е. в отрезке лежащем на вещественной оси от 19 до +.
Расчетная таблица:
-
w
P(w)
Q(w)
0
67.4
13.76
0
-0.381
-13.76
0
-0.381
28-3.2*10-19i
0.025
0
-28+3.2*10-19i
0.025
0
-8.7*10-19-40i
-0.031
-0.00176i
8.7*10-19+40i
-0.031
0.00176i
3.2+2.8*10-18i
19
0
-3.2-2.8*10-18i
19
0
0
0
Возьмем T>1>=25
Тогда, характеристическое уравнение будет:
С
оставляем
определитель Гурвица:
Все определители больше нуля значит, система устойчива при 19T>1>.
5.Синтез корректирующего устройства, обеспечивающее требуемые показатели качества в установившемся и переходном режимах.
Синтезируем корректирующее устройство для заданной системы, т.к. согласно п.2 она неустойчива. По заданным показателям качества строим желаемую ЛАХ разомкнутой системы.
О
пределяем
(по графику для определения коэффициента
K>0>
по
допустимому перерегулированию):
Проводим асимптоту с наклоном -20 дб/дек через частоту среза до пересечения с заданной ЛАХ. В высокочастотной области проводим асимптоту с наклоном –80 дб/дек и получаем желаемую ЛАХ.
Вычитание ЛАХ исходной системы из ЛАХ желаемой системы получаем ЛАХ корректирующего устройства. По полученной ЛАХ подбираем корректирующее устройство, его передаточная функция имеет вид:
Строим структурную схему скорректированной системы:
Записываем ПФ скорректированной системы в разомкнутом и замкнутом состояниях:
>где >>L4>>(>>w>>) >>– >>ЛАХ и >>F4(w)>> – ЛФК скорректированной системы.>
Запас устойчивости по фазе =15
По построенным ЛФХ и ЛАХ видно, что скорректированная система устойчива (критерий Найквиста).
Для проверки показателей качества скорректированной системы строим ВЧХ замкнутой системы:
Трапеции будут выглядить так:
Получили четыре трапеции, теперь определим параметры для каждой из трапеций.
|
Wd1 |
12 |
Wd2 |
18 |
Wd3 |
19 |
Wd4 |
23 |
|||||
|
Wp1 |
18 |
Wp2 |
19 |
Wp3 |
23 |
Wp4 |
30 |
|||||
|
P1 |
-1,8 |
P2 |
12,2 |
P3 |
-9,07 |
P4 |
-1,6 |
|||||
|
X1 |
0,666 |
X2 |
0,9 |
X3 |
0,82 |
X4 |
0,766 |
|||||
|
H2 |
H3 |
h3 |
h4 |
x1( ) |
x2( ) |
x3( ) |
x4( ) |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,5 |
0,269 |
0,304 |
0,286 |
0,277 |
-0,4842 |
3,7088 |
-2,145 |
-0,443 |
0,02778 |
0,026 |
0,022 |
0,0167 |
|
1 |
0,515 |
0,593 |
0,5545 |
0,536 |
-0,927 |
7,2346 |
-4,1588 |
-0,858 |
0,05556 |
0,053 |
0,043 |
0,0333 |
|
1,5 |
0,732 |
0,832 |
0,785 |
0,76 |
-1,3176 |
10,1504 |
-5,8875 |
-1,216 |
0,08333 |
0,079 |
0,065 |
0,05 |
|
2 |
0,909 |
1,003 |
0,965 |
0,94 |
-1,6362 |
12,2366 |
-7,2375 |
-1,504 |
0,11111 |
0,105 |
0,087 |
0,0667 |
|
2,5 |
1,04 |
1,12 |
1,087 |
1,069 |
-1,872 |
13,664 |
-8,1525 |
-1,71 |
0,13889 |
0,132 |
0,109 |
0,0833 |
|
3 |
1,127 |
1,176 |
1,159 |
1,144 |
-2,0286 |
14,3472 |
-8,6925 |
-1,83 |
0,16667 |
0,158 |
0,13 |
0,1 |
|
3,5 |
1,168 |
1,175 |
1,1725 |
1,168 |
-2,1024 |
14,335 |
-8,7938 |
-1,869 |
0,19444 |
0,184 |
0,152 |
0,1167 |
|
4 |
1,169 |
1,131 |
1,1525 |
1,163 |
-2,1042 |
13,7982 |
-8,6438 |
-1,861 |
0,22222 |
0,211 |
0,174 |
0,1333 |
|
4,5 |
1,148 |
1,071 |
1,105 |
1,129 |
-2,0664 |
13,0662 |
-8,2875 |
-1,806 |
0,25 |
0,237 |
0,196 |
0,15 |
|
5 |
1,108 |
1,001 |
1,045 |
1,071 |
-1,9944 |
12,2122 |
-7,8375 |
-1,714 |
0,27778 |
0,263 |
0,217 |
0,1667 |
|
5,5 |
1,06 |
0,951 |
0,9865 |
1,018 |
-1,908 |
11,6022 |
-7,3988 |
-1,629 |
0,30556 |
0,289 |
0,239 |
0,1833 |
|
6 |
1,043 |
0,92 |
0,9415 |
0,958 |
-1,8774 |
11,224 |
-7,0613 |
-1,533 |
0,33333 |
0,316 |
0,261 |
0,2 |
|
6,5 |
0,956 |
0,903 |
0,915 |
0,938 |
-1,7208 |
11,0166 |
-6,8625 |
-1,501 |
0,36111 |
0,342 |
0,283 |
0,2167 |
|
7 |
0,951 |
0,915 |
0,9095 |
0,919 |
-1,7118 |
11,163 |
-6,8213 |
-1,47 |
0,38889 |
0,368 |
0,304 |
0,2333 |
|
7,5 |
0,936 |
0,946 |
0,9235 |
0,913 |
-1,6848 |
11,5412 |
-6,9263 |
-1,461 |
0,41667 |
0,395 |
0,326 |
0,25 |
|
8 |
0,945 |
0,986 |
0,9495 |
0,938 |
-1,701 |
12,0292 |
-7,1213 |
-1,501 |
0,44444 |
0,421 |
0,348 |
0,2667 |
|
10 |
1,016 |
1,062 |
1,054 |
1,038 |
-1,8288 |
12,9564 |
-7,905 |
-1,661 |
0,55556 |
0,526 |
0,435 |
0,3333 |
|
12 |
1,036 |
0,96 |
1,0075 |
1,027 |
-1,8648 |
11,712 |
-7,5563 |
-1,643 |
0,66667 |
0,632 |
0,522 |
0,4 |
|
14 |
0,997 |
0,976 |
0,963 |
0,976 |
-1,7946 |
11,9072 |
-7,2225 |
-1,562 |
0,77778 |
0,737 |
0,609 |
0,4667 |
Методом трапеций строим график переходного процесса.
Переходной процесс:
По графику ПП
видно, что полученные показатели качества
=30%,
=0.5с,
что удовлетворяет заданным требованиям.
Литература
Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. - М. : Высшая школа. -1977.-Ч.I.-304с.
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. - М. : Наука, 1974.
Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. – М. : “Энергия”, 1967