Позиционные системы счисления (работа 2)

РАБОТА ПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционные системы счисления»

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

МОСКВА 2004 год

План

    Арифметические основы построения ЭВМ

    Непозиционные и позиционные системы счисления

    Непозиционные системы счисления

    Позиционные системы счисления

    Системы счисления

    Десятичная система счисления

    Двоичная система счисления

    Восьмеричная система счисления

    Шестнадцатиричная система счисления

    Перевод из одной системы счисления в другую

    Перевод целых чисел

    Перевод правильных дробей

    Правила перевода из системы счисления в систему счисления

    Представление чисел в различных системах счисления

    Вопросы и задачи. Ответы и решения.

    Средства процессора Word, используемые в данной работе.

    Список литературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а>1>> >, а>2>, а>3>,….,а>n>. При этом каждой цифре а>i> в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами а>i> (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N>10 >= a>m >* 10m + a>m-1 >* 10m-1 + …+ a>1>*10+ +a>0 >* 100 + a>-1 >* 10-1 +…+ a>-n >* 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например:

377>10>=101111001>2>

Перевод правильных дробей

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы , в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875 0,675>10>=0,10011>2>

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в систему счисления

    Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа

    Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.

    Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).

    Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления

Системы счислений

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатиричная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Вопросы и задачи. Ответы и решения

    Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

    Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

    Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

    Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

    Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

    Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

    2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 000001>2>; 1000011111,0101>2>; 1216,04>8>; 29A,5>16>

    Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 464>10>; б) 380,1875>10>; в) 115,94>10>

    1000001>2>=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=65>10>.

    1000011111,0101>2>=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125>10>.

    1216,04>8>=1×83+2×82+1×81+6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625>10>.

    29A,5>16>= 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125>10>.

    а) 464>10>  111010000>2>; б) 380,1875>10>  101111100,0011>2>; в) 115,94>10> 1110011,11110>(2)>

Средства процессора Word, используемые в данной работе.

    Главным средством процессора Word, использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текст расположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные части текста – «по левому краю» или «по правому краю».

    В данной работе было применено форматирование абзацев, изменение шрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

    Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ более удобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

    В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самом простом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

    В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

    Л.З.Шауцукова, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994

    Введение в информатику. Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

    Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.