Циліндр
Циліндр
Виконала учениця 9-В классу Кожушана Даша
Кушугумська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів “Інтелект”
2008 рік
І. Вступ
Циліндр — капелюх з шовкового плюшу з невеликими твердими полями — отримав свою назву завдяки геометричній фігурі. Прообразом циліндра був круглий капелюх з високою тульей, що з'явився в чоловічій моді ще в XV столітті і що протрималася до XVIII. Новий головний убір у вигляді «труби» на голові капелюшного торговця Джона Гетерінгтона став для манірних англійців сенсацією. Тодішні газети писали: «Дія капелюха на перехожих була жахливою. Багато жінок побачивши цього дивного предмету позбавлялися відчуття, діти кричали...» А сам Гетерінгтон був арештований і доставлений до лорда-мера, який за порушення громадського порядку засудив його до штрафу в 500 фунтів стерлінгів. Проте, ця прогулянка по лондонській набережній 26 січня 1797 року стала датою народження нового напряму моди. На початку XIX століття циліндр був виключно аристократичною приналежністю, його не прийнято було залишати в передпокою, що створювало певні незручності.
Поява в Парижі в 30-х роках доладного циліндра — шапокляка, що має усередині спеціальний механізм, що дозволяв складати капелюх в подовжньому напрямі, вирішило цю проблему. У гостині модники стали входити, тримаючи його під пахвою в складеному вигляді. Одним з різновидів циліндра став новий капелюх — болівар. Своєю назвою вона зобов'язана предводителеві руху за незалежність південно-американських колоній. Тоді ж в моду увійшов і «шуте» — жіночий циліндр, призначений головним чином для верхової їзди.
Циліндр (греч. kýlindros, вал, каток) — геометричне тіло, обмеженою циліндровою поверхнею (званою бічною поверхнею циліндра) і не більше ніж двома поверхнями (підставами циліндра); причому якщо підстав два, то одне отримане з іншого паралельним перенесенням уздовж створюючої бічної поверхні циліндра; і підстава перетинає кожну створюючу бічній поверхні рівно один раз.
Слово циліндр часто зустрічається в техніці.
Предмети, що мають більш менш точну форму циліндра, а також і такі, у яких є деталі циліндрової форми, зустрічаються повсюдно: у побуті, в будівництві, в техніці – і грають важливу роль. Осі автомобілів і вагонів, циліндри і поршні двигунів і так далі – всі вони мають головні частини у вигляді кругових циліндрів. Сталеві труби є прямі циліндри з тонким круговим кільцем в підставі.
Під циліндром розуміють зазвичай круглі предмети, але якщо у вигляді циліндри в нашому загальному сенсі, то можна привести безліч інших прикладів. Рейки, різні види прокату, бетонні жолоби і інші вироби мають різноманітні форми циліндрів (хоч і не круглих). У практиці їх характеризують формою перпендикулярного перетину. Колони, якщо вони не звужуються догори, стовпи балки в будівельних конструкціях мають форму циліндрів, зокрема, призм, прямих і похилих. Наприклад, мостові ферми складаються суцільно з частин, що мають форму призм.
ІІ. Циліндр
1. Визначення і загальні властивості циліндра.
Циліндром ( точніше, круговим циліндром) називається тіло, Що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, - твірними циліндра.
Оскільки паралельне перенесення є рух, то основи циліндра рівні.
Через те що при параллельному перенесенні площина переходить у паралельну площину (або в себе), то основи циліндра лежать у паралельніх площинах.
Оскільки при параллельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються на одну й ту саму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні.
Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня – з твірних.
Нескінченне тіло, обмежене замкнутою нескінченною циліндровою поверхнею, називається нескінченним циліндром. Нескінченне тіло, обмежене замкнутим циліндровим променем і його підставою, називається відкритим циліндром. Підстава і створюючі циліндрового променя називають відповідно підставою і створюючими відкритого циліндра.
Кінцеве тіло, обмежене замкнутою кінцевою циліндровою поверхнею і двома перетинами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перетини називаються підставами циліндра. За визначенням кінцевої циліндрової поверхні, підстави циліндра рівні. Циліндри зазвичай уявляють собі круглими, тобто з круглою підставою. Їх можна визначити так: хай дано дві паралельні площини, задана деяка фігура F. Зі всіх точок площини фігури F проведемо паралельні один одному відрізки до площини α’ . Фігура, яку утворюють ці відрізки, і називається циліндром. Фігура F, з точок якої проведені відрізки, називається підставою циліндра. Відрізки, створюючі циліндра, так і називаються його створюючими.
Призмою, вписанною у циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра.
Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічеі грані дотикаються до циліндра.
Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висота - відстань між площинами його основ. Вісь - пряма, що проходить через центри основ. Вона параллельна твірним. Перетин ц. площиною, що проходить через вісь ц. - осьовий перетин. Теорема 19.1. Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.
Доказ. Нехай - площина, перпендикулярна осі циліндра. Ця площина || основам. Паралельне перенесення у напрямі осі циліндра, що суміщає площину з площиною основи циліндра, суміщає перетин з площиною і з колом основи.
У прямому циліндрі: вісь = висота = твірна
2. Прості властивості циліндра:
1.Основи рівні і паралельні (з опр.).
2.Створюючі рівні і паралельні (з властивостей паралельного перенесення, по властивості паралельних площин).
Дійсно, будь-яке такий перетин є загальним двох циліндрів, на які січна площина розбиває даний циліндр. Тому воно рівне іншим основам цих циліндрів, які є основами початкового циліндра.
Перпендикуляр, опущений з будь-якої площини однієї основи циліндра на площину іншої його основи, називається висотою циліндра (інакше довжина створюючої). Оскільки площини основ паралельні, то перпендикуляри у них загальне і всі вони рівні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки площини основи.
Для того, щоб задати циліндр, досить задати його поснову і одну створюючих. Для цього достатньо, щоб яка – те твірна була перпендикулярно площини підстави, оскільки решта створюючих паралельна їй і теж будуть перпендикулярні до площини підстави. Циліндру можна дати і інше визначення.
Циліндр можна визначити як фігуру, утворену рівними і паралельними один одному відрізками, що йдуть зі всіх точок деякої плоскої фігури F в один бік від її площини α.
3. Перетини
Осьовий перетин.
4. Циліндр обертання
Прямим круговим циліндром називається прямий циліндр, основа якого – круг. Відрізок, що сполучає центри його основ, називається віссю циліндра. Вісь прямого кругового циліндра є його віссю обертання, а сам він – фігура обертання. Всі перетини прямого кругового циліндра площинами, паралельними площинам основ, є кругами з центрами на осі (по властивості 3). Площини цих кругів перпендикулярні осі.
Тому прямий круговий циліндр є фігурою обертання і його називають циліндром обертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо сторони. Ці прямокутники називаються осьовими перетинами циліндра обертання. Створюючі циліндра обертання, витікаючі з точок кола підстави, утворюють його бічну поверхню.
Поверхня циліндра обертання називається об'єднання його підстав і бічної поверхні циліндра. Поверхню циліндра обертання іноді називають його повною поверхнею, підкреслюючи цим, що вона складається з бічної поверхні і двох підстав. Циліндр обертання симетричний щодо будь-якої площини, що проходить через його вісь, а також щодо площини, що ділить навпіл його створюючі. Циліндр обертання має центр симетрії – середину його осі.
5. Еліпс як перетин циліндра обертання.
Просту криву поверхню, саме круговий циліндр, можна отримати за допомогою простих кривих – кола і прямої – таким чином. Через одну з точок кола проведемо пряму, перпендикулярну до площини круга, і переміщатимемо її паралельною самій собі уздовж всього кола. Можна також отримати круговий циліндр, примусивши одну пряму обертатися навколо іншої прямої, що паралельної першої і служить для першою прямою віссю обертання. Таким чином, круговий циліндр є поверхня обертання. Поверхні обертання представляють важливий тип поверхонь; вони зустрічаються в практичному ужитку у вигляді стаканів, пляшок і т.д. Всі вони можуть бути охарактеризовані тим, що їх можна отримати шляхом обертання деякої плоскої кривої навколо осі, лежачої в її площині.
Площина, перпендикулярна до осі, перетинає круговий циліндр по колу; площина, похила до осі, дає в перетині, як в цьому можна безпосередньо переконатися, елліпсовідную криву. Покажемо, що ця крива дійсна еліпс. Для цього візьмемо кулю такого діаметру, щоб він в точності відповідав внутрішності циліндра, і пересуватимемо цю кулю усередині циліндра до зіткнення з січною площиною.
Поверхня, яка в деякій декартовій системі координат задається рівнянням
|
|
(13.18) |
називається еліптичним циліндром, поверхня, яка задається рівнянням
|
|
(13.19) |
називається гіперболічним циліндром, а яка задається рівнянням
|
|
(13.20) |
називається параболічним циліндром.
Для того, щоб побудувати поверхню, що
задається рівнянням (13.18), або рівнянням
(13.19), або (13.20), досить намалювати на
площині
що направляє, рівняння якої на цій
площині співпадає з рівнянням самої
поверхні. Потім через крапки що направляє
провести створюючі паралельно осі
.
Для наочності слід побудувати також
одне - два перетини площинами, паралельними
площині
.
У кожному такому перетині отримаємо
таку ж криву, як і що початкова направляє.
Зображення цих циліндрів перетинами
приведені на малюнках 13.27, 13.29 і 13.31.
Мал.13.27.Зображення еліптичного циліндра за допомогою перетинів
Мал.13.29.Зображення гіперболічного циліндра за допомогою перетинів
Мал.13.31.Зображення параболічного циліндра за допомогою перетинів
6. Об'єм циліндра
Теорема: об'єм циліндра дорівнює добутку основи на висоту.
Доказ: Впишемо в даний циліндр Р радіусу r і висоти h правильну призму Fn, а в цю призму впишемо циліндр Pn. Позначивши через V і Vn об'єми циліндрів P і Pn, через rn – радіус циліндра Pn. Оскільки об'єм призми Fn, рівний Sn•h, де Sn – площа підстави призми, а циліндр Р містить призму Fn, яка, у свою чергу, містить циліндр Pn, то Vn <Sn•h <V ( нерівність 1). Будемо необмежено збільшити число n. При цьому радіус rn циліндра Pn прагнути до радіусу r циліндра Р (rn= r сos при n→ ∞). Тому об'єм циліндра Pn прагнути до об'єму циліндра Р: : limn→∞Vn = V. З нерівностей 1 витікає, що і limn→∞Sn. h = V. Але limn→∞Sn = πr 2. Таким чином:
V=πr2h (2).
Позначивши площу πr2 підстави циліндра буквою S, і з формули (2) отримуємо:
V=S·h (1).
7. Площа циліндра.
За площу бічної поверхні циліндра береться площа її розгортки. Оскільки площа прямокутника АВВ’А’ рівна АА’•АВ=2πrh, то для обчислення площі S бічної поверхні циліндра радіусу r і висоти h виходить формула:
S=2πrh (1), де r –радіус циліндра, а h – його висота.
Отже, площа бічної поверхні циліндра рівна твору довжини кола підстави на висоту циліндра.
Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні і двох основ. Оскільки площа кожної основи рівна πr2, то для обчислення площі Sцил повної поверхні циліндра отримуємо формулу:
Sцил=2πr · (r+h)
8. Циліндр як одна з головних частин поршневого двигуна
Циліндр — одна з головних частин поршневого двигуна внутрішнього згорання. Є робочою камерою об'ємного витіснення. Внутрішні і зовнішні частини циліндрів випробовують різний нагрів і зазвичай виконуються з окремих частин:
1. Внутрішня частина — робоча втулка гільза.
2. Наружная — сорочка.
Простір між ними називається зарубашечним, в двигуном з водяним охолоджуванням тут циркулює вода.
Внутрішня поверхня гільзи піддається спеціальній обробці — хонінгованіє, хромування, азотування. Гільзи відливають з чавуну високої міцності або спеціальних сталей. Сорочки і корпус блоку циліндрів виготовляють зазвичай з того ж матеріалу, що і станина двигуна.
Циліндри двотактних двигунів відрізняються по конструкції від циліндрів 4-х тактний двигунів наявністю випускних і продувочних вікон. Крім того, у циліндрів двотактних двигунів подвійної дії є в наявності нижня кришка для утворення робочої порожнини під поршнем. У переважній більшості випадків сорочки циліндрів виконуються у вигляді одного відливання для всього ряду циліндрів і називаються блоком циліндрів.
9. Дослідницька робота
Завдання №1
Радіус основи циліндра 2м, висота 3м. знайдіть діагональ осьового перерізу.
Дано:
Циліндр, R=2м,
H=3м.
Знайти: А1В - ?
Розв’язання
Перший переріз данного циліндра – прямокутник АВВ1А1. АВ=А1В1=2R, АА1=ВВ1=4 (R - радіус циліндра, H – висота циліндра).
З ∆А1ВВ1, де ےВ1=90º, та теоремою Піфагора:
А1В=√ВВ12 + А1В12 =√H3 +4R2=√ 9+16=√25=5 (м).
Відповідь: А1В=5 (м).
Завдання №2
Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть плошу основи циліндра.
Дано:
Циліндр, квадрат АВСD
SАВСD=Q
Знайти: площу основи циліндра.
Розв’язання
Сторона квадрату дорівнює √Q. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює π﴾√Q/2﴿2=πQ/4.
Відповідь: площа основи циліндра дорівнює πQ/4
Завдання №3
У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму – циліндр. Знайдіть відношення об’ємів циліндрів.
Дано:
Циліндр вписаний у трикутну призму,
а в призму – циліндр.
Знайти: V1/V2 - ?
Розв’язання
В основу циліндра вписано правильний трикутник, Його основу позначимо через а. Очевидно, що радіус описанного циліндра дорівнює радіусу кола, описанного навколо основи:
R=a√3/3
Радіус вписанного у призму циліндра дорівнює радіусу кола, вписанного в основу призми:
R= a√3/6
Відношення об’ємів циліндрів:
V1 πR2H R2 a2 · 12
V2 πR2H r2 3 · a2
Відповідь: V1/V2 = 4
ІІІ. Висновок
Отже, циліндр є одним з тіл обертання. Циліндр, який ми розглядаємо, як геомеоричну фігуру, назівається прямим круговим циліндром. Приямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника навколо сторонни як осі. Прямий циліндр має 2 основи, висоту, радіус і вісь. Має свої певні властивості. Легко визначається об’єм і площа циліндра за формулами, які вже згадувались. Циліндр може бути вписаний і описаний у призмі.
Також існують й інші циліндри. На сьогоднішній день нам відомі такі види циліндрів, як:
- параболічний циліндр;
- гіперболічний циліндр;
- еліптичний циліндр.
Такі циліндри часто використовуються в техніці. Наприклад: циліндр одна з головних частин поршневого двигуна, металічні труби мають циліндричну форму, багато ємкостей мають циліндричну форму.
Список литературы
1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80_%28%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%29
2. http://referat-download.ru/Matematica/Cilindr-2.html
3. Навчальний посібник для студентів. Геометрія 2 частина. Освіта 1987р. Атанасян Л.С., Базилев В.Т.
4. Стереометрія. Геометрія в просторі. Александров А.Д., Вєрнєв А.Л.
5. Велика шкільна енциклопедія. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.
6. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. 2-ге видан.
7. Домашні завдання без помилок: 11 клас. М. І. Шкіля та ін.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа